2022-2023學(xué)年重慶市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1重慶市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為1，2，3，3，4，5，7，9，13，15，估計(jì)該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.11〖答案〗C〖解析〗依題意，，所以第8個(gè)數(shù)據(jù)為該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.故選：C.2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則該復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題，又，則.故選：C.4.在中，，若存在兩個(gè)滿(mǎn)足條件，則的長(zhǎng)可以為（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)?，可求得則時(shí)，存在兩個(gè)，故又所以正確.故選：5.今年月日是第個(gè)“世界讀書(shū)日”，某中學(xué)高二數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)小組發(fā)起了一項(xiàng)關(guān)于閱讀的調(diào)查，通過(guò)各班小組成員在本班（共四個(gè)班級(jí)）收集的有效問(wèn)卷數(shù)（份）如下：、、、，其中關(guān)于“每人每天電子閱讀時(shí)長(zhǎng)”（單位：分鐘）的各班平均數(shù)依次為：、、、，則據(jù)此估計(jì)該中學(xué)高二學(xué)生平均每人每天電子閱讀時(shí)長(zhǎng)為（）A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘〖答案〗C〖解析〗由題意可知，該中學(xué)高二學(xué)生平均每人每天電子閱讀時(shí)長(zhǎng)為：分鐘.故選：C.6.在一個(gè)不透明的袋中有4個(gè)紅球和個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中有放回地隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知取出的球中至少有一個(gè)紅球的概率為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由題可得取出的球中沒(méi)有紅球的概率，即兩次都摸出黑球的概率為，則.故選：B.7.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在球的球面上，圓錐底面半徑為，側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)半圓，則球的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意圓錐底面半徑，設(shè)圓錐的高為，母線為，圓錐的外接球的半徑為，則，即，解得，所以，所以，即，解得，所以圓錐的外接球球的表面積.故選：D.8.如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體封閉容器中，在棱的中點(diǎn)和頂點(diǎn)處各有一個(gè)小洞，則該容器最多能盛水（）A.36 B.48 C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖：設(shè)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，則容器最多能盛水的體積為正方體在截面下方的部分，截面上方為棱臺(tái)，可知可得為得中點(diǎn)，又所以，棱臺(tái)體積所求體積為．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.平行向量不是共線向量B.若兩個(gè)非零向量夾角銳角，則C.向量與共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)使得D.向量在非零向量上投影向量的長(zhǎng)度為〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)平行向量與共線向量的定義，平行向量就是共線向量，A錯(cuò)；若兩個(gè)非零向量夾角為銳角，則，B正確；若，滿(mǎn)足向量與共線，但不存實(shí)數(shù)使得，C錯(cuò)；兩個(gè)非零向量夾角，則，則向量在非零向量上投影向量為，其長(zhǎng)度為，D正確.故選：BD.10.某工廠加工一批零件，為了檢測(cè)加工質(zhì)量，工廠隨機(jī)抽取了10個(gè)零件進(jìn)行尺寸的誤差檢測(cè)，若這10個(gè)零件中的每個(gè)零件的誤差都不超過(guò)2，則認(rèn)為該批零件合格．若已知這10個(gè)零件的誤差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下，則一定可以判斷這批零件合格的是（）A.中位數(shù)為0.4，極差為1.5 B.平均數(shù)為1，眾數(shù)為0.5C.平均數(shù)為1，方差為1.2 D.平均數(shù)為1，方差為0.01〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)檫@批零件尺寸的誤差值中位數(shù)為0.4，極差為1.5，所以10個(gè)零件的尺寸的誤差值的最大值小于等于，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)檫@批零件尺寸的誤差平均數(shù)為1，眾數(shù)為0.5，設(shè)這批零件尺寸誤差為，因?yàn)?，故B不正確；對(duì)于C，D，因?yàn)檫@批零件尺寸的誤差平均數(shù)為1，若出現(xiàn)一次大于，即，所以，故C不正確，D正確.故選：AD.11.已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列說(shuō)法一定正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A：若，，由面面平行的性質(zhì)定理可知，故A正確；對(duì)于B：若，，則或或或與相交（不垂直），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則存在直線，使得，又，，所以，所以，故D正確.故選：AD.12.如圖，，線段與交于點(diǎn)，記，則（）A. B.C D.〖答案〗AD〖解析〗，設(shè)，，，∵，∴，同理，，，，聯(lián)立解得.