2024-2025學年蘇科版九年級數學上冊第一學段《第1-2章》綜合練習題

2024-2025學年蘇科版九年級數學上冊第一學段《第1—2章》綜合練習題（附答案）一、選擇題（共30分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．1+x2＝x2+2x B．3x+2y＝0 C．2++x＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝02．若一元二次方程x2+bx+5＝0的一個根為﹣1，則b的值為（）A．2 B．4 C．﹣2 D．63．關于x的方程4x2+ax﹣3＝0的根的情況是（）A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法判斷4．如圖，AB是⊙O的直徑，若∠BAC＝35°，則∠ADC＝（）A．35° B．55° C．70° D．110°5．在平面直角坐標系中，以點（2，3）為圓心，2為半徑的圓必定（）A．與x軸相離，與y軸相切 B．與x軸，y軸都相離 C．與x軸相切，與y軸相離 D．與x軸，y軸都相切6．如圖，點P在⊙O外，PA是⊙O的切線，點C在⊙O上，PC經過圓心O，與圓交于點B，若∠P＝46°，則∠ACP＝（）A．46° B．22° C．27° D．54°7．如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D，E在⊙O上，若∠AEC＝20°，則∠BDC的度數為（）A．100° B．110° C．115° D．120°8．如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延長線于E，若AB＝3，ED＝2，則BC的長為（）A．2 B．3 C．3.5 D．49．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點O、I分別為△ABC的外心和內心，AC＝6，BC＝8，則OI的值為（）A．2 B． C． D．110．如圖，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，⊙P與x軸、y軸都相切，且經過矩形AOBC的頂點C，與BC相交于點D．若⊙P的半徑為5，點A的坐標是（0，8）．則點D的坐標是（）A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）二、填空題（共24分）11．方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是．12．關于x的方程x2﹣2x+（2﹣a）＝0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是．13．經過兩次連續(xù)降價，某藥品銷售單價由原來的50元降到32元，設該藥品平均每次降價的百分率為x，根據題意可列方程是．14．如圖：⊙O與AB相切于點A，BO與⊙O交于點C，∠BAC＝24°，則∠B等于．15．如圖，已知⊙O的弦AB＝3，點C在⊙O上，且∠ACB＝60°，則⊙O的直徑是．16．如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的兩個根，那么α2+2α﹣β的值是．17．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點O在對角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是．18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE面積的最小值為．三、解答題（共66分）19．用恰當的方法解下列方程：（1）5x2＝3x；（2）2x2﹣5x﹣3＝0；（3）（x﹣3）2＝3（x﹣3）；（4）x2﹣（2x+1）2＝0；（5）x2+2x﹣120＝0；（6）x（x+1）+2（x﹣1）＝0．20．如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？21．如圖，點D是等腰△ABC底邊的中點，過點A、B、D作⊙O．（1）求證：AB是⊙O的直徑；（2）延長CB交⊙O于點E，連接DE，求證：DC＝DE．22．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，∠CAB的平分線AD交于點D，過點D作DE∥BC交AC的延長線于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）過點D作DF⊥AB于點F，連接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的長度．23．如圖，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一點，⊙O經過點A、C、D，交BC于點E，過點D作DF∥BC，交⊙O于點F．求證：（1）四邊形DBCF是平行四邊形；（2）AF＝EF．24．如圖，在⊙O中，點P為的中點，弦AD、PC互相垂直，垂足為M，BC分別與AD、PD相交于點E、N，連接BD、MN．（1）求證：N為BE的中點．（2）若⊙O的半徑為8，的度數為90°，求線段MN的長．

參考答案一、選擇題（共30分）1．解：A．1+x2＝x2+2x，1＝2x，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B．3x+2y＝0是二元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；C．2++x＝0不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；D．（x﹣1）（x+2）＝0，整理得：x2+x﹣2＝0，是一元二次方程，故本選項符合題意．故選：D．2．解：由題意得：把x＝﹣1代入x2+bx+5＝0中得：（﹣1）2+b?（﹣1）+5＝0，1﹣b+5＝0，解得：b＝6，故選：D．3．解：4x2+ax﹣3＝0，∵a2≥0，∴Δ＝a2+48≥48＞0，則方程有兩個不相等的實數根．故選：B．4．解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠ADC＝∠ABC＝55°．故選：B．5．解：∵是以點（2，3）為圓心，2為半徑的圓，如圖所示：∴這個圓與y軸相切，與x軸相離．故選：A．6．解：如圖：連接AO∵PA是⊙O的切線∴∠OAP＝90°又∵∠P＝46°∴∠AOP＝44°∵AO＝CO∴∠ACO＝∠CAO∵∠ACO+∠CAO＝∠AOP∴∠ACO＝22°即∠ACP＝22°故選：B．7．解：如圖，連接BE．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠AEC＝20°，∴∠BEC＝90°﹣20°＝70°，∵∠CDB+∠BEC＝180°，∴∠BDC＝110°，故選：B．8．解：由切割線定理，得DE2＝EA?EB，∵AB＝3，ED＝2，∴4＝AE（AE+3），解得AE＝1或﹣4（舍去），∵CB切⊙O于B，∴∠B＝90°，∴根據勾股定理得，BC2+42＝（BC+2）2，∴BC＝3．故選：B．9．