山東省青島市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研檢測 數(shù)學(xué)試題含答案

2024年高三年級(jí)期初調(diào)研檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（

）A．1 B． C． D．3．已知命題p：，，則為（

）A．， B．，C．， D．，4．等差數(shù)列an的首項(xiàng)為，公差不為0，若成等比數(shù)列，則an的前6項(xiàng)和為（

）A． B．3 C． D．245．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以x軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．若，則（

）A． B． C．1 D．6．兩個(gè)粒子A，B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時(shí)刻，它們的位移分別為，．粒子B相對(duì)粒子A的位移為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．設(shè)，若是的最小值，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．以F1F2為直徑的圓和C的漸近線在第一象限交于A點(diǎn)，直線AF1交C的另一條漸近線于點(diǎn)B，，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．一組數(shù)據(jù)：x1，x2，…，x10是公差為－2的等差數(shù)列，去掉首末兩項(xiàng)x1，x10后得到一組新數(shù)據(jù)，則（

）A．兩組數(shù)據(jù)的極差相同 B．兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C．兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 D．兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同10．平面過正方體的頂點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面平面，則（

）A． B．平面 C．平面 D．所成的角為11．設(shè)數(shù)列an和bn的項(xiàng)數(shù)均為，稱為數(shù)列an和bn的距離．記滿足的所有數(shù)列an構(gòu)成的集合為．已知數(shù)列和為中的兩個(gè)元素，項(xiàng)數(shù)均為，下列正確的有（

）A．?dāng)?shù)列和數(shù)列的距離為B．若，則C．若，則D．若，，數(shù)列和的距離小于，則的最大值為三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12．若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則．13．若，是函數(shù)的兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)，則．14．正方體的棱長為，是側(cè)面（包括邊界）上一動(dòng)點(diǎn)，是棱上一點(diǎn)，若，且的面積是面積的倍，則三棱錐體積的最大值是．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為和，且每次活動(dòng)甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響．(1)求在一次猜謎活動(dòng)中，有一方獲勝的概率；(2)若有一方獲勝則猜謎活動(dòng)結(jié)束，否則猜謎繼續(xù)，猜謎最多進(jìn)行3次，求猜謎次數(shù)X的分布列和期望．16．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，．(1)求；(2)若邊上的高等于，求．17．如圖，在四棱錐中，底面四邊形是正方形，，底面，是線段的中點(diǎn)，在線段上，．(1)證明：平面；(2)在線段上，與所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值．18．已知雙曲線，點(diǎn)在上．按如下方式構(gòu)造點(diǎn)（）；過點(diǎn)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，記點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，記，的面積分別為，求的值．19．已知函數(shù)定義域?yàn)?，，若，，?dāng)時(shí)，都有．則稱為在上的“Ω點(diǎn)”．(1)設(shè)函數(shù)．（i）當(dāng)時(shí)，求在上的最大“Ω點(diǎn)”；（ii）若在上不存在“Ω點(diǎn)”，求a的取值范圍；(2)設(shè)，且，．證明：在D上的“Ω點(diǎn)”個(gè)數(shù)不小于．1．B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)中真數(shù)大于0解出集合，再利用交集含義即可得到答案.【詳解】，則.故選：B.2．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法的計(jì)算公式得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)虛部的概念即可.【詳解】，則，則其虛部為1.故選：A.3．B【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定，否定結(jié)論，全稱變特稱即可.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定，否定結(jié)論，全稱變特稱,則為“，”.故選：B.4．D【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)得到方程，解出，后根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】成等比數(shù)列,則，即，代入.得到，，解得.則的前6項(xiàng)和.故選：D.5．B【分析】運(yùn)用角的終邊對(duì)稱性，得到正弦余弦值之間的關(guān)系，再用兩角差的余弦值計(jì)算即可.【詳解】角α與角β均以x軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.則，，且，，故.故選：B6．C【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的公式和投影向量的公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由向量，，可得粒子相對(duì)粒子的位移為，可得且，所以在上的投影向量為.故選：C.7．A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的最值，結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式，二次不等式求解.【詳解】由于，當(dāng)，，由于是的最小值，則為減區(qū)間，即有，則恒成立.由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，解得.綜上，a的取值范圍為.故選：A.8．C【分析】根據(jù)題意，利用雙曲線的對(duì)稱性，得到，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率，得到答案.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，可得點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，可得，因?yàn)橹本€是雙曲線的漸近線，由雙曲線的對(duì)稱性可知，所以，可得直線的斜率為，則，所以雙曲線的離心率為.故選：C.9．BC【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷C，由中位數(shù)的概念可判斷B，由方差及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可判斷D，根據(jù)極差及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷A．【詳解】對(duì)于C，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，去掉，后的平均數(shù)為，則C正確；對(duì)于B，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，去掉，后的中位數(shù)仍為，即中位數(shù)沒變，則B正確；對(duì)于A，原數(shù)據(jù)的極差為，去掉，后的極差為，即極差變小，則A錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)公差為d，則原數(shù)據(jù)的方差為，去掉，后的方差為，即方差變?。畼?biāo)準(zhǔn)差也變小，則D錯(cuò)誤.故選：BC10．ABC【分析】設(shè)平面平面證得和，可判定A正確；過作平面，設(shè)平面平面，證得，可判定B正確；設(shè)平面平面，證得平面，可判定C正確；把所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，結(jié)合為等邊三角形，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)平面平面在正方體中，可得平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面平面，所以，所以，所以A正確；對(duì)于B中，在正方體中，可得，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，過作平面，設(shè)平面平面，可得，可得，且，所以平面，所以B正確；對(duì)于C中，設(shè)平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?，所以，在正方體中，可得平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，所以平面，在正方體中，可得平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以，所以平面，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)榍?，所以所成的角，即為與所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，可得，所以異面直線所成的角為，所以D不正確.故選：ABC.