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是方程（其中）的一個(gè)根，則________．〖答案〗7〖解析〗將代入，因，則.則.故〖答案〗為：7.14.已知事件相互獨(dú)立，且，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭录嗷オ?dú)立，所以也相互獨(dú)立，且，，解得.故〖答案〗為：.15.如圖，有兩條直線和相交，交點(diǎn)為，甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)分別沿方向出發(fā)，速度分別為后，兩人相距__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)分別沿方向出發(fā)速度分別為后可得：，在中應(yīng)用余弦定理得，，所以?xún)扇讼嗑?故〖答案〗為:.16.在四面體中，平面于點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)為的重心，二面角的大小為，則__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，連結(jié)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以為中點(diǎn)，又點(diǎn)為的重心，故在上，過(guò)作于，由到平面的距離為，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得，，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（1）計(jì)算：；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）原式.（2）由題.18.設(shè)是直線，是平面，且．（1）若，求證：；（2）若，求證：．解：（1）∵，∴，又，，∴.（2）∵，∴，又，∴，∵，∴，∴.19.某校對(duì)高一年級(jí)名學(xué)生的身高進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)這名學(xué)生的身高介于（單位：），現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知第五組的頻率與第三組的頻率相同，第三組的頻率是第二組頻率的倍，第二組頻率是第一組頻率的倍．（1）求第一組學(xué)生的人數(shù)，并估計(jì)這名學(xué)生身高（單位：）的中位數(shù)（保留位小數(shù)）；（2）若采用分層抽樣的方法從前兩組中抽取位同學(xué)參加某項(xiàng)課外活動(dòng)，在這位同學(xué)中隨機(jī)選出人作為隊(duì)長(zhǎng)，求這兩人來(lái)自于同一組的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可知第四組的頻率為，設(shè)第一組的頻率為，由題可知，解得，∴第一組的人數(shù)為人，前三組的頻率之和為，，估計(jì)中位數(shù)為.（2）第二組頻率是第一組頻率的倍，所以第一組抽取人，記為，第二組抽取人，記為，從人中隨機(jī)抽取人的樣本點(diǎn)有，，共個(gè)，且每個(gè)樣本點(diǎn)等可能發(fā)生，其中兩人來(lái)自于同一組的樣本點(diǎn)有，共個(gè)，故所求概率為.20.在中，角的對(duì)邊為．（1）求；（2）設(shè)為邊上的高，為的平分線，與交于點(diǎn)，求的面積．解：（1）由正弦定理，由余弦定理.（2）∵為銳角，∴，因?yàn)?，∴，∴，由?）為等腰直角三角形，.21.如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，記．（1）用表示；（2）若，求．解：（1）設(shè)，則，，聯(lián)立兩式解得，所以.（2），由，代入上式，由得，即，∴，即.22.在長(zhǎng)方體中，分別為棱的中點(diǎn)，．（1）過(guò)作平面平面交直線于點(diǎn)，求；（2）求四面體的體積．解：（1）如圖，取的中點(diǎn)為，連接，取的中點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交直線于，過(guò)在平面作的平行線，交的延長(zhǎng)線于，連接，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得，而，故，故四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椋?，故，而平面，平面，故平面，同理平面，而平面，故平面平面，又平面，故平面即為平面，故重合，因?yàn)椋仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，?（2）∵為中點(diǎn)，，而，故.由（1）知：.重慶市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為1，2，3，3，4，5，7，9，13，15，估計(jì)該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A.7 B.8 C.9 D.11〖答案〗C〖解析〗依題意，，所以第8個(gè)數(shù)據(jù)為該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.故選：C.2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，則該復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題，又，則.故選：C.4.在中，，若存在兩個(gè)滿(mǎn)足條件，則的長(zhǎng)可以為（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)椋汕蟮脛t時(shí)，存在兩個(gè)，故又所以正確.故選：5.今年月日是第個(gè)“世界讀書(shū)日”，某中學(xué)高二數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)小組發(fā)起了一項(xiàng)關(guān)于閱讀的調(diào)查，通過(guò)各班小組成員在本班（共四個(gè)班級(jí)）收集的有效問(wèn)卷數(shù)（份）如下：、、、，其中關(guān)于“每人每天電子閱讀時(shí)長(zhǎng)”（單位：分鐘）的各班平均數(shù)依次為：、、、，則據(jù)此估計(jì)該中學(xué)高二學(xué)生平均每人每天電子閱讀時(shí)長(zhǎng)為（）A.分鐘 B.分鐘 C.分鐘 D.分鐘〖答案〗C〖解析〗由題意可知，該中學(xué)高二學(xué)生平均每人每天電子閱讀時(shí)長(zhǎng)為：分鐘.故選：C.6.