解：如圖，作△ABC的內切圓⊙I，過點I作ID⊥BC于D，IE⊥AC于E，IN⊥AB于N．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10．∵點O為△ABC的外心，∴AO為外接圓半徑，AO＝AB＝5．設⊙I的半徑為r，則ID＝IE＝r，又∵∠IDC＝∠IEC＝∠C＝90°，∴四邊形IECD是正方形，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，∵AB＝10，∴8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2，∴IN＝r＝2，AN＝6﹣r＝4．在Rt△OIN中，∵∠INO＝90°，ON＝AO﹣AN＝5﹣4＝1，∴OI＝＝．故選：C．10．解：設⊙O與x、y軸相切的切點分別是F、E點，連接PE、PF、PD，延長EP與CD交于點G，則PE⊥y軸，PF⊥x軸，∵∠EOF＝90°，∴四邊形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四邊形PEOF為正方形，∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四邊形OACB為矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∴EG∥AC，∴四邊形AEGC為平行四邊形，四邊形OEGB為平行四邊形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4，∴OB＝EG＝5+4＝9，∴D（9，2）．故選：A．二、填空題（共24分）11．解：x（x﹣2）＝2﹣x，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1；故答案為：x1＝2，x2＝﹣1．12．解：由題意得：b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（2﹣a）＝4a﹣4＞0，解得：a＞1．∴a的取值范圍是a＞1．故答案為：a＞1．13．解：由題意可得，50（1﹣x）2＝32，故答案為：50（1﹣x）2＝32．14．解：連接OA．則OA⊥AB．∵∠BAC＝24°，∴∠OAC＝90°﹣24°＝66°．∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝66°．∴∠B＝66°﹣24°＝42°．故答案為42°．15．解：過A點作直徑AD，連接BD，如圖，∠ABD＝90°，又∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝30°，∵AB＝3cm，∴BD＝＝＝，∴AD＝2BD＝2，即⊙O的直徑為2．故答案為：2．16．解：∵α，β是方程x2+3x﹣1＝0的兩個實數根，∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣1＝0即α2+3α＝1，又∵α2+2α﹣β＝α2+3α﹣α﹣β＝α2+3α﹣（α+β），將α+β＝﹣3，α2+3α＝1代入得，α2+2α﹣β＝α2+3α﹣（α+β）＝1+3＝4．故填空答案：4．17．解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如圖1，設⊙O與AD邊相切于E，連接OE，則OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴＝，∴AO＝，如圖2，設⊙O與BC邊相切于F，連接OF，則OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴＝，∴＝，∴OC＝，∴AO＝，∴如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是＜AO＜，故答案為：＜AO＜．18．解：如圖，連接OB，取OA的中點M，連接CM，過點M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝1，∴點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的⊙M，設⊙M交MN于C′．∵直線y＝x﹣3與x軸、y軸分別交于點D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE＝＝＝5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴＝，∴＝，∴MN＝，當點C與C′重合時，△C′DE的面積最小，△C′DE的面積最小值＝×5×（﹣1）＝2，故答案為2．三、解答題（共66分）19．解：（1）∵5x2＝3x，∴5x2﹣3x＝0，則x（5x﹣3）＝0，∴x＝0或5x﹣3＝0，解得x1＝0，x2＝0.6；（2）∵2x2﹣5x﹣3＝0，∴（x﹣3）（2x+1）＝0，則x﹣3＝0或2x+1＝0，解得x1＝3，x2＝﹣0.5；（3）∵（x﹣3）2＝3（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣3（x﹣3）＝0，則（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝6；（4）∵x2﹣（2x+1）2＝0，∴（3x+1）（﹣x﹣1）＝0，則3x+1＝0或﹣x﹣1＝0，解得x1＝﹣，x2＝﹣1；（5）∵x2+2x﹣120＝0，∴（x+12）（x﹣10）＝0，則x+12＝0或x﹣10＝0，解得x1＝﹣12，x2＝10；（6）∵x（x+1）+2（x﹣1）＝0，∴x2+3x﹣2＝0，∴a＝1，b＝3，c＝﹣2，則Δ＝9﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．20．解：設AB的長度為x米，則BC的長度為（100﹣4x）米．根據題意得（100﹣4x）x＝400，解得x1＝20，x2＝5．則100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．∵80＞25，∴x2＝5舍去．即AB＝20，BC＝20．答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米．21．（1）證明：連接BD，∵BA＝BC，AD＝DC，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴AB是⊙O的直徑；（2）證明：∵BA＝BC，∴∠A＝∠C，由圓周角定理得，∠A＝∠E，∴∠C＝∠E，∴DC＝DE．22．解：（1）連接OD，如圖，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴＝，∴BD2＝BF?BA＝2×6＝12．∴BD＝2．解法二：利用勾股定理求出DF，再利用勾股定理求出BD即可．23．證明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四邊形DBCF是平行四邊形；（2）連接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四邊形AECF是⊙O的內接四邊形，∴∠ECF+∠