11．ABD【分析】根據(jù)數(shù)列距離的定義求兩數(shù)列的距離判斷A，結(jié)合數(shù)列，的遞推關(guān)系證明兩數(shù)列具有周期性，判斷B，利用基本不等式求，由此求，判斷C，由條件求，結(jié)合周期性可求，，由此判斷D.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)數(shù)列距離的定義可得：數(shù)列和數(shù)列的距離為，A正確；對(duì)于B，設(shè)，其中，且，由，所以，，，，則，因此數(shù)列中的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔項(xiàng)重復(fù)一次，所以，，，設(shè)，其中，且，由，所以，，，，則，因此數(shù)列中的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔項(xiàng)重復(fù)一次，所以，，，所以若，則，B正確；因?yàn)?，其中，且，所以，所以，所以若，，C錯(cuò)誤；所以數(shù)列中，，，，，，故中，，，，，，，所以項(xiàng)數(shù)越大，數(shù)列和的距離越大，由，可得，，所以時(shí)，，故的最大值為；所以數(shù)列和的距離小于，則的最大值為，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.12．【分析】先求導(dǎo)，再代入0，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義可解.【詳解】求導(dǎo)得到，將0代入導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義，得.故答案為：.13．【分析】根據(jù)題意得到借助最小正周期公式，再用兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)相差半個(gè)周期可解.【詳解】，是函數(shù)的兩個(gè)相鄰極值點(diǎn),則，即，解得.故答案為：14．【分析】由條件先證明，結(jié)合面積關(guān)系可得，在平面上建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合體積公式求三棱錐體積的最大值.【詳解】由已知平面，平面，所以,因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，又，所以，又的面積是面積的倍，所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，由已知，所以，所以，其中，，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓在側(cè)面內(nèi)的一段圓弧，過點(diǎn)作，因?yàn)槠矫妫云矫?，即平面，所以為三棱錐的高，所以三棱錐的體積，因?yàn)椋?，所以，，所以?dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐體積取最大值，最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于通過證明相似，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)證明.15．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）有一方獲勝，意味著結(jié)果為一對(duì)一錯(cuò)，分情況用相互獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算相加即可；（2）確定取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)時(shí)間的概率，即可求解.【詳解】（1）設(shè)甲猜對(duì)為事件A，乙猜對(duì)為事件B，事件表示“星隊(duì)”第一輪活動(dòng)中只有1人猜對(duì)，且事件與互斥，則，，∴，即有一方獲勝的概率為.（2）由題意的可能取值為1，2，3表示第一次猜謎有人獲勝，所以,表示第一次猜謎沒人獲勝同時(shí)第二次猜謎有人獲勝，所以由分布列的性質(zhì)，可得，所以分布列為123所以16．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡即可；（2）先用表示中線段的長度，然后利用等面積法求解即可.