2022-2023學(xué)年浙江省金華十校高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省金華十校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式化為：，解得，即，而，所以.故選：C.2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與的模相等，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.±11 D.11〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，，由已知，所?故選：A.3.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，故.故選：D.4.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，面積滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，所?故選：D.5.已知向量，則向量在向量方向上的投影向量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橄蛄?，所以向量在向量方向上的投影向量?故選：A.6.已知表示三個(gè)不同平面，表示三條不同直線，則使“”成立的一個(gè)充分非必要條件是（）A.若，且B.若，且C.若D.若〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，由，，易得，所以無法推得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng),時(shí)，有可能出現(xiàn)，所以不一定推得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)平面為正方體同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面時(shí)，交于一點(diǎn)，所以不一定推得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，又，所以，又，，所以，同理：，所以，則充分性成立；當(dāng)時(shí)，可以同在平面內(nèi)，則必要性不成立；故D正確.故選：D.7.一個(gè)圓柱形糧倉(cāng)，高1丈3尺寸，可容納米2000斛，已知1丈尺寸，1斛米立方寸，若取3，則該圓柱形糧倉(cāng)底面的周長(zhǎng)是（）A.440寸 B.540寸 C.560寸 D.640寸〖答案〗B〖解析〗依題意得，圓柱形糧倉(cāng)底面半徑為尺，糧倉(cāng)高尺，于是糧倉(cāng)的體積，解得尺，所以該圓柱形糧倉(cāng)底面的周長(zhǎng)為尺寸.故選：B.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，所以，又，，因，所以，綜上，.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心C.直線為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸D.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，因?yàn)椋?，，則，對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，故點(diǎn)不是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故直線為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由得，因此，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，D錯(cuò).故選：AC.10.如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.事件與互斥 B.C事件與相互獨(dú)立 D.〖答案〗BD〖解析〗由題意得，事件的樣本點(diǎn)為，事件的樣本點(diǎn)為，事件的樣本點(diǎn)為，對(duì)于A，事件與共有樣本點(diǎn)2,3，所以不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件樣本點(diǎn)，所以，故B正確；對(duì)于C，，，事件樣本點(diǎn)，所以，所以事件與不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件樣本點(diǎn)，所以，故D正確.故選：BD.11.在中，角的對(duì)邊分別是，且滿足，則（）A.B.若，則的周長(zhǎng)的最大值為C.若為的中點(diǎn)，且，則的面積的最大值為D.若角的平分線與邊相交于點(diǎn)，且，則的最小值為9〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，故A正確；若，則的外接圓半徑為：，，，，，周長(zhǎng)的最大值為9，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C正確；由題意得：，即，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：ACD.12.在三棱錐中，兩兩垂直，，點(diǎn)分別在側(cè)面和棱上運(yùn)動(dòng)且為線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的內(nèi)切球的半徑為B.三棱錐的外接球的表面積為C.點(diǎn)到底面的距離的最小值為D.三棱錐的體積的最大值為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)閮蓛纱怪保?，所以，，，所以，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，解得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于三棱錐外接球的直徑，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以點(diǎn)到底面的距離的最小值為，所以C正確，對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知點(diǎn)的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以當(dāng)點(diǎn)到底面的距離最大值時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球面分別交于點(diǎn)，因?yàn)椋援?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，點(diǎn)到底面的距離最大，設(shè)為，則有，得，所以三棱錐的體積的最大值為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中，射靶次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：，記這組數(shù)的眾數(shù)為，第百分位數(shù)為，則__________.〖答案〗16〖解析〗由已知數(shù)據(jù)可得眾數(shù)為，即，將個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列可得，因?yàn)?，所以第百分位?shù)為從小到大排列的第個(gè)數(shù)，所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知圓錐表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐底面半徑是__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A錐的表面積為，所以，即，又圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，即，所以(cm).