高中數(shù)學 3.2 第2課時基礎(chǔ)鞏固 北師大版選修2-2

【成才之路】-學年高中數(shù)學3.2第2課時基礎(chǔ)鞏固北師大版選修2-2一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為()A.eq\f(2\r(3),9) B.eq\f(2\r(2),9)C.eq\f(3\r(2),9) D.eq\f(3,8)[答案]A[解析]f(x)＝x－x3，f′(x)＝1－3x2，令f′(x)＝0得x＝eq\f(\r(3),3)(x＝－eq\f(\r(3),3)舍去)，計算比較得最大值為f(eq\f(\r(3),3))＝eq\f(2\r(3),9).2．一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10km時燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，則此輪船的速度為______km/h航行時，能使行駛每公里的費用總和最小()A．20 B．30C．40 D．60[答案]A[解析]設(shè)船速為每小時x(x＞0)公里，燃料費為Q元，則Q＝kx3，由已知得：6＝k·103，∴k＝eq\f(3,500)，即Q＝eq\f(3,500)x3.記行駛每公里的費用總和為y元，則y＝(eq\f(3,500)x3＋96)·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x)y′＝eq\f(3,250)x－eq\f(96,x2)，令y′＝0，即eq\f(3,250)x－eq\f(96,x2)＝0，解之得：x＝20.這就是說，該函數(shù)在定義域(0，＋∞)內(nèi)有唯一的極值點，該極值必有所求的最小值，即當船速為每小時20公里時，航行每公里的總費用最小，最小值為7.2元．3．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．m≥eq\f(3,2) B．m>eq\f(3,2)C．m≤eq\f(3,2) D．m<eq\f(3,2)[答案]A[解析]由f′(x)＝2x3－6x2＝0得，x＝0或x＝3，經(jīng)檢驗知x＝3是函數(shù)的一個最小值點，所以函數(shù)的最小值為f(3)＝3m－eq\f(27,2)，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－eq\f(27,2)≥－9，解得m≥eq\f(3,2).二、填空題4．下列結(jié)論中正確的有________．①在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的極大值就是最大值；②在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的極小值就是最小值；③在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的最大值、最小值在x＝a和x＝b處取到；④在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)的極大(小)值有可能就是最大(小)值．[答案]④[解析]由函數(shù)最值的定義知，①②③均不正確，④正確．故填④.5．函數(shù)f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)在[1,4]上的最大值為3，最小值為－6，則a＋b＝________.[答案]eq\f(10,3)[解析]f′(x)＝4ax3－12ax2(a>0，x∈[1,4])．由f′(x)＝0，得x＝0(舍)，或x＝3，可得x＝3時，f(x)取得最小值為b－27a又f(1)＝b－3a，f(4)＝b∴f(4)為最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,b－27a＝－6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝3，))∴a＋b＝eq\f(10,3).三、解答題6．(·福州市八縣聯(lián)考)永泰某景區(qū)為提高經(jīng)濟效益，現(xiàn)對某一景點進行改造升級，從而擴大內(nèi)需，提高旅游增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，旅游增加值y萬元與投入x(x≥10)萬元之間滿足：y＝f(x)＝ax2＋eq\f(101,50)x－blneq\f(x,10)，a，b為常數(shù)．當x＝10萬元時，y＝19.2萬元；當x＝30萬元時，y＝50.5萬元．(參考數(shù)據(jù)：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值．(利潤＝旅游增加值－投入)．[解析](1)由條件可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a×102＋\f(101,50)×10－bln1＝19.2，,a×302＋\f(101,50)×30－bln3＝50.5，))解得a＝－eq\f(1,100)，b＝1，則f(x)＝－eq\f(x2,100)＋eq\f(101,50)x－lneq\f(x,10)(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－eq\f(x2,100)＋eq\f(51,50)x－lneq\f(x,10)(x≥10)，則T′(x)＝eq\f(－x,50)＋eq\f(51,50)－eq\f(1,x)＝－eq\f(x－1x－50,50x)，令T′(x)＝0，則x＝1(舍)或x＝50，當x∈(10,50)時，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函數(shù)；當x∈(50，＋∞)時，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是減函數(shù)，∴當x＝50時，T(x)取最大值．