山東省濟南市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-山東省濟南市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）本試卷共4頁，滿分150分.考試用時120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)交集的定義寫出即可．【詳解】集合，，則．故選：.2.已知，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結(jié)果．【詳解】a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件．故選A．【點睛】充分、必要條件的三種推斷方法．1．定義法：干脆推斷“若則”、“若則”的真假．并留意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．3.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)對應(yīng)關(guān)系和定義域均相同則是同一函數(shù)，對選項逐一推斷即可.【詳解】選項A中，，但的定義域是，定義域是R，不是同一函數(shù)；選項B中，，但的定義域是，定義域是R，對應(yīng)關(guān)系相同，定義域不同，不是同一函數(shù)；選項C中，，定義域R，，定義域為，對應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，是同一函數(shù)；選項D中，，定義域R，與，定義域，對應(yīng)關(guān)系不相同，定義域不相同，不是同一函數(shù).故選：C.4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，即，∵在上為增函數(shù)，且，∴，即∴，故選：A．【點睛】此題考查對數(shù)式、指數(shù)式比較大小，屬于基礎(chǔ)題5.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且時，單調(diào)遞減，則的值為（）A.1 B.-1 C.2或-1 D.2【答案】B【解析】分析】由題意可得，且，解出即可．【詳解】解：∵是冪函數(shù)，∴，即，∴，或，又當(dāng)時，單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時，，不合題意，舍去；當(dāng)，，符合題意，∴，故選：B．6.已知，函數(shù)與的圖象可能是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的定義域，推斷兩個函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】，函數(shù)在上是增函數(shù)，而函數(shù)定義域為，且在定義域內(nèi)是減函數(shù)，選項B正確》故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域、單調(diào)性，函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)題.7.已知函數(shù)，若在上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)在上是增函數(shù)，則由每一段都是增函數(shù)且左側(cè)函數(shù)值不大于右側(cè)的函數(shù)值求解.【詳解】因為函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，解得，故選：D【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.8.定義在R上的偶函數(shù)滿意：對隨意的，有，且，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知在上是減函數(shù)，再依據(jù)對稱性和得出在各個區(qū)間的函數(shù)值的符號，從而可得出答案．【詳解】解：∵對隨意的恒成立，∴在上是減函數(shù)，又，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，又是偶函數(shù)，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴的解為．故選B．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的實力，屬于中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.下列不等式成立的是（）A.若a＜b＜0，則a2＞b2 B.若ab＝4，則a＋b≥4C.若a＞b，則ac2＞bc2 D.若a＞b＞0，m＞0，則【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)對各個選項進行推理、驗證可得正確答案.【詳解】解：對于A，若，依據(jù)不等式的性質(zhì)則，故A正確；對于B，當(dāng)，時，，明顯B錯誤；對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，，因為，，所以，，所以所以，即成立，故D正確．故選AD．【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，考查學(xué)生的推理論證實力，屬于基礎(chǔ)題.10.下列敘述正確的是（）A.已知函數(shù)，則f(6)=8B.命題“對隨意的，有”的否定為“存在，有”C.已知正實數(shù)，滿意，則的最小值為D.已知的解集為，則a+b=5【答案】ACD【解析】【分析】干脆由分段函數(shù)表達(dá)式代入求解即可推斷A，由全稱命題的否定為特稱命題可推斷B，由基本不等式結(jié)合，巧用“1”即可求最值，依據(jù)一元二次不等式解與系數(shù)的關(guān)系可推斷C.【詳解】對于A，，所以，正確；對于B，命題“對隨意的，有”為全稱命題，否定為特稱命題，即“存在，有”，不正確；對于C，由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，正確.對于D，的解集為，所以的兩個根式1和4，所以，所以，正確.故選：ACD.11.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象過原點 B.是奇函數(shù)C.在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增 D.是定義域上的增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性定義、單調(diào)性定義以及計算函數(shù)值進行推斷選擇.【詳解】,所以A正確，，因此不是奇函數(shù)，B錯誤，在區(qū)間(1，＋∞)和上單調(diào)遞增，所以C正確，D錯誤，故選：AC【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，考查基本分析推斷實力，屬基礎(chǔ)題.12.