故〖答案〗為：.15.已知非零向量與滿足，且，點(diǎn)是的邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗分別表示與方向的單位向量，故所在直線為的平分線所在直線，又，故的平分線與垂直，由三線合一得到，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，故，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故〖答案〗為：.16.已知，則__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，求在的值域.解：（1），由，得到，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.（2），，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?18.已知是夾角為的單位向量，.（1）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，求的最小值.解：（1）因?yàn)槭菉A角為的單位向量，所以，所以（2）因?yàn)?，所以，，，又，，，?dāng)時(shí)，取最小值，.19.如圖，三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)棱，設(shè)點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求三棱錐的體積；（3）求平面與平面的夾角余弦值.解：（1）由知，，又分別為的中點(diǎn)，所以，所以由等邊三角形及為的中點(diǎn)知，，且平面.所以平面，又平面，所以（2）在中，，又，可得，故，所以三棱錐的體積，又.（3）記平面與平面的的交線為，由面面，得平面，又面，面面，故有，又由（1）（2）可知，所以，取的中點(diǎn)，連接，，又，則就是面與面的夾角，在中，，，，則20.袋子和中均裝有若干個(gè)質(zhì)地均勻的紅球和白球，其中袋有20個(gè)紅球和10個(gè)白球，從袋中摸一個(gè)球，摸到紅球的概率為.（1）若袋中的紅球和白球總共有15個(gè)，將兩個(gè)袋子中的球全部裝在一起后，從中摸出一個(gè)白球的概率是，求的值；（2）從袋中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，當(dāng)有3次摸到紅球即停止，求恰好摸次停止的概率.解：（1）因?yàn)閺拇忻粋€(gè)球，摸到紅球的概率為，所以從袋中摸一個(gè)球，摸到白球的概率為，又袋中的紅球和白球總共有15個(gè)，所以袋中白球個(gè)數(shù)為，因?yàn)閷蓚€(gè)袋子中的球全部裝在一起后，從中摸出一個(gè)白球的概率是，又袋有20個(gè)紅球和10個(gè)白球，所以，解得.（2）由已知，又，，.21.樹人中學(xué)名師生參加了對(duì)學(xué)校教學(xué)管理滿意度的評(píng)分調(diào)查，按樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，抽取個(gè)師生的評(píng)分（滿分分），繪制如圖所示的頻率分布直方圖，并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于分分到分分到分分及以上滿意度等級(jí)不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求圖中的值；（2）若師生的滿意指數(shù)不低于，則該?？色@評(píng)“教學(xué)管理先進(jìn)單位”，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該校是否能獲獎(jiǎng)，并說明理由.（注：滿意指數(shù)）（3）假設(shè)在樣本中，學(xué)生、教師的人數(shù)分別為、.記所有學(xué)生的評(píng)分為、、、，其平均數(shù)為，方差為，所有教師的評(píng)分為、、、，其平均數(shù)為，方差為，總樣本評(píng)分的平均數(shù)為，方差為，若，，試估計(jì)該校等級(jí)為滿意的學(xué)生的最少人數(shù).解：（1）由頻率和為得，解得.（2）由題意可得，師生的滿意指數(shù)為，該?？色@評(píng)“教學(xué)管理先進(jìn)單位”.（3）由可得，，所以，，所以，即，令，則，，即，解得或，因?yàn)榍遥?，所以，估?jì)該校等級(jí)為滿意的學(xué)生人數(shù)最少為人.22.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過，（i）若，求的值；（ii）若的三個(gè)零點(diǎn)為，且，求的值.解：（1），，.（2）由題設(shè)有，故，故，（i）.（ii）因?yàn)椋?，若，則，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，所以，所以也是函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，由，求得，所以，由，求得，所以，由，求得，所以，所以，同理可得，又記，所以.浙江省金華十校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式化為：，解得，即，而，所以.故選：C.2.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與的模相等，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.±11 D.11〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所以，，由已知，所?故選：A.3.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，內(nèi)層函數(shù)在上為減函數(shù)，故.故選：D.4.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，面積滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，所?故選：D.5.已知向量，則向量在向量方向上的投影向量是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)橄蛄?，所以向量在向量方向上的投影向量?故選：A.6.已知表示三個(gè)不同平面，表示三條不同直線，則使“”成立的一個(gè)充分非必要條件是（）A.若，且B.若，且C.若D.若〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，由，，易得，所以無法推得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng),時(shí)，有可能出現(xiàn)，所以不一定推得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)平面為正方體同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面時(shí)，交于一點(diǎn)，所以不一定推得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，又，所以，又，，所以，同理：，所以，則充分性成立；當(dāng)時(shí)，可以同在平面內(nèi)，則必要性不成立；故D正確.故選：D.7.一個(gè)圓柱形糧倉(cāng)，高1丈3尺寸，可容納米2000斛，已知1丈尺寸，1斛米立方寸，若取3，則該圓柱形糧倉(cāng)底面的周長(zhǎng)是（）A.440寸 B.540寸 C.560寸 D.640寸〖答案〗B〖解析〗依題意得，圓柱形糧倉(cāng)底面半徑為尺，糧倉(cāng)高尺，于是糧倉(cāng)的體積，解得尺，所以該圓柱形糧倉(cāng)底面的周長(zhǎng)為尺寸.