高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊同步單元測試AB卷(新高考)專題4.8數(shù)列的求和(B)專項練習(xí)(原卷版+解析)

專題4.8數(shù)列的求和(B)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．20202．（2022·全國·高二課時練習(xí)（文））埃及同中國一樣，也是世界上著名的文明古國．古埃及人在進行分?jǐn)?shù)運算時，只使用分子是1的分?jǐn)?shù)，因此這種分?jǐn)?shù)叫作埃及分?jǐn)?shù)，或者叫單分子分?jǐn)?shù)．下列埃及分?jǐn)?shù)求和不正確的是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））在數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中錯誤的有（

）．A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞減數(shù)列 D．的前n項和5．（2022·河南河南·一模（文））已知數(shù)列的通項公式為，若該數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．6．（2022·遼寧·高二期末）已知數(shù)列，定義數(shù)列為數(shù)列的“2倍差數(shù)列”.若的“2倍差數(shù)列”的通項公式，且，則數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．7．（2022·河南省淮陽中學(xué)模擬預(yù)測（理））楊輝是南宋杰出的數(shù)學(xué)家，他曾擔(dān)任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶．楊輝一生留下了大量的著述，他給出了著名的三角垛公式：．若正項數(shù)列的前項和為，且滿足，數(shù)列的通項公式為，則根據(jù)三角垛公式，可得數(shù)列的前20項和（

）A．2620 B．2660 C．2870 D．29808．（2022·河南焦作·高三期中（文））已知數(shù)列的前項和，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，為數(shù)列的前項和，則滿足的正整數(shù)的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前n項和10.（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，，數(shù)列的前項和為，則（

）A．?dāng)?shù)列的公差為1 B．C． D．11．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高二期中）數(shù)列的前項和為，且，，則下列選項正確的有（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項公式為 D．?dāng)?shù)列的前項和為12．（2022·湖南師大附中高三階段練習(xí)）將個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣.如圖：該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，記這個數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·上海市延安中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列的前n項和為，，，則___________14．（2022·陜西·乾縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列?滿足:?，則數(shù)列?的前?項和?為_______15．（2022·安徽·六安一中高二期末）已知函數(shù)，數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，則__________．16．（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的首項為4，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是______．（填序號）①為等差數(shù)列；②為嚴(yán)格增數(shù)列；③的前n項和；④的前n項和．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·湖北·十堰東風(fēng)高級中學(xué)高二期中）己知數(shù)列，，，，數(shù)列的前n項和為，.(1)求的值和數(shù)列的通項公式；(2)令，求.18．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列，滿足：，且，(1)求(2)求數(shù)列的前n項和19．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列的前n項和，.(1)求；(2)令，求數(shù)列的前n項和.20．（2022·江蘇·南京師大蘇州實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，．正項等比數(shù)列中，，．(1)求與的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．21．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列的公差為，正項等比數(shù)列中(1)求與(2)令，證明：數(shù)列的前n項和22．（2022·安徽省宿州市苐三中學(xué)高二期末）在與中間插入個數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記為，數(shù)列滿足，記和分別為數(shù)列，的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)證明：專題4.8數(shù)列的求和(B)第I卷選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】B【分析】由為奇函數(shù)，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，所以，所以，所以因此數(shù)列的前2022項和為．故選：B.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)（文））埃及同中國一樣，也是世界上著名的文明古國．古埃及人在進行分?jǐn)?shù)運算時，只使用分子是1的分?jǐn)?shù)，因此這種分?jǐn)?shù)叫作埃及分?jǐn)?shù)，或者叫單分子分?jǐn)?shù)．下列埃及分?jǐn)?shù)求和不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由等比數(shù)列的前項和公式可判斷A；由，再由裂項相消法求和可判斷B；由，再由裂項相消法求和可判斷C；由，再由裂項相消法求和可判斷D.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為，所以，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，因為，所以，故D正確．故選：B．3．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））在數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】變形給定的等式，利用累加法及裂項相消法求解作答.【詳解】因為，則，當(dāng)時，，顯然滿足上式，即有，所以．故選：A4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中錯誤的有（

）．A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞減數(shù)列 D．的前n項和【答案】D【分析】由兩邊取倒數(shù)求得的通項公式，對各選項進行分析判斷，即可得答案.【詳解】由兩邊取倒數(shù)：，即，又，所以首項為4，公比為2的等比數(shù)列，A正確.，即，B正確.由通項公式知：為遞減數(shù)列，C正確.因為，所以，D錯誤.故選：D5．（2022·河南河南·一模（文））已知數(shù)列的通項公式為，若該數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡通項公式，利用裂項相消法即可求解.【詳解】因為數(shù)列的通項公式為，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以，故選：B.6．（2022·遼寧·高二期末）已知數(shù)列，定義數(shù)列為數(shù)列的“2倍差數(shù)列”.若的“2倍差數(shù)列”的通項公式，且，則數(shù)列的前項和（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由可得，從而得數(shù)列表示首項為，公差的等差數(shù)列，求得，再根據(jù)錯位相減法即可得.【詳解】根據(jù)題意得，，數(shù)列表示首項為，公差的等差數(shù)列，，，，，，.故選：A.7．（2022·河南省淮陽中學(xué)模擬預(yù)測（理））楊輝是南宋杰出的數(shù)學(xué)家，他曾擔(dān)任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶．楊輝一生留下了大量的著述，他給出了著名的三角垛公式：．若正項數(shù)列的前項和為，且滿足，數(shù)列的通項公式為，則根據(jù)三角垛公式，可得數(shù)列的前20項和（

