江西省宜春市豐城市第九中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試 數(shù)學(xué)試題（日新班）含答案

豐城九中2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二日新開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷總分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知向量，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．4．若實(shí)數(shù)，，滿足，，，則（

）A． B． C． D．5．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則復(fù)數(shù)的虛部為（

）

A． B． C． D．6．，的導(dǎo)函數(shù)為，則（

）A． B．C． D．7．在中，角的對(duì)邊分別是，，，則“”是“是銳角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)Р是側(cè)面上的點(diǎn)，且點(diǎn)Р到棱與到棱AD的距離均為1，用過(guò)點(diǎn)Р且與垂直的平面去截該正方體，則截面在正方體底面ABCD的投影多邊形的面積是（

）A． B．5 C． D．8二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知函數(shù)，且滿足，則（

）A．函數(shù)在處有極大值B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C．函數(shù)在有極大值D．函數(shù)在區(qū)間和上是增函數(shù)10．若正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．B．有序數(shù)對(duì)有6個(gè)C．的最小值是D．11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上）12．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.13．函數(shù)的值域?yàn)?14．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，分別交軸于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，過(guò)作外角平分線的垂線與直線交于點(diǎn)，則.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算）15．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)證明：.(2)若，，求的面積.16．已知函數(shù)fx(1)當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f1(2)若函數(shù)gx=fx17．如圖，已知點(diǎn)列在曲線上，點(diǎn)列在x軸上，，，為等腰直角三角形．(1)求，，；（直接寫(xiě)出結(jié)果）(2)求數(shù)列an(3)設(shè)，證明：．18．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且和的長(zhǎng)度保持相等，記.(1)求長(zhǎng)的最小值；(2)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求二面角的正弦值.19．已知等比數(shù)列的公比為q（），其所有項(xiàng)構(gòu)成集合A，等差數(shù)列的公差為d（），其所有項(xiàng)構(gòu)成集合B．令，集合C中的所有元素按從小到大排列構(gòu)成首項(xiàng)為1的數(shù)列．(1)若集合，寫(xiě)出一組符合題意的數(shù)列和；(2)若，數(shù)列為無(wú)窮數(shù)列，，且數(shù)列的前5項(xiàng)成公比為p的等比數(shù)列．當(dāng)時(shí)，求p的值；(3)若數(shù)列是首項(xiàng)為1的無(wú)窮數(shù)列，求證：“存在無(wú)窮數(shù)列，使”的充要條件是“d是正有理數(shù)”．1．D【分析】根據(jù)集合的交集以及并集運(yùn)算，可判斷A，C；根據(jù)集合的元素可判斷A，B之間的關(guān)系，判斷B；求得，確定集合的元素，可判斷D.【詳解】因?yàn)榧?，故，A錯(cuò)誤；由于，但，故A不是B的子集，B錯(cuò)誤，，C錯(cuò)誤；，D正確，故選：D2．D【分析】由向量夾角的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D．3．A【分析】直接求導(dǎo)代入即可得解.【詳解】由題，，故.故選：A.4．A【分析】首先判斷，，且，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，又，則，且，即，因?yàn)?，所以，所?故選：A5．D【分析】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)求出復(fù)數(shù)，，計(jì)算，得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則，，得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D6．D【分析】對(duì)兩邊求導(dǎo)可得，C錯(cuò)誤，D正確，舉出反例得到AB錯(cuò)誤.【詳解】CD選項(xiàng)，兩邊求導(dǎo)得，故，，C錯(cuò)誤，D正確，AB選項(xiàng)，可令，滿足，，即，可以得到，，AB錯(cuò)誤.故選：D7．B【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，但不一定為銳角；若是銳角三角形可知滿足，即可得出結(jié)論.【詳解】由是銳角三角形，得，從而，故，即，即，可得，即必要性成立；反之，若“”可得，即，可得，可知，但角可能為鈍角，所以充分性不成立；故選：B8．C【分析】根據(jù)題意畫(huà)出與垂直的平面GJKLNM，作出其投影平面AOQCKJ，已知正方體棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)Р到棱與到棱AD的距離均為1，所以點(diǎn)G，J，K，L，N，M均為各棱的三等分點(diǎn)，求出投影的面積S即可得出答案.【詳解】由題意可以作出與垂直的平面，利用面面平行可作出過(guò)點(diǎn)P且平行于平面的平面GJKLNM，則平面GJKLNM與垂直，作出點(diǎn)M，N的投影O，Q，平面AOQCKJ的面積S即為所求，已知正方體棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)Р到棱與到棱AD的距離均為1，所以點(diǎn)G，J，K，L，N，M均為各棱的三等分點(diǎn)，故選：C.9．CD【分析】求導(dǎo)，根據(jù)得，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性以及極值.【詳解】的定義域?yàn)楣柿罨?；令或在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減有極大值，有極小值.故選：CD10．AB【分析】對(duì)于A，使用條件即可證明；對(duì)于B，設(shè)并證明整除，再驗(yàn)證的全部因子即可；對(duì)于C，直接證明即可否定；對(duì)于D，給出，作為反例即可否定.【詳解】對(duì)于A，由已知正實(shí)數(shù)滿足，有，，故A正確；對(duì)于B，由于，，故是正整數(shù)，設(shè)，則，所以.而，故整除，得.驗(yàn)證知時(shí)，都滿足條件，所以符合條件的有序數(shù)對(duì)有6個(gè)，故B正確；對(duì)于C，由于，且，，從而，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，有，故，從而.但此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是C選項(xiàng)中對(duì)基本不等式的適當(dāng)運(yùn)用.11．