故選：B.8.設(shè)，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，，所以，又，，因，所以，綜上，.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.點(diǎn)為函數(shù)圖象的對(duì)稱中心C.直線為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸D.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，，則，對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，故點(diǎn)不是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故直線為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由得，因此，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，D錯(cuò).故選：AC.10.如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.事件與互斥 B.C事件與相互獨(dú)立 D.〖答案〗BD〖解析〗由題意得，事件的樣本點(diǎn)為，事件的樣本點(diǎn)為，事件的樣本點(diǎn)為，對(duì)于A，事件與共有樣本點(diǎn)2,3，所以不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事件樣本點(diǎn)，所以，故B正確；對(duì)于C，，，事件樣本點(diǎn)，所以，所以事件與不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，事件樣本點(diǎn)，所以，故D正確.故選：BD.11.在中，角的對(duì)邊分別是，且滿足，則（）A.B.若，則的周長(zhǎng)的最大值為C.若為的中點(diǎn)，且，則的面積的最大值為D.若角的平分線與邊相交于點(diǎn)，且，則的最小值為9〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，故A正確；若，則的外接圓半徑為：，，，，，周長(zhǎng)的最大值為9，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故C正確；由題意得：，即，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：ACD.12.在三棱錐中，兩兩垂直，，點(diǎn)分別在側(cè)面和棱上運(yùn)動(dòng)且為線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.三棱錐的內(nèi)切球的半徑為B.三棱錐的外接球的表面積為C.點(diǎn)到底面的距離的最小值為D.三棱錐的體積的最大值為〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)閮蓛纱怪?，，所以，，，所以，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，解得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以將三棱錐補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于三棱錐外接球的直徑，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以點(diǎn)到底面的距離的最小值為，所以C正確，對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知點(diǎn)的軌跡是以為球心，1為半徑的球面上，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以當(dāng)點(diǎn)到底面的距離最大值時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球面分別交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以?dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，點(diǎn)到底面的距離最大，設(shè)為，則有，得，所以三棱錐的體積的最大值為，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中，射靶次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：，記這組數(shù)的眾數(shù)為，第百分位數(shù)為，則__________.〖答案〗16〖解析〗由已知數(shù)據(jù)可得眾數(shù)為，即，將個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列可得，因?yàn)?，所以第百分位?shù)為從小到大排列的第個(gè)數(shù)，所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知圓錐表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐底面半徑是__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A錐的表面積為，所以，即，又圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，所以，即，所以(cm).故〖答案〗為：.15.已知非零向量與滿足，且，點(diǎn)是的邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗分別表示與方向的單位向量，故所在直線為的平分線所在直線，又，故的平分線與垂直，由三線合一得到，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，故，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故〖答案〗為：.16.已知，則__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，求在的值域.解：（1），由，得到，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.（2），，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?18.已知是夾角為的單位向量，.（1）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，求的最小值.解：（1）因?yàn)槭菉A角為的單位向量，所以，所以（2）因?yàn)?，所以，，，又，，，?dāng)時(shí)，取最小值，.19.如圖，三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，側(cè)棱，設(shè)點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求三棱錐的體積；（3）求平面與平面的夾角余弦值.解：（1）由知，，又分別為的中點(diǎn)，所以，所以由等邊三角形及為的中點(diǎn)知，，且平面.所以平面，又平面，所以（2）在中，，又，可得，故，所以三棱錐的體積，又.（3）記平面與平面的的交線為，由面面，得平面，又面，面面，故有，又由（1）（2）可知，所以，取的中點(diǎn)，連接，，又，則就是面與面的夾角，在中，，，，則20.袋子和中均裝有若干個(gè)質(zhì)地均勻的紅球和白球，其中袋有20個(gè)紅球和10個(gè)白球，從袋中摸一個(gè)球，