高考數(shù)學二輪復(fù)習講義(新高考版)專題6第2講橢圓、雙曲線、拋物線(學生版+解析)

第2講橢圓、雙曲線、拋物線【要點提煉】考點一橢圓、雙曲線、拋物線的定義與標準方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準線，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.2．求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．【熱點突破】【典例】1(1)(2020·廣州四校模擬)若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)的離心率為eq\f(3,5)，兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(2)(2020·全國Ⅰ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．2【拓展訓練】1(1)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x(2)已知橢圓C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m－4)＝1(m>4)的右焦點為F，點A(－2,2)為橢圓C內(nèi)一點，若橢圓C上存在一點P，使得|PA|＋|PF|＝8，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(6＋2eq\r(5)，25] B．[9,25]C．(6＋2eq\r(5)，20] D．[3,5]【要點提煉】考點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1．求離心率通常有兩種方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，消去b后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．2．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．【熱點突破】【典例】2(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，則橢圓E的離心率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(7),4)(2)(2020·莆田市第一聯(lián)盟體聯(lián)考)已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，M是AB的中點，則點M到拋物線準線的距離為()A.eq\f(7,2)B．4C．7D．8【拓展訓練】2(1)已知F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，拋物線C的準線與雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則Γ的離心率e等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(\r(21),7)D.eq\f(\r(21),3)(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M(x0,2eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0>\f(p,2)))是拋物線C上一點，圓M與線段MF相交于點A，且被直線x＝eq\f(p,2)截得的弦長為eq\r(3)|MA|，若eq\f(|MA|,|AF|)＝2，則|AF|等于()A.eq\f(3,2)B．1C．2D．3【要點提煉】考點三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題，經(jīng)常利用設(shè)而不求的方法，解題要點如下：(1)設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程；(3)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；(4)利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；(5)把題干中的條件轉(zhuǎn)化為含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，進而求解即可．【熱點突破】【典例】3(2020·全國Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(0<m<5)的離心率為eq\f(\r(15),4)，A，B分別為C的左、右頂點．(1)求C的方程；(2)若點P在C上，點Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．【拓展訓練】3(1)(2019·全國Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1(2)設(shè)F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為k(k>0)的直線過F交拋物線于A，B兩點，若|FA|＝3|FB|，則直線AB的斜率為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\r(2)D.eq\r(3)專題訓練一、單項選擇題1．(2020·福州模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，則此雙曲線的離心率為()A.eq\f(13,4) B.eq\f(\r(13),2)C.eq\f(\r(13),3) D.eq\f(\r(13),4)2．(2020·全國Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p等于()A．2B．3C．6D．93．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(異于M，N)，△AF1B的周長為4eq\r(3)，且直線AM與AN的斜率之積為－eq\f(2,3)，則C的方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,3)＋y2＝14．設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)5．(2020·濰坊模擬)已知點P為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，直線PF1與C的一條漸近線垂直，垂足為H，若|PF1|＝4|HF1|，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(15),3)B.eq\f(\r(21),3)C.eq\f(5,3)D.eq\f(7,3)二、多項選擇題6．(2020·新高考全國Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.()A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為eq\r(n)C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線7．已知雙曲線C過點(3，eq\r(2))且漸近線為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是()A．C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1B．C的離心率為eq\r(3)C．曲線y＝ex－2－1經(jīng)過C的一個焦點D．直線x－eq\r(2)y－1＝0與C有兩個公共點8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l的斜率為eq\r(3)且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線的準線交于點D.若|AF|＝8，則下列結(jié)論正確的是()A．p＝4 B.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4三、填空題9．(2019·全國Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為________．10．(2020·全國Ⅰ)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．11．