BCD【分析】利用賦值法求得即可判斷A；利用賦值可得，并且判斷出，由不等式的性質(zhì)可得，即可判斷B；利用函數(shù)的奇偶性以及的值即可判斷C；利用等比數(shù)列的判定可得的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的求和公式可得，即可判斷D．【詳解】令，，則，將代入得，即，故A錯(cuò)誤；由，令可得，若存在x使得，則上式變?yōu)?，顯然不成立，所以，又，因?yàn)椋?，將整理為，因?yàn)?，即，所以，故B正確；令，則，且，所以為奇函數(shù)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，由可知，因?yàn)?，所以，所以，故D正確；故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的奇偶性，等比數(shù)列的判定與證明以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和進(jìn)行分析，由此即可順利得解．12．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式有關(guān)知識(shí)求得正確答案.【詳解】由于，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：13．【分析】令,將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，令，?dāng)且僅當(dāng)，即x=?1時(shí)取“等號(hào)”∴fx的值域?yàn)?故答案為：14．##【分析】根據(jù)橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為4a，結(jié)合的周長(zhǎng)可求出a的值，再根據(jù)外角平分線性質(zhì)求出，由勾股定理即可求得答案.【詳解】由題意知過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則,故的周長(zhǎng)為，由于，且O是的中點(diǎn)，O在上，則為的中位線，則的周長(zhǎng)為周長(zhǎng)的一半，而的周長(zhǎng)為6，即，則橢圓方程為，則,設(shè)外角平分線為，又過(guò)作外角平分線的垂線與直線交于點(diǎn)，故，則，故，故答案為：15．(1)證明見(jiàn)解析(2)或【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式計(jì)算即可；（2）利用余弦定理及（1）的結(jié)論，三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理知，整理得，因?yàn)椋?，由正弦定理可得；?）因?yàn)?，所以，由余弦定理可得，即，則，因?yàn)椋?，所以，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的面積.所以的面積為或.16．(1)(2)0,【分析】（1）求出f′1、（2）轉(zhuǎn)化為y=a,y=lnxx2的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，令【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，fx=lnx?2f′1=1?4+2=?1所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為即；（2）gx由gx=0得y=a,y=ln令?x?′x=1?2lnx當(dāng)時(shí)，?′x<0，?x且時(shí)，?x>0，?所以時(shí)，?x<0，所以?所以若函數(shù)gx則0<a<1所以實(shí)數(shù)的取值范圍為0,12e17．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，可求得，，同理可得；（2）由題意可得，進(jìn)而可得，可求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）由（2）可得，進(jìn)而可證結(jié)論成立.【詳解】（1）由為等腰直角三角形，所以直線的直線斜率為1，故直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，可解得或，從而可得，可得的橫坐標(biāo)為1，因?yàn)?，解得，由，所以，可得，可得，解得；?）由題意可得，所以，所以，所以，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，（3）由（1）可得，所以，所以，，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的第（3）問(wèn)的關(guān)鍵在于利用放縮法推導(dǎo)出，再利用數(shù)列求和結(jié)合不等式進(jìn)行推導(dǎo)，從而證得結(jié)論成立.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）結(jié)果，得到，再求出平面和的法向量，再利用兩平面夾角的向量法，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槊婷?，又面面，，面，所以面，又，如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)閮蓚€(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則，又，則，得到，同理可得，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，最小值為.（2）由（1）知，的長(zhǎng)最小時(shí)，分別為正方形對(duì)角線和的中點(diǎn)，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，由，取，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，，由，取，可得，則，所以，因此，二面角的正弦值為.19．(1)取為；為.(2).(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）取為；為，可驗(yàn)證它們符合題設(shè)要求.（2）可證明，設(shè)的前5項(xiàng)為：，就或分類(lèi)討論后可求p的值．（3）可證，利用二項(xiàng)式定理可證明充分性，利用反證法結(jié)合等比中項(xiàng)可證明必要性.【詳解】（1）取為；為，則滿足：，故為等比數(shù)列.而，故為等差數(shù)列，故此時(shí)，符合題意.（2）因?yàn)榧螩中的所有元素按從小到大排列構(gòu)成首項(xiàng)為1的數(shù)列，故中各項(xiàng)均為正數(shù)，所以中的各項(xiàng)均為正數(shù)，而為無(wú)窮等差數(shù)列，故.設(shè)的前5項(xiàng)為：，因?yàn)?，，，所以，此時(shí)必有，事實(shí)上，若，則的前5項(xiàng)即是的前5項(xiàng)，與矛盾．所以或．若，則，所以，此時(shí)的前5項(xiàng)為1，，2，，4，即，，所以數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以符合題意；若，則或①時(shí)，有p，，成等差數(shù)列，所以，解得，與矛盾；②時(shí)，有，所以，所以的前5項(xiàng)為1，，，2，，因?yàn)?，所以，即，所以，故，與為等差數(shù)列矛盾．所以不可能．綜上，p的值為．（3）因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為1的無(wú)窮數(shù)列，由（2）知，數(shù)列是遞增的數(shù)列；對(duì)于公比不為1的無(wú)窮數(shù)列，必有，．否則，若q為負(fù)，則相鄰兩項(xiàng)必有一項(xiàng)為負(fù)，這與中的最小項(xiàng)為矛盾；若，則當(dāng)時(shí)，，即，這與中的最小項(xiàng)為矛盾．先證明充分性：當(dāng)d是正有理數(shù)時(shí)，因?yàn)閿?shù)列是遞增的等差數(shù)列，所以，設(shè)（s，，s，t互質(zhì)），則，令，則，，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列的第n項(xiàng)是數(shù)列的第項(xiàng)，所以數(shù)列中的項(xiàng)都是數(shù)