湖南省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題含答案

名校聯(lián)盟?2024年下學(xué)期高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè).全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知空間向量，，若，則（

）A．1 B． C． D．32．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知空間向量，，則以為單位正交基底時(shí)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．樣本數(shù)據(jù)：48，49，50，50，50，50，51，52的方差為（

）A．1 B．1.25 C．2.5 D．45．底面圓周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為4的圓錐內(nèi)切球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心為，，則（

）A． B． C． D．7．近日，我國(guó)某生命科學(xué)研究所的生物研究小組成員通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出睡眠中的恒溫動(dòng)物的脈搏率（單位時(shí)間內(nèi)心跳的次數(shù)）與其自身體重滿足的函數(shù)模型.已知一只恒溫動(dòng)物兔子的體重為2kg、脈搏率為205次，若經(jīng)測(cè)量一匹馬的脈搏率為41次，則這匹馬的體重為（

）A．350kg B．450kg C．500kg D．250kg8．已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．如圖，四棱柱中，為的中點(diǎn)，為上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．的值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減 D．11．已知正數(shù)，滿足且，則（

）A．的最小值為16 B．的最小值為4C．的最小值為 D．，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，則.13．的取值范圍為.14．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到，，，這四點(diǎn)的距離之和的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，.(1)若，求的值；(2)求的最小值.16．已知為純虛數(shù).(1)求；(2)求.17．2024年西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽于8月4日至10日在上海隆重舉行，此次賽事不僅是對(duì)中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的一次全面考驗(yàn)，更是對(duì)數(shù)學(xué)教育未來(lái)發(fā)展的深刻實(shí)踐探索，共有200多名學(xué)生參賽，引起社會(huì)廣泛關(guān)注，點(diǎn)燃了全社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的熱情.甲、乙、丙3名同學(xué)各自獨(dú)立去做2024年西部數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽預(yù)賽中的某道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為.(1)求乙、丙各自解出該題的概率；(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.18．如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，，，分別為，的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求四棱柱被平面截得的截面周長(zhǎng)；(3)求直線與平面所成角的正切值.19．已知，，分別為銳角內(nèi)角的對(duì)邊，，，（為外接圓的半徑）.(1)證明：；(2)求的最小值.1．B【分析】由空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，解得，故選：B.2．C【分析】先解對(duì)數(shù)不等式求出集合A，再結(jié)合交集定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以所?故選：C.3．B【分析】由空間向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理，結(jié)合單位正交基底，求向量的坐標(biāo).【詳解】空間向量，，則，故以為單位正交基底時(shí)的坐標(biāo)為.故選：B.4．B【分析】先求出數(shù)據(jù)的平均值，由方差公式計(jì)算方差.【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差.故選：B.5．C【分析】作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，利用直角三角形求出內(nèi)切球的半徑，再計(jì)算內(nèi)切球的體積.【詳解】由題意可知，圓錐的母線，底面半徑，根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如圖所示：根據(jù)圓錐和球的對(duì)稱性可知，球的截面為圓，即為等腰的內(nèi)切圓，即，，，，在中，，由，，則，在中，，即，可得，解得，即內(nèi)切球的半徑，故內(nèi)切球體積為.故選：C.6．A【分析】根據(jù)兩相鄰對(duì)稱中心的距離為周期的一半及周期公式求得，再代入正弦函數(shù)的中心對(duì)稱結(jié)論列式，根據(jù)求解即可.【詳解】由圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心為，，可得，所以，故，又，則，結(jié)合，得.故選：A.7．D【分析】根據(jù)已知函數(shù)模型代入即可得出，最后再根據(jù)脈搏率得出體重.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則，故.故選：D.8．A【分析】先分和兩種情況得出函數(shù)的圖象再結(jié)合圖象得出2個(gè)不等的實(shí)根，再計(jì)算可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，

結(jié)合圖象可得，當(dāng)時(shí)，方程在上有且僅有2個(gè)不等的實(shí)根，，且，所以的取值范圍是.故選：A.9．BD【分析】運(yùn)用空間向量的基底表示，結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運(yùn)算規(guī)則可解.【詳解】，即，故A錯(cuò)誤、B正確；，即，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10．BC【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)值域的求法求解判斷B，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)法則判斷C，利用單調(diào)性比較大小判斷D.【詳解】易得的定義域?yàn)镽，且，故不為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；令，則，因?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)?，故B正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算求和再結(jié)合基本不等式計(jì)算求出和的最小值判斷A,B,C，最后根據(jù)不等式性質(zhì)判斷D.【詳解】由題意可得，，，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，經(jīng)檢驗(yàn)后無(wú)法取得等號(hào)，故A、B錯(cuò)誤；由得，由得：，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，經(jīng)檢驗(yàn)后無(wú)法取得等號(hào)，的最小值不為，故C錯(cuò)誤；，，，，故D正確，故選：D.12．【分析】先根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)計(jì)算求參得出或，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算得出符合題意的參數(shù).【詳解】由題意可得為冪函數(shù)，則，解得或.當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在0,+∞單調(diào)遞減，符合題意.故答案為:.13．【分析】利用輔助角公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，又，所以，所以.故答案為：.14．【分析】由圖形的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)為正方體中心時(shí)，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和最小值為，到這兩點(diǎn)的距離之和的最小值為，求值即可.【詳解】點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為，因?yàn)殛P(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，故，當(dāng)且僅當(dāng)為中點(diǎn)，即為正方體中心時(shí)等號(hào)成立；點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和可表示為，則，當(dāng)且僅當(dāng)在所在直線上時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)為正方體中心時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.15．(1)2或(2)【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算求參；（2）先由空間兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算，再結(jié)合二次函數(shù)值域求解.【詳解】（1）由題意可得，，因?yàn)椋獾没颍?）由空間兩點(diǎn)間的距離公式，得，當(dāng)時(shí)，有最小值.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，最后根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方計(jì)算，再結(jié)合復(fù)數(shù)的周期性，再求和即可.【詳解】（1）由題意可得，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得.（2）由（1）得到，又，，，，則，，，，，即有，，故.17．(1)，(2)【分析】（1）設(shè)出事件，運(yùn)用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式及對(duì)立事件概率公式求解即可；（2）運(yùn)用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，結(jié)合對(duì)立事件概率公式計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)“甲解出該題”為事件，“乙解出該題”為事件，“丙解出該題”為事件，則，，相互獨(dú)立，由題意得，，所以，，所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為，.（2）設(shè)“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，則，因?yàn)椋?，，所以，，，因?yàn)?、、相互?dú)立，所以.所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得出線面垂直，進(jìn)而得出根據(jù)角得出，最后應(yīng)用線面垂直判定定理證明；（2）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行得出截面再根據(jù)圖形特征計(jì)算邊長(zhǎng)即可；（3）先根據(jù)線面角定義得出與平面所成角為，再等面積求邊長(zhǎng)比即可得出正切值.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问橇庑危?，為的中點(diǎn)，所以，在直四棱柱中，平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，，，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，且平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，所以平面與平面的交線與平行，所以交線為，連接，，，則四棱柱被平面截得的截面為四邊形，，，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以四邊形的周長(zhǎng)為.（3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，所以點(diǎn)在平面上的射影必在上，所以直線與平面所成角為，因?yàn)?，，，，所以，所以，即直線與平面所成角的正切值為.19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)圓的特征得出，從