設(shè)雙曲線mx2＋ny2＝1的一個焦點與拋物線y＝eq\f(1,8)x2的焦點相同，離心率為2，則拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為________．12.如圖，拋物線C1：y2＝2px和圓C2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2＝eq\f(p2,4)，其中p>0，直線l經(jīng)過C1的焦點，依次交C1，C2于A，D，B，C四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的值為________．四、解答題13．(2020·全國Ⅱ)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|＝5，求C1與C2的標準方程．14．已知點F為拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且到原點的距離為2eq\r(3).(1)求拋物線E的方程；(2)已知點G(－1,0)，延長AF交拋物線于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切．第2講橢圓、雙曲線、拋物線【要點提煉】考點一橢圓、雙曲線、拋物線的定義與標準方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準線，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.2．求圓錐曲線標準方程“先定型，后計算”所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值．【熱點突破】【典例】1(1)(2020·廣州四校模擬)若橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)的離心率為eq\f(3,5)，兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，則橢圓C的方程為()A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1 D.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1【答案】D【解析】橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為橢圓上一點，且△F1F2M的周長為16，可得2a＋2c＝16，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a>b>0)的離心率為eq\f(3,5)，可得eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，解得a＝5，c＝3，則b＝4，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)(2020·全國Ⅰ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．2【答案】B【解析】方法一由題意知a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，F(xiàn)1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，如圖，因為|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以點P在以F1F2為直徑的圓上，故PF1⊥PF2，則|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由雙曲線的定義知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面積為eq\f(1,2)|PF1||PF2|＝3.方法二由雙曲線的方程可知，雙曲線的焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，且|F1F2|＝2eq\r(1＋3)＝4.設(shè)點P的坐標為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)－\f(y\o\al(2,0),3)＝1，,\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝2，))解得|y0|＝eq\f(3,2).所以△PF1F2的面積為eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,2)＝3.易錯提醒求圓錐曲線的標準方程時的常見錯誤雙曲線的定義中忽略“絕對值”致錯；橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為a2＝b2＋c2，雙曲線中的關(guān)系式為c2＝a2＋b2；圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置．【拓展訓練】1(1)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在C上，|MF|＝5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為()A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x【答案】C【解析】方法一因為以MF為直徑的圓過點(0,2)，所以點M在第一象限．由|MF|＝xM＋eq\f(p,2)＝5，得xM＝5－eq\f(p,2)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)，\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)))))).從而以MF為直徑的圓的圓心N的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(1,2)\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2)))))).因為點N的橫坐標恰好等于圓的半徑，所以圓與y軸相切于點(0,2)，從而2＝eq\f(1,2)eq\r(2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(p,2))))，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以拋物線方程為y2＝4x或y2＝16x.方法二由已知得拋物線的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)點A(0,2)，點M(x0，y0)，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－2))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),2p)，y0－2)).由已知，得eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，即yeq\o\al(2,0)－8y0＋16＝0，解得y0＝4，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)，4)).由|MF|＝5，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,p)－\f(p,2)))2＋16)＝5.又因為p>0，解得p＝2或p＝8，所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x.(2)已知橢圓C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m－4)＝1(m>4)的右焦點為F，點A(－2,2)為橢圓C內(nèi)一點，若橢圓C上存在一點P，使得|PA|＋|PF|＝8，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(6＋2eq\r(5)，25] B．[9,25]C．(6＋2eq\r(5)，20] D．[3,5]【答案】A【解析】橢圓C：eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m－4)＝1(m>4)的右焦點F的坐標為(2,0)．設(shè)左焦點為F′，則F′(－2,0)．由橢圓的定義可得2eq\r(m)＝|PF|＋|PF′|，即|PF′|＝2eq\r(m)－|PF|，可得|PA|－|PF′|＝|PA|＋|PF|－2eq\r(m)＝8－2eq\r(m).