江蘇省南通市海安市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué) 數(shù)學(xué)試題含答案

2025屆高三期初學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知命題，則：（

）A． B． C． D．3．函數(shù)在區(qū)間上（

）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先增后減 D．先減后增4．已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．5．已知，則（

）A． B．6 C．8 D．96．設(shè)，函數(shù)，則“關(guān)于x的不等式的解集為”是“恒成立”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分不必要7．已知直線與曲線相切，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．58．若函數(shù)的3個零點(diǎn)由小到大排列成等差數(shù)列，則（

）A．2 B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．下列曲線平移后可得到曲線的是（

）A． B． C． D．10．一般認(rèn)為，教室的窗戶面積應(yīng)小于地面面積，但窗戶面積與地面面積之比應(yīng)不小于15%，且這個比值越大，通風(fēng)效果越好．（

）A．若教室的窗戶面積與地面面積之和為，則窗戶面積至少應(yīng)該為B．若窗戶面積和地面面積都增加原來的10%，則教室通風(fēng)效果不變C．若窗戶面積和地面面積都增加相同的面積，則教室的通風(fēng)效果變好D．若窗戶面積第一次增加了m%，第二次增加了,地面面積兩次都增加了，則教室的通風(fēng)效果變差11．設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且不恒為0，下列結(jié)論正確的是（

