模型34 旋轉(zhuǎn)-費(fèi)馬點(diǎn)模型-原卷版

旋轉(zhuǎn)模型（三十四）——費(fèi)馬點(diǎn)模型費(fèi)馬點(diǎn)：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).當(dāng)PA+PB+PC取最小值時(shí)，點(diǎn)P叫三角形的費(fèi)馬點(diǎn).◎結(jié)論：如圖,△ABC的三個(gè)內(nèi)角均不大于120°，點(diǎn)P在形內(nèi)，當(dāng)∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o時(shí)，PA+PB+PC的值最小.【證明】如圖，將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A1BP1，連接PP1，則△BPP1是等邊三角形，所以PB=PP1.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA+PB+PC＝P1A1+PP1+PC≥A1C,∴當(dāng)A1、P1、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，∵△BPP1是等邊三角形，∠BPP1＝60o，∴∠BPC＝120o，∵∠APB＝∠A1P1B，∠BP1P＝60o，∴∠APB＝180o－60o＝120o則∠CPA＝360o－120o－120o＝120o，故∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o.費(fèi)馬點(diǎn)作法：分別以AC、BC、AB為邊作等邊△ACD、△BCE、△ABF,連接CF,BD,AE,由手拉手可得△ACE≌△DCB，△ABE≌△FBC,∴AE＝BD，AE＝CF，∴AE＝BD＝CF旋轉(zhuǎn)角：∠BPE＝∠EPC＝∠CPD＝60°eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)有等邊，求長度，不好求，作等邊1．（2021·四川·成都實(shí)外九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．1．（2022·福建三明·八年級期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大??；(2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．2．（2021·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級期中）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長；求的最小值．3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長.2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在R