由||PA|－|PF′||≤|AF′|＝2，可得－2≤8－2eq\r(m)≤2，解得3≤eq\r(m)≤5，所以9≤m≤25.①又點A在橢圓內(nèi)，所以eq\f(4,m)＋eq\f(4,m－4)<1(m>4)，所以8m－16<m(m－4)(m>4)，解得m<6－2eq\r(5)(舍)或m>6＋2eq\r(5).②由①②得6＋2eq\r(5)<m≤25，故選A.【要點提煉】考點二圓錐曲線的幾何性質(zhì)1．求離心率通常有兩種方法(1)求出a，c，代入公式e＝eq\f(c,a).(2)根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，消去b后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍．2．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)共漸近線bx±ay＝0的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．【熱點突破】【典例】2(1)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A，B兩點，且eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，則橢圓E的離心率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(\r(7),4)【答案】C【解析】∵eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，設(shè)|BF2|＝x，則|AF2|＝2x，∴|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x，∵eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝0，∴AF1⊥AF2，在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2，解得x＝eq\f(a,3)，∴|AF2|＝eq\f(2a,3)，|AF1|＝eq\f(4a,3)，在Rt△AF1F2中，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)))2＝(2c)2，整理得eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).(2)(2020·莆田市第一聯(lián)盟體聯(lián)考)已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，M是AB的中點，則點M到拋物線準線的距離為()A.eq\f(7,2)B．4C．7D．8【答案】B【解析】由題意可知直線y＝x－1過拋物線y2＝4x的焦點(1,0)，如圖，AA′，BB′，MM′都和準線垂直，并且垂足分別是A′，B′，M′，由圖象可知|MM′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)，根據(jù)拋物線的定義可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|，∴|MM′|＝eq\f(1,2)|AB|，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))得x2－6x＋1＝0，設(shè)A，B兩點的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴|MM′|＝4.二級結(jié)論拋物線的有關(guān)性質(zhì)：已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l過點F且與拋物線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為直線l的傾斜角)．(2)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).【拓展訓練】2(1)已知F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，拋物線C的準線與雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則Γ的離心率e等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(\r(21),7)D.eq\f(\r(21),3)【答案】D【解析】拋物線的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準線方程為x＝－eq\f(p,2)，聯(lián)立拋物線的準線方程與雙曲線的漸近線方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(p,2)，,y＝±\f(b,a)x，))解得y＝±eq\f(pb,2a)，可得|AB|＝eq\f(pb,a)，由△ABF為等邊三角形，可得p＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(pb,a)，即有eq\f(b,a)＝eq\f(2,\r(3))，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(4,3))＝eq\f(\r(21),3).(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M(x0,2eq\r(2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0>\f(p,2)))是拋物線C上一點，圓M與線段MF相交于點A，且被直線x＝eq\f(p,2)截得的弦長為eq\r(3)|MA|，若eq\f(|MA|,|AF|)＝2，則|AF|等于()A.eq\f(3,2)B．1C．2D．3【答案】B【解析】如圖所示，由題意知，|MF|＝x0＋eq\f(p,2).∵圓M與線段MF相交于點A，且被直線x＝eq\f(p,2)截得的弦長為eq\r(3)|MA|，∴|MA|＝2|DM|＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2))).∵eq\f(|MA|,|AF|)＝2，∴|MF|＝eq\f(3,2)|MA|，∴x0＝p.又∵點M(x0,2eq\r(2))在拋物線上，∴2p2＝8，又∵p>0，∴p＝2.∴|MA|＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))＝2，∴|AF|＝1.【要點提煉】考點三直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解決直線與橢圓的位置關(guān)系問題，經(jīng)常利用設(shè)而不求的方法，解題要點如下：(1)設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程；(3)消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；(4)利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；(5)把題干中的條件轉(zhuǎn)化為含有x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的式子，進而求解即可．【熱點突破】【典例】3(2020·全國Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(0<m<5)的離心率為eq\f(\r(15),4)，A，B分別為C的左、右頂點．(1)求C的方程；(2)若點P在C上，點Q在直線x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面積．【解析】解(1)由題設(shè)可得eq\f(\r(25－m2),5)＝eq\f(\r(15),4)，得m2＝eq\f(25,16)，所以C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,\f(25,16))＝1.(2)設(shè)P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根據(jù)對稱性可設(shè)yQ>0，由題意知yP>0.由已知可得B(5,0)，直線BP的方程為y＝－eq\f(1,yQ)(x－5)，所以|BP|＝y(tǒng)Peq\r(1＋y\o\al(2,Q))，|BQ|＝eq\r(1＋y\o\al(2,Q)).因為|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.將yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.由直線BP的方程得yQ＝2或8，所以點P，Q的坐標分別為P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(－3,1)，Q2(6,8)．所以|P1Q1|＝eq\r(10)，直線P1Q1的方程為y＝eq\f(1,3)x，點A(－5,0)到直線P1Q1的距離為eq\f(\r(10),2)，故△AP1Q1的面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(10),2)×eq\r(10)＝eq\f(5,2)；|P2Q2|＝eq\r(130)，直線P2Q2的方程為y＝eq\f(7,9)x＋eq\f(10,3)，點A到直線P2Q2的距離為eq\f(\r(130),26)，故△AP2Q2的面積為eq\f(1,2)×eq\f(\r(130),26)×eq\r(130)＝eq\f(5,2).綜上，△APQ的面積為eq\f(5,2).規(guī)律方法解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的注意點(1)注意使用圓錐曲線的定義．(2)引入?yún)?shù)，注意構(gòu)建直線與圓錐曲線的方程組．(3)注意用好圓錐曲線的幾何性質(zhì)．(4)注意幾何關(guān)系和代數(shù)關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化．【拓展訓練】3(1)(2019·全國Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1【答案】B【解析】由題意設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝eq\f(a,2)，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下頂點．令∠OAF2＝θ(O為坐標原點)，則sinθ＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,a).在等腰三角形ABF1中，cos2θ＝eq\f(2m2＋3m2－3m2,2×2m·3m)＝eq\f(1,3)，因為cos2θ＝1－2sin2θ，所以eq\f(1,3)＝1－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)設(shè)F為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為k(k>0)的直線過F交拋物線于A，B兩點，若|FA|＝3|FB|，則直線AB的斜率為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\r(2)D.eq\r(3)【答案】D【解析】假設(shè)A在第一象限，如圖，過A，B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為D，E，過A作EB的垂線，垂足為C，則四邊形ADEC為矩形，由拋物線定義可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B為CE的三等分點，設(shè)|BF|＝m，則|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝eq\r(|AB|2－|BC|2)＝eq\r(16m2－4m2)＝2eq\r(3)m，則tan∠ABC＝eq\f(|AC|,|BC|)＝eq\f(2\r(3)m,2m)＝eq\r(3)，即直線AB的斜率k＝eq\r(3).專題訓練一、單項選擇題1．(2020·福州模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，則此雙曲線的離心率為()A.eq\f(13,4) B.eq\f(\r(13),2)C.eq\f(\r(13),3) D.eq\f(\r(13),4)【答案】C【解析】因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，所以eq\f(b,a)＝eq\f(2,3)，所以雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝eq\f(\r(13),3).2．(2020·全國Ⅰ)已知A為拋物線C：y2＝2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p等于()A．2B．3C．6D．9【答案】C【解析】設(shè)A(x，y)，由拋物線的定義知，點A到準線的距離為12，即x＋eq\f(p,2)＝12.又因為點A到y(tǒng)軸的距離為9，即x＝9，所以9＋eq\f(p,2)＝12，解得p＝6.3．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點分別為M，N，過F2的直線l交C于A，B兩點(異于M，N)，△AF1B的周長為4eq\r(3)，且直線AM與AN的斜率之積為－eq\f(2,3)，則C的方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,3)＋y2＝1【答案】C【解析】由△AF1B的周長為4eq\r(3)，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4eq\r(3)，解得a＝eq\r(3)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，0))，N(eq\r(3)，0)．設(shè)點A(x0，y0)(x0≠±eq\r(3))，由直線AM與AN的斜率之積為－eq\f(2,3)，可得eq\f(y0,x0＋\r(3))·eq\f(y0,x0－\r(3))＝－eq\f(2,3)，即yeq\o\al(2,0)＝－eq\f(2,3)(xeq\o\al(2,0)－3)，①又eq\f(x\o\al(2,0),3)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，所以yeq\o\al(2,0)＝b2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),3)))，②由①②解得b2＝2.所以C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.4．設(shè)F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D.eq\r(5)【答案】A【解析】如圖，由題意，知以O(shè)F為直徑的圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(c,2)))2＋y2＝eq\f(c2,4)，①將x2＋y2＝a2記為②式，①－②得x＝eq\f(a2,c)，則以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的公共弦所在直線的方程為x＝eq\f(a2,c)，所以|PQ|＝2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))2).由|PQ|＝|OF|，得2eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))2)＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝eq\r(2).5．(2020·濰坊模擬)已知點P為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，直線PF1與C的一條漸近線垂直，垂足為H，若|PF1|＝4|HF1|，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(15),3)B.eq\f(\r(21),3)C.eq\f(5,3)D.eq\f(7,3)【答案】C【解析】如圖，取PF1的中點M，連接MF2.由條件可知|HF1|＝eq\f(1,4)|PF1|＝eq\f(1,2)|MF1|，∵O是F1F2的中點，∴OH∥MF2，又∵OH⊥PF1，∴MF2⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|＝2c.根據(jù)雙曲線的定義可知|PF1|＝2a＋2c，∴|HF1|＝eq\f(a＋c,2)，直線PF1的方程是y＝eq\f(a,b)(x＋c)，即ax－by＋ac＝0，原點到直線PF1的距離|OH|＝eq\f(|ac|,\r(a2＋b2))＝a，∴在△OHF1中，a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2＝c2，整理為3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，解得e＝eq\f(5,3)或e＝－1(舍)．