）A．若具有奇偶性，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)中恰有一個為常函數(shù)，其函數(shù)值為0B．若不具有奇偶性，則滿足奇函數(shù)與偶函數(shù)不存在C．若為奇函數(shù)，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無數(shù)對D．若為偶函數(shù)，則滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在無數(shù)對三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)處的切線都不相同，則滿足題設(shè)的一個．13．已知矩形的周長為24，將沿向折疊，AB折過去后與DC交于點(diǎn)P．設(shè)，則（用x表示），當(dāng)?shù)拿娣e最大時，．14．已知a為常數(shù)，且．定義在上的函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，，則．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，上的動點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求．16．某學(xué)習(xí)小組研究得到以下兩個公式：①；②．(1)請你在①和②中任選一個進(jìn)行證明；(2)在中，已知，求的面積．17．分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)作兩條平行直線，與C在x軸上方的曲線分別交于點(diǎn)．(1)當(dāng)P為C的上頂點(diǎn)時，求直線PQ的斜率；(2)求四邊形的面積的最大值．18．已知紅方、藍(lán)方發(fā)射炮彈攻擊對方目標(biāo)擊中的概率均為，紅方、藍(lán)方空中攔截對方炮彈成功的概率分別為.現(xiàn)紅方、藍(lán)方進(jìn)行模擬對抗訓(xùn)練，每次由一方先發(fā)射一枚炮彈攻擊對方目標(biāo)，另一方再進(jìn)行空中攔截，輪流進(jìn)行，各攻擊對方目標(biāo)一次為1輪對抗.經(jīng)過數(shù)輪對抗后，當(dāng)一方比另一方多擊中對方目標(biāo)兩次時，訓(xùn)練結(jié)束.假定紅方、藍(lán)方互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.記在1輪對抗中，紅方擊中藍(lán)方目標(biāo)為事件A，藍(lán)方擊中紅方目標(biāo)為事件B.求：(1)概率；(2)經(jīng)過1輪對抗，紅方與藍(lán)方擊中對方目標(biāo)次數(shù)之差X的概率分布及數(shù)學(xué)期望；(3)在4輪對抗后訓(xùn)練結(jié)束的條件下，紅方比藍(lán)方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率．19．（1）函數(shù)與的圖象有怎樣的關(guān)系?請證明；（2）是否存在正數(shù)c，對任意的，總有？若存在，求c的最小值；若不存在，請說明理由；（3）已知常數(shù)，證明：當(dāng)x足夠大時，總有．1．B【分析】解一元二次不等式求出集合A，然后由交集運(yùn)算可得.【詳解】解不等式，得，所以.故選：B2．C【分析】利用存在題詞命題的否定是全稱量詞命題，直接寫出結(jié)論.【詳解】命題是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題，所以：.故選：C3．D【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】，即，設(shè)，則單調(diào)遞減，且故存在唯一一個使故在上，，此時單調(diào)遞減；在上，，此時單調(diào)遞增；故在區(qū)間上先減后增.故選：D4．C【分析】根據(jù)解析式代入驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以f1+x故選：C5．D【分析】根據(jù)題意，利用對數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合指數(shù)冪與對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由，可得，則，則.故選：D.6．A【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)確定不等式和函數(shù)成立的條件，再由充分必要條件得出結(jié)果即可；【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為，則，可得恒成立，故充分性成立；取，滿足恒成立，但的解集為，故必要性不成立；所以“關(guān)于x的不等式的解集為”是“恒成立”的充分不必要條件.故選：A.7．C【分析】設(shè)切點(diǎn)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，由題意列出的關(guān)系，進(jìn)而得到，再由二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求導(dǎo)：得，由題意可得解得：，所以，所以時，的最大值為.故選:C8．D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為和的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象以及一元二次方程的根可得，，即可利用等差中項(xiàng)求解.【詳解】令可得，在同一直角坐系中作出和的圖象如下：要使有3個零點(diǎn)，則，由圖可知：有一個零點(diǎn)，有2個零點(diǎn)，且，即有一個零點(diǎn)，有2個零點(diǎn)，且故，，由于，故，化簡可得，平方解得，由于，故，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)y=fx零點(diǎn)個數(shù)的常用方法：(1)直接法：令則方程實(shí)根的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；(2)零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.9．ABD【分析】根據(jù)圖像的平移變換可判斷ABD，根據(jù)圖像的伸縮變換可判斷C.【詳解】對于A，曲線向右平移3個單位可得到曲線，故A正確；對于B，曲線向上平移3個單位可得到曲線，故B正確；對于C，曲線橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍可得到曲線，故C錯誤；對于D，曲線，向左平移個單位可得到曲線，故D正確；故選：ABD10．BC【分析】設(shè)該公寓窗戶面積為x，依題意列出不等式組求解可判斷A；記窗戶面積為a和地板面積為b，同時根據(jù)B，C，D設(shè)增加的面積，表示出增加面積前后的比值作差比較即可判斷B，C，D.【詳解】對于A，設(shè)該公寓窗戶面積為，則地板面積為，依題意有，解得，所以，這所公寓的窗戶面積至少為，故A錯誤；對于B，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時窗戶增加的面積為，同時地板增加的面積為，由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，所以公寓采光效果不變，故B正確；對于C，記窗戶面積為a和地板面積為b，同時增加的面積為c.由題可知，，增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，因?yàn)?，且，所以，?所以，同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了，故C正確；對于D，記窗戶面積為a和地板面積為b，則窗戶增加后的面積為,地板增加后的面積為，由題可知增加面積前后窗戶面積與地板面積的比分別為，因?yàn)?，又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所?當(dāng)時，采光效果不變，所以無法判斷公寓的采光效果是否變差了，故D錯誤.故選：BC.11．ACD【分析】利用奇偶性的定義即可判斷A選項(xiàng)；通過舉例，即可判斷B選項(xiàng)；通過構(gòu)造，即可判斷C選項(xiàng)；通過構(gòu)造即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，，則，當(dāng)為奇函數(shù)時，則，即；當(dāng)為偶函數(shù)時，則，即，即滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)中恰有一個為常函數(shù)，其函數(shù)值為0，故A正確；對于B，當(dāng)，時，不具有奇偶性，滿足的奇函數(shù)與偶函數(shù)存在，故B錯誤；對于C，為奇函數(shù)時，令奇函數(shù)，偶函數(shù)，則，，故存在無數(shù)對奇函數(shù)與偶函數(shù)，滿足.故C正確；對于D，為偶函數(shù)，令奇函數(shù)，偶函數(shù)，則，，故存在無數(shù)對奇函數(shù)與偶函數(shù)，滿足.故D正確.故選：ACD12．（答案不唯一）【分析】只需要函數(shù)在不同點(diǎn)處的切線斜率不同即可.【詳解】設(shè)，則.在上任取一點(diǎn)，則函數(shù)在該點(diǎn)處的切線方程為：即.只要不同，切線方程就不同.故答案為：（答案不唯一）13．.【分析】結(jié)合圖形，折疊后易得，設(shè)，利用，即可求得的表示式；依題意，求出的面積表示式，利用基本不等式即可求得面積最大值，從而得到此時的值.【詳解】