【詳解】（1）由得，所以，即，又，所以，又，得.（2）由題得示意圖作，則，因?yàn)?，所以，得，，所以，利用等面積法可知：即，解得：.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證得和，得到平面，證得，再由，得到，證得平面，得到，進(jìn)而證得平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，設(shè)，根據(jù)與所成的角為，求得，得到，求得平面和平面的法向量分別為和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌?，且底面，所以，又因?yàn)闉檎叫?，可得，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，且，平面，所以平?（2）解：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)正方形的邊長為，可得，可得，則，，因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，其中，則，因?yàn)榕c所成的角為，可得，解得，所以，所以，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角為，其中，可得，即平面與平面所成的二面角為.18．(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）由點(diǎn)可得的值，求出的方程后聯(lián)立雙曲線可得，即可得，再借助的方程后聯(lián)立雙曲線可得，即可得；（2）聯(lián)立與雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，結(jié)合點(diǎn)代入可得，再利用等比數(shù)列定義與判定定理計(jì)算即可得證；（3）由，結(jié)合，從而可得與，再利用面積公式分別計(jì)算出即可得.【詳解】（1）由題知，所以雙曲線，又過點(diǎn)，斜率為的直線方程為，由雙曲線與直線的對(duì)稱性可知，所以，又過，且斜率為的直線方程為，即，由，解得或，當(dāng)時(shí)，，所以，所以；（2）設(shè)，則過，且斜率為的直線方程為，聯(lián)立，消得到，由題有，得到，由題知點(diǎn)在直線上，即有，所以，因?yàn)椋瑒t，由（1）知，所以數(shù)列an為為首項(xiàng)，的公比的等比數(shù)列；（3）由（2）知，得到，由，即，即，則，，故，，，，故，，即，則，則，，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于得到后，結(jié)合，從而可得與，再利用面積公式計(jì)算即可得.19．(1)（i）；（ii）(2)證明見解析【分析】（1）（i）由題意可得對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，即可結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性后取最大值點(diǎn)即可得；（ii）由題意可得在時(shí)恒成立，借助導(dǎo)數(shù)分、、及討論函數(shù)單調(diào)性即可得；（2）分“Ω點(diǎn)”個(gè)數(shù)為，及大于等于進(jìn)行討論，結(jié)合，從而得到相鄰兩個(gè)“Ω點(diǎn)”的函數(shù)值之差小于等于，即可得“Ω點(diǎn)”個(gè)數(shù)與的關(guān)系.【詳解】（1）（i）當(dāng)時(shí)，，則，則當(dāng)時(shí)，f′x>0，當(dāng)x∈0,+即在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，即對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，即在上的最大“Ω點(diǎn)”為；（ii）由題意可得在時(shí)恒成立，，令，，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在0,1上單調(diào)遞減，則，故在0,1上單調(diào)遞減，此時(shí)，符合要求；當(dāng)時(shí)，令，則，則當(dāng)，即時(shí)，，即在0,1上單調(diào)遞增，則，即在0,1上單調(diào)遞增，有，不符合要求，故舍去；當(dāng)，即時(shí)，恒成立，故在0,1上單調(diào)遞減，則，故在0,1上單調(diào)