T(50)＝－eq\f(502,100)＋eq\f(51,50)×50－lneq\f(50,10)＝24.4(萬元)．即該景點改造升級后旅游利潤T(x)的最大值為24.4萬元.一、選擇題1．設(shè)底面為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為()A.eq\r(3,V) B．eq\r(3,2V)C．eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)[答案]C[解析]設(shè)底面邊長為x，側(cè)棱長為l，則V＝eq\f(1,2)x2·sin60°·l，∴l(xiāng)＝eq\f(4V,\r(3)x2).∴S表＝2S底＋3S側(cè)＝x2·sin60°＋3·x·l＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x).∴S表′＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2)＝0∴x3＝4V，即x＝eq\r(3,4V)，又當x∈(0，eq\r(3,4V))時，S表′<0；當x∈(eq\r(3,4V)，V)時，S表′>0∴當x＝eq\r(3,4V)時，表面積最?。?．若函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍為()A．[－1,1) B．[－2,1)C．[－2，－1) D．(－2，＋∞)[答案]B[解析]由于f′(x)＝－x2＋1，易知函數(shù)在(－∞，－1]上遞減，在[－1,1]上遞增，[1，＋∞)上遞減，故若函數(shù)在(a,10－a2)上存在最大值的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤a＜1,10－a2＞1))?－1≤a＜1或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜－1,10－a2＞1?－2≤a＜－1，,f1≥fa))綜上可知a的取值范圍為[－2,1)．3．設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖像分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(\r(2),2)[答案]D[解析]本小題考查內(nèi)容為導數(shù)的應(yīng)用——求函數(shù)的最小值．令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－lnx，∴F′(x)＝2x－eq\f(1,x).令F′(x)＝0，∴x＝eq\f(\r(2),2)，∴F(x)在x＝eq\f(\r(2),2)處最?。?．已知不等式eq\f(lnkx,x)≤eq\f(1,e)對任意的正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是()A．(0,1] B．(－∞，1]C．[0,2] D．(0,2][答案]A[解析]令y＝eq\f(lnkx,x)，則y′＝eq\f(1－lnkx,x2)，可以驗證當y′＝0即kx＝e，x＝eq\f(e,k)時，ymax＝eq\f(lne,\f(e,k))＝eq\f(k,e)，又y≤eq\f(1,e)對于x＞0恒成立∴eq\f(k,e)≤eq\f(1,e)，得k≤1又kx＞0，x＞0，∴k＞0，∴0＜k≤1.5．(·江西文，10)在同一直角坐標系中，函數(shù)y＝ax2－x＋eq\f(a,2)與y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的圖像不可能的是()[答案]B[解析]若a＝0時，兩函數(shù)分別為y＝－x和y＝x，選項D此時合適，若a≠0時，設(shè)f1(x)＝ax2－x＋eq\f(a,2)，設(shè)f2(x)＝a2x3－2ax2＋x＋af2′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝(3ax－1)(ax①若a>0，易知f2(x)的極大值為f(eq\f(1,3a))＝eq\f(4,27a)＋a，極小值為f(eq\f(1,a))＝a，而f1(x)圖象此時開口向上，對稱軸為x＝eq\f(1,2a)>0且f1(eq\f(1,a))＝f1(0)＝eq\f(a,2)，f2(0)＝a，A、C均適合．(2)若a<0，f1(x)圖象開口向下，對稱軸為x＝eq\f(1,2a)<0，f(eq\f(1,a))＝f1(0)＝eq\f(a,2)<0，而f2(eq\f(1,a))>a<0，比較知0>eq\f(a,2)>a，也就是說當x＝eq\f(1,a)時函數(shù)f2(x)圖象為極大值而此時f1(x)圖象對應(yīng)的點應(yīng)該在(eq\f(1,a)，f2(eq\f(1,a)))上方，而B選項中顯然右下方，因而B不可能．二、填空題6．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若對于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的值為__________________．[答案]4[解析]本小題考查函數(shù)單調(diào)性的綜合運用．若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立；當x>0即x∈(0,1]時，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，設(shè)g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，則g′(x)＝eq\f(31－2x,x4)，所以g(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，因此g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4，從而a≥4；當x<0即x∈[－1,0]，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≤eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，g(x)在區(qū)間[－1,0)上單調(diào)遞增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上a＝4.7．