如圖2是圖1沿著折疊后的圖形，因，則，因矩形的周長為24，則，對折后,易得,設(shè)，則,在中，由勾股定理，，整理得，即的面積為，因，則當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時時，.故答案為：；.14．1【分析】根據(jù)題意，先求出，再賦值得到，將轉(zhuǎn)化為，運(yùn)用不等式傳遞性，得到.式子恒成立.只能.解方程即可.【詳解】時，，則.．定義在R上的函數(shù)滿足：．令，得到，即.由于，則.則要使得式子恒成立，則，解得或或者.由于.則.故答案為：1．15．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）證明線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到，故，從而得到線面垂直，故為平面的一個法向量，結(jié)合平面的法向量，利用向量夾角余弦公式得到方程，求出，從而求出.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又，故兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，設(shè)，，所以，則，則，故；

（2），則，則，則，又，平面，所以平面，故為平面的一個法向量，又平面的法向量為，則平面與平面的夾角的余弦值為，又平面與平面的夾角的余弦值為，所以，解得，故.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）若選①，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關(guān)系即可證明；若選②，利用兩角和差的正弦公式及同角之間的關(guān)系即可證明；（2）利用兩角和差的正弦公式及正弦定理可得，再利用面積公式求解.【詳解】（1）若選①，證明如下：.若選②，證明如下：.（2）由已知，可得，即，即，由正弦定理可得，又，所以，所以的面積.17．(1)(2)3【分析】（1）結(jié)合圖形，易得，求得的斜率，由直線與橢圓的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)，即得直線PQ的斜率；（2）結(jié)合圖形，由對稱性可知，四邊形是平行四邊形，四邊形的面積是面積的一半，設(shè)直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，求出和點(diǎn)到直線的距離，得到四邊形的面積函數(shù)式，利用換元和對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積的最大值.【詳解】（1）由可知,橢圓上頂點(diǎn)為，即,直線的斜率為，則直線的方程為：，將其代入整理得，，解得，或，因點(diǎn)在x軸上方,故得點(diǎn)，于是直線PQ的斜率為：；（2）如圖，設(shè)過點(diǎn)的兩條平行線分別交橢圓于點(diǎn)和，利用對稱性可知，四邊形是平行四邊形，且四邊形的面積是面積的一半.顯然這兩條平行線的斜率不可能是0（否則不能構(gòu)成構(gòu)成四邊形），可設(shè)直線的方程為代入，整理得：，顯然，設(shè)，則，于是，，點(diǎn)到直線的距離為，則四邊形的面積為，令，則，且，代入得，，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時，取得最小值為4，此時.18．(1)，(2)分布列見解析，(3)【分析】（1）根據(jù)概率的乘法公式即可求出；（2）求出的可能取值范圍及對應(yīng)的概率，求出；（3）分藍(lán)方擊中、和次三種情況討論，結(jié)合條件概率即可求解.【詳解】（1），；（2）的可能取值為，因?yàn)?，，，所以分布列為：所以；?）先考慮四輪后對抗結(jié)束的概率：若紅方多擊中兩次，則分為：①若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率為，②若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率為，③若藍(lán)方擊中次，則紅方比藍(lán)方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率為，所以四輪后對抗結(jié)束且紅方比藍(lán)方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率為；若藍(lán)方多擊中兩次，則分為：①若紅方擊中次，則藍(lán)方比紅方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率為，②若紅方擊中次，則藍(lán)方比紅方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率為，③若紅方擊中次，則藍(lán)方比紅方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率為，所以四輪后對抗結(jié)束且藍(lán)方比紅方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率為；所以在4輪對抗后訓(xùn)練結(jié)束的概率為，所以在4輪對抗后訓(xùn)練結(jié)束的條件下，紅方比藍(lán)方多擊中對方目標(biāo)兩次的概率為.19．（1）關(guān)于直線對稱，證明見解析；（2）存在，；（3）證明見解析.【分析】（1）利用互為反函數(shù)的性質(zhì)判斷并證明.（2）由零點(diǎn)，可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明時不等式恒成立.（3）根據(jù)給定條件，等價變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理推理即得.【詳解】（1）函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，令為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，即，則，因此點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，反之亦然，而點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.（2）存在正數(shù)，對任意的，恒成立，令，顯然，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長特征，在上恒有，當(dāng)時，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，；令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以存在正數(shù)c，對任意的，總有