二、多項選擇題6．(2020·新高考全國Ⅰ)已知曲線C：mx2＋ny2＝1.()A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m＝n>0，則C是圓，其半徑為eq\r(n)C．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))xD．若m＝0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對于A，當m>n>0時，有eq\f(1,n)>eq\f(1,m)>0，方程化為eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確．對于B，當m＝n>0時，方程化為x2＋y2＝eq\f(1,n)，表示半徑為eq\r(\f(1,n))的圓，故B錯誤．對于C，當m>0，n<0時，方程化為eq\f(x2,\f(1,m))－eq\f(y2,－\f(1,n))＝1，表示焦點在x軸上的雙曲線，其中a＝eq\r(\f(1,m))，b＝eq\r(－\f(1,n))，漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))x；當m<0，n>0時，方程化為eq\f(y2,\f(1,n))－eq\f(x2,－\f(1,m))＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線，其中a＝eq\r(\f(1,n))，b＝eq\r(－\f(1,m))，漸近線方程為y＝±eq\r(－\f(m,n))x，故C正確．對于D，當m＝0，n>0時，方程化為y＝±eq\r(\f(1,n))，表示兩條平行于x軸的直線，故D正確．7．已知雙曲線C過點(3，eq\r(2))且漸近線為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是()A．C的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1B．C的離心率為eq\r(3)C．曲線y＝ex－2－1經(jīng)過C的一個焦點D．直線x－eq\r(2)y－1＝0與C有兩個公共點【答案】AC【解析】因為漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝λ，代入點(3，eq\r(2))，得λ＝eq\f(1,3)，所以雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝1，選項A正確；該雙曲線的離心率為eq\f(2\r(3),3)，選項B不正確；雙曲線的焦點為(±2,0)，曲線y＝ex－2－1經(jīng)過雙曲線的焦點(2,0)，選項C正確；把x＝eq\r(2)y＋1代入雙曲線方程，得y2－2eq\r(2)y＋2＝0，解得y＝eq\r(2)，故直線x－eq\r(2)y－1＝0與曲線C只有一個公共點，選項D不正確．8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線l的斜率為eq\r(3)且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與拋物線的準線交于點D.若|AF|＝8，則下列結(jié)論正確的是()A．p＝4 B.eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4【答案】ABC【解析】如圖所示，分別過點A，B作準線的垂線，垂足分別為E，M，連接EF.拋物線C的準線交x軸于點P，則|PF|＝p，由于直線l的斜率為eq\r(3)，則其傾斜角為60°.又AE∥x軸，∴∠EAF＝60°，由拋物線的定義可知，|AE|＝|AF|，則△AEF為等邊三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，則∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，解得p＝4，故A正確；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF∥AE，∴F為線段AD的中點，則eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))，故B正確；∵∠DAE＝60°，∴∠ADE＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(拋物線定義)，故C正確；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝eq\f(1,3)|DF|＝eq\f(1,3)|AF|＝eq\f(8,3)，故D錯誤．三、填空題9．(2019·全國Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為________．【答案】(3，eq\r(15))【解析】不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，根據(jù)題意可知c＝eq\r(36－20)＝4.因為△MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.設(shè)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,|F1M|2＝x＋42＋y2＝64，,x>0，,y>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝\r(15)，))所以M的坐標為(3，eq\r(15))．10．(2020·全國Ⅰ)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．【答案】2【解析】如圖，A(a,0)．由BF⊥x軸且AB的斜率為3，知點B在第一象限，且Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，則kAB＝eq\f(\f(b2,a)－0,c－a)＝3，即b2＝3ac－3a2.又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，∴c2－3ac＋2a2＝0，∴e2－3e＋2＝0.解得e＝2或e＝1(舍去)．故e＝2.11．設(shè)雙曲線mx2＋ny2＝1的一個焦點與拋物線y＝eq\f(1,8)x2的焦點相同，離心率為2，則拋物線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為________．【答案】eq\r(3)【解析】∵拋物線x2＝8y的焦點為(0,2)，∴mx2＋ny2＝1的一個焦點為(0,2)，∴焦點在y軸上，∴a2＝eq\f(1,n)，b2＝－eq\f(1,m)，c＝2.根據(jù)雙曲線三個參數(shù)的關(guān)系得到4＝a2＋b2＝eq\f(1,n)－eq\f(1,m)，又離心率為2，即eq\f(4,\f(1,n))＝4，解得n＝1，m＝－eq\f(1,3)，∴此雙曲線的方程為y2－eq\f(x2,3)＝1，則雙曲線的一條漸近線方程為x－eq\r(3)y＝0，則拋物線的焦點(0,2)到雙曲線的一條漸近線的距離為d＝eq\f(|2\r(3)|,\r(1＋3))＝eq\r(3).12.如圖，拋物線C1：y2＝2px和圓C2：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))2＋y2＝eq\f(p2,4)，其中p>0，直線l經(jīng)過C1的焦點，依次交C1，C2于A，D，B，C四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的值為________．【答案】eq\f(p2,4)【解析】易知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|AB|·|CD|，圓C2的圓心即為拋物線C1的焦點F，當直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝eq\f(p,2)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，\f(p,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－\f(p,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(p,2)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq