2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用一一課一練含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)考點(diǎn)1一次、二次函數(shù)模型的應(yīng)用1.(2024·廣東深圳中學(xué)高一期中考試)一家報(bào)刊推銷員從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的價(jià)格是每份2元,賣出的價(jià)格是每份3元,賣不完的還可以以每份0.8元的價(jià)格退回報(bào)社。在一個(gè)月(以30天計(jì)算)內(nèi)有20天每天可賣出400份,其余10天每天只能賣出250份,且每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)都相同,要使推銷員每月所獲得的利潤(rùn)最大,則應(yīng)當(dāng)每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙()。A.215份 B.350份C.400份 D.520份答案：C解析：設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)x(250≤x≤400,x∈N)份報(bào)紙時(shí),每月所獲利潤(rùn)為y元,詳細(xì)狀況如下表:數(shù)量/份單價(jià)/元金額/元買進(jìn)30x260x賣出20x+10×250360x+7500退回10(x-250)0.88x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)?！遹=8x+5500在[250,400]上是增函數(shù),∴當(dāng)x=400時(shí),y取得最大值8700。即每天從報(bào)社買進(jìn)400份報(bào)紙時(shí),每月獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為8700元。故選C。2.某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品,試銷中發(fā)覺,這種商品每天的銷量m(件)與售價(jià)x(元/件)之間的關(guān)系滿意一次函數(shù):m=162-3x。若要使每天獲得最大的銷售利潤(rùn),則該商品的售價(jià)應(yīng)定為()。A.40元/件 B.42元/件C.54元/件 D.60元/件答案：B解析：設(shè)每天獲得的銷售利潤(rùn)為y元,則y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以當(dāng)x=42時(shí),獲得的銷售利潤(rùn)最大,故該商品的售價(jià)應(yīng)定為42元/件。3.某廠日產(chǎn)手套的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(雙)之間的關(guān)系式為y=5x+40000。而手套出廠價(jià)格為每雙10元,要使該廠不虧本至少日產(chǎn)手套()。A.2000雙 B.4000雙C.6000雙 D.8000雙答案：D解析：由5x+40000≤10x,得x≥8000,即至少日產(chǎn)手套8000雙才不虧本。4.一個(gè)人以6m/s的速度去追停在交通燈前的汽車,當(dāng)他離汽車25m時(shí),交通燈由紅變綠,汽車以1m/s2的加速度勻加速開走,那么()。A.人可在7s內(nèi)追上汽車B.人可在10s內(nèi)追上汽車C.人追不上汽車,其間距最少為5mD.人追不上汽車,其間距最少為7m答案：D解析：設(shè)汽車經(jīng)過ts行駛的路程為sm,則s=12t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7,當(dāng)t=6時(shí),d取得最小值7,5.(2024·河北冀州中學(xué)高一期中)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元,并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加10萬元。又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù),且K(Q)=40Q-1答案：2500解析：L(Q)=40Q-120Q2-10Q-2000=-120Q2+30Q-2000=-120(Q-300)2+2500,當(dāng)Q=300時(shí),L(Q)取得最大值,6.某化工廠準(zhǔn)備投入一條新的生產(chǎn)線,但須要經(jīng)環(huán)保部門審批后方可投入生產(chǎn)。已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)=12n(n+1)(2n+1)噸,但假如年產(chǎn)量超過150噸,將會(huì)給環(huán)境造成危害。為愛護(hù)環(huán)境,環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長(zhǎng)的生產(chǎn)期限是_________答案：7解析：由題意知,第一年產(chǎn)量為a1=12×1×2×3=3;以后各年產(chǎn)量分別為an=f(n)-f(n-1)=12n(n+1)(2n+1)-12n·(n-1)(2n-1)=3n2(n∈N*,n≥2)。令3n2≤150,得2≤n≤52,又n∈N*,得2≤n≤7,7.(2024·山東煙臺(tái)一中高一月考)如圖3-4-1所示,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸在地平面上,y軸垂直于地平面,某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn),已知炮彈放射后的軌跡在函數(shù)y=kx-120(1+k2)x2(k>0)表示的曲線上,其中k與放射方向有關(guān),圖3-4-1(1)求炮的最大射程。答案：令y=0,得kx-120(1+k2)x2由實(shí)際意義和題設(shè)條件,知x>0,k>0,故x=20k1+k2=20k當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)。所以炮的最大射程為10km。(2)設(shè)在第一象限內(nèi)有一飛行物(忽視其大小),其飛行高度為3.2km,試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說明理由。答案：因?yàn)閍>0,所以炮彈可擊中目標(biāo)等價(jià)于存在k>0,使3.2=ka-120(1+k2)a2成立,即關(guān)于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0所以Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤6。所以當(dāng)它的橫坐標(biāo)a不超過6km時(shí),可擊中目標(biāo)。8.已知A,B兩城市相距100km,兩地之間距離A城市xkm的D處修建一垃圾處理廠來解決A,B兩城市的生活垃圾和工業(yè)垃圾,且垃圾處理廠與城市的距離不得少于10km。已知城市的垃圾處理費(fèi)用和該城市到垃圾處理廠距離的平方與垃圾量之積成正比,比例系數(shù)為0.25。若A城市每天產(chǎn)生的垃圾量為20t,B城市每天產(chǎn)生的垃圾量為10t。(1)求x的取值范圍;答案：x的取值范圍為[10,90]。(2)把每天的垃圾處理費(fèi)用y表示成x的函數(shù);答案：由題意,得y=0.25[20x2+10(100-x)2],即y=152x2-500x+25000(10≤x≤90)(3)垃圾處理廠建在距離A城市多遠(yuǎn)處,才能使每天的垃圾處理費(fèi)用最少?答案：y=152x2-500x+25000=152x-10032+500003(10≤x≤90),則當(dāng)x=1003時(shí),考點(diǎn)2冪函數(shù)模型的應(yīng)用9.(2024·湖北鄂州二中期末)某家庭進(jìn)行理財(cái)投資,依據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)料,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比。已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元.(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)表達(dá)式;答案：設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式分別為f(x)=k1x(x≥0),g(x)=k2x(x≥0),結(jié)合已知得f(1)=18=k1,g(1)=12=k所以f(x)=18x(x≥0),g(x)=12x(x(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財(cái)投資,問:怎么安排資金能使投資獲得最大收益,最大收益是多少萬元?答案：設(shè)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品x萬元,則投資風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品(20-x)萬元,依題意得獲得收益為y=f(x)+g(20-x)=x8+1220-x(0≤x≤20),令t=20-x(0≤t≤25),則x=20-t2,所以y=20-t28+t2=-18(t-2)2+3,所以當(dāng)t故當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬元,風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品4萬元時(shí),可使投資獲得最大收益,最大收益是3萬元。10.(2024·東北師大附中單元檢測(cè))在固定壓力差(壓力差為常數(shù))下,當(dāng)氣體通過圓形管道時(shí),其流量R與管道半徑r的四次方成正比。(1)寫出函數(shù)解析式;答案：由題意,得R=kr4(k是大于0的常數(shù))。(2)假設(shè)氣體在半徑為3cm的管道中的流量為400cm3/s,求該氣體通過半徑為rcm的管道時(shí),其流量R的函數(shù)解析式;答案：由r=3cm,R=400cm3/s,得k·34=400,∴k=40081,∴通過半徑為rcm的管道時(shí),流量R的函數(shù)解析式為R=40081·r(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5cm,計(jì)算該氣體的流量。答案：∵R=40081·r4∴當(dāng)r=5cm時(shí),R=40081×54≈3086(cm3/s)故該氣體的流量約為3086cm3/s?？键c(diǎn)3分段函數(shù)模型的應(yīng)用11.(2024·湖北黃石模塊統(tǒng)考)提高過江大橋的車輛通行實(shí)力可改善整個(gè)城市的交通狀況。在一般狀況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù)。當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/小時(shí)。探討表明:當(dāng)20≤x≤200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)。(1)當(dāng)0≤x≤200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;答案：由題意知當(dāng)0≤x≤20時(shí),v(x)=60;當(dāng)20<x≤200時(shí),設(shè)v(x)=ax+b,再由已知得200a+故當(dāng)0≤x≤200時(shí),函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)=60(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/小時(shí))f(x)=x·v(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))。答案：依題意及(1)可得f(x)=60當(dāng)0≤x≤20時(shí),f(x)為增函數(shù),故當(dāng)x=20時(shí),其最大值為60×20=1200(輛/小時(shí));當(dāng)20<x≤200時(shí),f(x)=13x(200-x)=-13(x2-200x)=-13(x-100)2由此易知,x=100時(shí)取最大值100003即當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值100003綜上,當(dāng)x=100時(shí),f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值100003≈3333>1200,即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí),車流量可以達(dá)到最大,最大值約為3333輛/12.(2024·湖南岳陽一中高一期中考試)某地發(fā)生地質(zhì)災(zāi)難,使當(dāng)?shù)氐淖詠硭艿搅宋廴?某部門對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后,確定在水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)。已知每投放質(zhì)量為m(mg)的藥劑后,經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y(mg·L-1)滿意y=mf(x),其中f(x)=x216+2,0<x≤4,x+142x-2,x>4(1)假如投放的藥劑質(zhì)量為4mg,問自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天?答案：由題意,得當(dāng)藥劑質(zhì)量m=4mg時(shí),y=x24+8,0<x≤4,2x+28x-1,x>4,當(dāng)0<x≤4時(shí),x24+8≥得4<x≤16。綜上,0<x≤16。所以自來水達(dá)到有效凈化