）A．2620 B．2660 C．2870 D．2980【答案】C【分析】根據(jù)與的關(guān)系可以求得的通項公式，利用，觀察三角垛公式公式的通項結(jié)合的結(jié)構(gòu)，即為所求.【詳解】由，得，兩式相減，得，整理，得，即．因為各項為正，所以，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．又當(dāng)時，，即，所以或（舍去），所以，所以，所以．因為，所以，即．又，所以，故．故選：C．8．（2022·河南焦作·高三期中（文））已知數(shù)列的前項和，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到數(shù)列，為數(shù)列的前項和，則滿足的正整數(shù)的最大值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先利用得到結(jié)合題意可得到，然后用錯位相減法得到，根據(jù)是單調(diào)遞增的，即可求解【詳解】由可得，所以，當(dāng)時，滿足故所以是所有的正偶數(shù)，因為數(shù)列中，除了第一項以外，其余的數(shù)都為正的偶數(shù)，所以，所以，所以，，兩式相減得：，所以，易得是單調(diào)遞增的，且，，所以的正整數(shù)的最大值為6，故選：B二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯的得0分.9．（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列滿足，，則（

）A．為等比數(shù)列 B．的通項公式為C．為遞增數(shù)列 D．的前n項和【答案】AD【詳解】因為，所以，又，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，即，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，的前n項和．故選：AD．10.（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，，數(shù)列的前項和為，則（

）A．?dāng)?shù)列的公差為1 B．C． D．【答案】BD【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由結(jié)合等差數(shù)的求和公式可求出公差，則可求出，從而可判斷AB，再由可求出，則可判斷C，由于，所以利用裂項相消法可判斷D.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，解得，A錯誤；，B正確；，，C錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，可知，D正確．故選：BD．11．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學(xué)高二期中）數(shù)列的前項和為，且，，則下列選項正確的有（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列的通項公式為 D．?dāng)?shù)列的前項和為【答案】AB【分析】由和作差得，整理得，即可判斷數(shù)列為等比，再求出，通過構(gòu)造得到數(shù)列為等差，求出的通項，進而求出的通項，所以，再利用錯位相減求和即可.【詳解】當(dāng)時，，即，因為，所以，當(dāng)時，，即，解得，故A正確；當(dāng)時，因為，所以，兩式作差得：，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故B正確；所以，即，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即，故C錯誤；根據(jù)題意得：，設(shè)的前項和為，所以，所以，兩式相減得：，即，所以，即，故D錯誤.故選：AB.12．（2022·湖南師大附中高三階段練習(xí)）將個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣.如圖：該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，記這個數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)，，及等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式求出，即可判斷A、C，再利用錯位相減法計算B，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列求和公式計算判斷D.【詳解】解：，，解得或（舍負(fù)），即選項A正確；，即選項C錯誤；令，則①②，①②得，，，當(dāng)時，，即選項B正確；，即選項D正確.故選：ABD.第II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．（2022·上海市延安中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列的前n項和為，，，則___________【答案】.【分析】根據(jù)已知，利用等差數(shù)列的通項、求和公式、裂項相消法求解.【詳解】由題知，因為，，所以，解得，所以，所以，所以.故答案為：.14．（2022·陜西·乾縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列?滿足:?，則數(shù)列?的前?項和?為_______【答案】【分析】類比與的關(guān)系，分類討論與兩種情況，證得，再代入，從而利用分組求和法即可求得.【詳解】因為，所以當(dāng)?時，?，故?；當(dāng)?時，?，則，?兩式相減得:?，故?，經(jīng)檢驗:滿足，所以當(dāng)?時，?，所以?，故?.故答案為：.15．（2022·安徽·六安一中高二期末）已知函數(shù)，數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，則__________．【答案】##9.5【分析】根據(jù)給定條件計算當(dāng)時，的值，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計算作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，，因數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，則，，同理，令，又，則有，，所以.故答案為：16．（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列的首項為4，且滿足，則下列結(jié)論中正確的是______．（填序號）①為等差數(shù)列；②為嚴(yán)格增數(shù)列；③的前n項和；④的前n項和．【答案】②④【分析】對于①，利用遞推式得到，即是等比數(shù)列，故①錯誤；對于②，求得，即可判斷為嚴(yán)格增數(shù)列,故②正確對于③，利用錯位相減法可求得，故③錯誤；對于④，易得，故，故④正確．【詳解】由，兩邊都除以，可得，即，又，故，所以是首項為4公比為2的等比數(shù)列，故①錯誤；所以，解得，所以為嚴(yán)格遞增數(shù)列，故②正確；的前n項和，，兩式相減得，所以，故③錯誤；由可得，所以的前n項和，故④正確．故答案為：②④.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2022·湖北·十堰東風(fēng)高級中學(xué)高二期中）己知數(shù)列，，，，數(shù)列的前n項和為，.(1)求的值和數(shù)列的通項公式；(2)令，求.【答案】(1)，(2)【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的前項和與的關(guān)系求解;(2)利用裂項相消求和求解.【詳解】（1）因為,當(dāng)時,,以上兩式相減得,即,因為,所以,\所以，所以，令，則有，即，解得或（舍），所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列,所以，所以.則.（2）由（1）得，所以，故.18．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列，滿足：，且，(1)求(2)求數(shù)列的前n項和【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題可得，，然后利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式即得；（2）利用分組求和法即得.【詳解】（1）因為，，所以，即，又，所以是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，所以，因為，，所以，又，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，又所以；（2）因為，所以.19．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列的前n項和，.(1)求；(2)令，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)，.(2).【分析】（1）根據(jù)已知，利用數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系以及等比數(shù)列求解.（2）根據(jù)第（1）問的結(jié)論以及對數(shù)的運算性質(zhì)，再利用裂項相消法進行求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，即，所以，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且首項為2，公比為4，所以，.（2）由（1）有：，所以，即，所以，所