在一個(gè)不透明的袋中有4個(gè)紅球和個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中有放回地隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知取出的球中至少有一個(gè)紅球的概率為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由題可得取出的球中沒(méi)有紅球的概率，即兩次都摸出黑球的概率為，則.故選：B.7.已知圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在球的球面上，圓錐底面半徑為，側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)半圓，則球的表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依題意圓錐底面半徑，設(shè)圓錐的高為，母線為，圓錐的外接球的半徑為，則，即，解得，所以，所以，即，解得，所以圓錐的外接球球的表面積.故選：D.8.如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體封閉容器中，在棱的中點(diǎn)和頂點(diǎn)處各有一個(gè)小洞，則該容器最多能盛水（）A.36 B.48 C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖：設(shè)為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，，則容器最多能盛水的體積為正方體在截面下方的部分，截面上方為棱臺(tái)，可知可得為得中點(diǎn)，又所以，棱臺(tái)體積所求體積為．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.平行向量不是共線向量B.若兩個(gè)非零向量夾角銳角，則C.向量與共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)使得D.向量在非零向量上投影向量的長(zhǎng)度為〖答案〗BD〖解析〗根據(jù)平行向量與共線向量的定義，平行向量就是共線向量，A錯(cuò)；若兩個(gè)非零向量夾角為銳角，則，B正確；若，滿(mǎn)足向量與共線，但不存實(shí)數(shù)使得，C錯(cuò)；兩個(gè)非零向量夾角，則，則向量在非零向量上投影向量為，其長(zhǎng)度為，D正確.故選：BD.10.某工廠加工一批零件，為了檢測(cè)加工質(zhì)量，工廠隨機(jī)抽取了10個(gè)零件進(jìn)行尺寸的誤差檢測(cè)，若這10個(gè)零件中的每個(gè)零件的誤差都不超過(guò)2，則認(rèn)為該批零件合格．若已知這10個(gè)零件的誤差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下，則一定可以判斷這批零件合格的是（）A.中位數(shù)為0.4，極差為1.5 B.平均數(shù)為1，眾數(shù)為0.5C.平均數(shù)為1，方差為1.2 D.平均數(shù)為1，方差為0.01〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)檫@批零件尺寸的誤差值中位數(shù)為0.4，極差為1.5，所以10個(gè)零件的尺寸的誤差值的最大值小于等于，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)檫@批零件尺寸的誤差平均數(shù)為1，眾數(shù)為0.5，設(shè)這批零件尺寸誤差為，因?yàn)?，故B不正確；對(duì)于C，D，因?yàn)檫@批零件尺寸的誤差平均數(shù)為1，若出現(xiàn)一次大于，即，所以，故C不正確，D正確.故選：AD.11.已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，下列說(shuō)法一定正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A：若，，由面面平行的性質(zhì)定理可知，故A正確；對(duì)于B：若，，則或或或與相交（不垂直），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則存在直線，使得，又，，所以，所以，故D正確.故選：AD.12.如圖，，線段與交于點(diǎn)，記，則（）A. B.C D.〖答案〗AD〖解析〗，設(shè)，，，∵，∴，同理，，，，聯(lián)立解得.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是方程（其中）的一個(gè)根，則________．〖答案〗7〖解析〗將代入，因，則.則.故〖答案〗為：7.14.已知事件相互獨(dú)立，且，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭录嗷オ?dú)立，所以也相互獨(dú)立，且，，解得.故〖答案〗為：.15.如圖，有兩條直線和相交，交點(diǎn)為，甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)分別沿方向出發(fā)，速度分別為后，兩人相距__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)分別沿方向出發(fā)速度分別為后可得：，在中應(yīng)用余弦定理得，，所以?xún)扇讼嗑?故〖答案〗為:.16.在四面體中，平面于點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)為的重心，二面角的大小為，則__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故，所以是二面角的平面角，所以，又，所以為中點(diǎn)，又點(diǎn)為的重心，故在上，過(guò)作于，由到平面的距離為，可得，于是，，，在中，由余弦定理可得，，所以.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（1）計(jì)算：；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）原式.（2）由題.18.設(shè)是直線，是平面，且．（1）若，求證：；（2）若，求證：．解：（1）∵，∴，又，，∴.（2）∵，∴，又，∴，∵，∴，∴.19.某校對(duì)高一年級(jí)名學(xué)生的身高進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)這名學(xué)生的身高介于（單位：），現(xiàn)將數(shù)據(jù)分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知第五組的頻率與第三組的頻率相同，第三組的頻率是第二組頻率