已知函數(shù)f(x)＝logaeq\f(2x＋42,x)，當x∈[1,4]時，f(x)≥2恒成立，則a的取值范圍是____________．[答案]1＜a≤4eq\r(2)[解析]要使得當x∈[1,4]時，f(x)≥2恒成立，只需保證當x∈[1,4]時，f(x)min≥2即可，因此問題轉(zhuǎn)化為先求函數(shù)f(x)＝logaeq\f(2x＋42,x)在區(qū)間[1,4]上的最小值，再結(jié)合不等式求得a的取值范圍．考慮到f(x)＝logaeq\f(2x＋42,x)的導數(shù)不好求，可以先采用換元的辦法，利用導數(shù)法求出真數(shù)的最值，再考慮函數(shù)f(x)的最小值，但要注意對底數(shù)a加以討論．令h(x)＝eq\f(2x＋42,x)＝4x＋eq\f(16,x)＋16，x∈[1,4]．∵h′(x)＝4－eq\f(16,x2)＝eq\f(4x－2x＋2,x2)，x∈[1,4]．∴當1≤x＜2時，h′(x)＜0，當2＜x≤4時，h′(x)＞0.∴h(x)在[1,2]上是單調(diào)減函數(shù)，在[2,4]上是單調(diào)增函數(shù)，∴h(x)min＝h(2)＝32，∴h(x)max＝h(1)＝h(4)＝36.∴當0＜a＜1時，有f(x)min＝loga36，當a＞1時，有f(x)min＝loga32.∵當x∈[1,4]時，f(x)≥2恒成立，∴f(x)min≥2.∴滿足條件的a的值滿足下列不等式組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,loga36≥2，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞1，,loga32≥2，)) ②不等式組①的解集為空集，解不等式組②得1＜a≤4eq\r(2).綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是：1＜a≤4eq\r(2).三、解答題8．(·三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)時下，網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生們課外學習的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價格x(單位：元/套)滿足的關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)．已知銷售價格為4元/套時，每日可售出套題21千套．(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大．(保留1位小數(shù))[解析](1)因為x＝4時，y＝21，代入關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套題每日的銷售量y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)＝(x－2)[eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，從而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)，且在(0，eq\f(10,3))上，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(eq\f(10,3)，6)上，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以x＝eq\f(10,3)是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當x＝eq\f(10,3)≈3.3時，函數(shù)f(x)取得最大值．故當銷售價格為3.3元/套時，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大．9．(·全國大綱，22)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(ax,x＋a)(a>1)．討論f(x)的單調(diào)性；[解析]f(x)的定義域為(－1，＋∞)，f′(x)＝eq\f(x[x－a2－2a],x＋1x＋a2).①當1<a<2時，若x∈(－1，a2－2a)，則f′(x)>0，f(x)在(－1，a2－2若x∈(a2－2a,0)，則f′(x)<0，f(x)在(a2－2a若x∈(0，＋∞)，則f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)是增函數(shù)．②當a＝2時，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立當且僅當x＝0，f(x)在(－1，＋∞)是增函數(shù)．③當a>2時，若x∈(－1,0)，則f′(x)>0，f(x)在(－1,0)是增函數(shù)；若x∈(0，a2－2a)，則f′(x)<0，f(x)在(0，a2－2若x∈(a2－2a，＋∞)，則f′(x)>0，f(x)在(a2－210．設(shè)f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；(2)討論g(x)與g(eq\f(1,x))的大小關(guān)系；(3)求a的取值范圍，使得g(a)－g(x)<eq\f(1,a)對任意x>0成立．[分析](1)先求f′(x)，寫出g(x)，對g(x)求導，g′(x)>0求得增區(qū)間，g′(x)<0求得減區(qū)間；(2)作差構(gòu)造函數(shù)h(x)＝g(x)－g(eq\f(1,x))，對h(x)求導，判定其單調(diào)性，進一