德國聞名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，狄利克雷函數(shù)就以其名命名，其解析式為，關(guān)于函數(shù)有以下四個命題，其中真命題是（）A. B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)是奇函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)自變量是有理數(shù)和無理數(shù)進行探討，可判定A、C、D，舉特例依據(jù)和可推斷B即可得到答案.【詳解】對于A中，若自變量是有理數(shù)，則，若自變量是無理數(shù)，則，所以A是真命題；當(dāng)是無理數(shù)，是無理數(shù)，則是無理數(shù)，則，滿意，所以B正確；對于C，當(dāng)為有理數(shù)時，則為有理數(shù)，則．當(dāng)無理數(shù)時，則為無理數(shù)，則．故當(dāng)時，，∴函數(shù)為偶函數(shù)，所以C是真命題；對于D中，若自變量是有理數(shù)，則也是有理數(shù)，可得，所以不是奇函數(shù)，D不正確.所以D是假命題；故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若，則的解析式為________.【答案】【解析】【分析】換元法令即可求出函數(shù)解析式；或者配湊法求解析式．【詳解】解：（換元法）令，則，∴，，∵，∴，（配湊法）∵，且，∴，故答案為：．【點睛】方法點睛：本題主要考查函數(shù)解析式的求法，常用方法有：（1）換元法或配湊法：已知求，一般采納換元法或配湊法，令，代入求出，或者將中配湊成關(guān)于的式子，由此可求得；（2）待定系數(shù)法：已知函數(shù)類型常用待定系數(shù)法；（3）方程組法：已知、滿意的關(guān)系式或、滿意的關(guān)系式常用方程組法，將條件中的或替換成得另一方程，再解方程組即可求得答案．14.已知函數(shù)（且）恒過定點，則________________.【答案】【解析】【分析】當(dāng)時，函數(shù)值域與沒有關(guān)系，由此求得恒過的定點，并求得表達(dá)式的值.【詳解】當(dāng)，即時，函數(shù)值域與沒有關(guān)系，此時，故函數(shù)過定點，即，，所以.【點睛】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)橫過定點的問題，當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)為的時候，，由此求得恒過的定點，屬于基礎(chǔ)題.15.若不等式對一切成立，則的取值范圍是__.【答案】【解析】【詳解】當(dāng)，時不等式即為，對一切恒成立①

當(dāng)時，則須，∴②

由①②得實數(shù)的取值范圍是，故答案為.16.定義區(qū)間[,]的長度為-,若函數(shù)y=|log2x|的定義域為[a,b],值域為[0,3]到,則區(qū)間[a,b]的長度最大值為______【答案】【解析】【分析】先由函數(shù)值域求出函數(shù)定義域的取值范圍，然后求出區(qū)間，的長度的最大值．【詳解】因為函數(shù)的定義域為，，值域為，，，解得，故函數(shù)的定義域為，，此時，函數(shù)的定義域的區(qū)間長度為，故答案為．【點睛】本題主要考查新定義的理解及應(yīng)用，考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查肯定值不等式的解法，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運算及根式求解即可（2）利用對數(shù)運算求解【詳解】（1）原式；（2）原式.【點睛】本題考查指數(shù)冪及對數(shù)運算，是基礎(chǔ)題18.已知集合.若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】或．【解析】【分析】由題意，求得，再依據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理分和兩種狀況探討即可求出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，為方程的解集，①若，由，∴，或，或，當(dāng)時，方程有兩個相等實根，即，，∴不合題意，同理，同理當(dāng)時，，符合題意；②若，則，∴；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或．【點睛】易錯點睛：本題主要考查依據(jù)集合間的包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，解題時簡單忽視子集可能為空集的狀況，屬于基礎(chǔ)題．19.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（2）依據(jù)函數(shù)的解析式分類探討進行求解即可.【詳解】（1）∵是定義在上的奇函數(shù)，∴.又當(dāng)時，，∴.又為奇函數(shù)，∴，∴，∴.（2）當(dāng)時，由得，解得；當(dāng)時，無解；當(dāng)時，由得，解得.綜上，不等式的解集用區(qū)間表示為.【點睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類探討思想，考查了數(shù)學(xué)運算實力.20.已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．【答案】（1）1（2）2【解析】解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立．∴xy的最小值為1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時取等號，∴x＋y的最小值為2.21.已知二次函數(shù)，其中．（Ⅰ）若函數(shù)的定義域和值域均為，求實數(shù)的值；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且對隨意的，，總有成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，得到關(guān)于的方程，解出即可；（Ⅱ）依據(jù)在區(qū)間上是減函數(shù)，得出的一個取值范圍；再對隨意的，，，又可求出的一個取值范圍；最終兩者取交集，則問題解決．【詳解】（Ⅰ），開口向上，對稱軸是∴遞減，則，即，故；（Ⅱ）因為在區(qū)間上是減函數(shù)，所以．因此隨意的，，總有，只需即可解得：，又因此．【點睛】本題主要考查了已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的范圍以及依據(jù)二次函數(shù)的值域求參數(shù)的值，屬于中檔題.22.已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且，若，時，有.（1）推斷函數(shù)在上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）若對全部，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）是增函數(shù)，證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x