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文檔簡介
2022-2023學年人教版八年級上冊期末真題單元沖關測卷(提高卷)
第十一章三角形
試卷滿分:100分考試時間:120分鐘
姓名:班級:學號:
題號一二三總分
得分
第I卷(選擇題)
評卷人得分
選擇題(共7小題,滿分14分,每小題2分)
1.(2分)(2020春?雨花區(qū)期末)如圖,已知CZ)和破是A48C的角平分線,ZA=60°,則NBOC=()
A.60°B.100°C.120°D.150°
2.(2分)(2020春?義烏市期末)如圖,在AABC中,N8+NC=a,按圖進行翻折,使B'D//CG//BC,
B'EUFG,則NC'FE的度數(shù)是()
C.?-90°D.加一180°
3.(2分)(2020春?海淀區(qū)校級期末)如圖,在AABC中,ZAC3=90。,CD//AB,448=36。,那么Nfi
的度數(shù)為()
AD
BC
A.144°B.54°C.44°D.36°
4.(2分)(2019秋?巴州區(qū)期末)若一個多邊形截去一個角后,變成十四邊形,則原來的多邊形的邊數(shù)可能
為()
A.14或15B.13或14C.13或14或15D.14或15或16
5.(2分)(2019秋?潮州期末)如圖,在AA8C中,N8=32。,將AA8C沿直線機翻折,點B落在點。的
位置,則N1-N2的度數(shù)是()
A.32°B.45°C.60°D.64°
6.(2分)(2019秋?蘭州期末)AA8C的三個內角NA,ZB,NC滿足關系式N8+NC=3NA,則此三角形
)
A.一定是直角三角形B.一定是鈍角三角形
C.一定有一個內角為45。D.一定有一個內角為60。
7.(2分)(2019秋?義安區(qū)期末)如圖,將AA8C沿DE、HG、£F翻折,三個頂點均落在點。處,若Nl=131。,
則N2的度數(shù)為()
A.49°B.50°C.51°D.52°
評卷人得分
二.填空題(共10小題,滿分20分,每小題2分)
8.(2分)(2020春?競秀區(qū)期末)如圖1,AABC中,有一塊直角三角板放置在AABC上(P點在A4BC
內),使三角板PMN的兩條直角邊PM、PN恰好分別經(jīng)過點5和點C.
(1)若NA=52°,則Nl+N2=°;
(2)如圖2,改變直角三角板的位置;使P點在AABC外,三角板的兩條直角邊PM、PN仍然
分別經(jīng)過點B和點C,Nl,N2與N4的關系是.
9.(2分)(2020春?鼓樓區(qū)期末)如圖,直線〃、b、c、d互不平行,以下結論正確的是—.(只填序號)
①N1+N2=N5;
②N1+Z3=N4;
@Z1+Z2+Z3=Z6;
④Z3+N4=N2+Z5.
10.(2分)(2020春?裕華區(qū)期末)(1)新冠肺炎疫情發(fā)生以來,我國人民上下齊心,共同努力抗擊疫情,
逐漸取得了勝利.截止3月13日,我國各級財政安排的疫情防控投入己經(jīng)達到了1169億元,1169億元用
科學記數(shù)法表示一元.
(2)已知10"'=2,10"=3,則10"'*2"=.
(3)在AABC中,NA=4N3,且NC-NB=60。,則Nfi的度數(shù)是.
(4)如圖(1),在三角形ABC中,ZA=38,ZC=72%邊繞點C按逆時針方向旋轉一周回到原來的
位置(即旋轉角0°麴卜360°),在旋轉過程中(圖2),當C8'//AB時,旋轉角為度;當C8所在直線垂
直于反時,旋轉角為一度.
11.(2分)(2020春?雨花區(qū)期末)如圖,若幺=30。,248=105。,則N£BC=
12.(2分)(2015春?金牛區(qū)期末)如圖,AA8C的外角平分線CP和內角平分線族相交于點P,若
ZBPC=8Q°,則NC4P=____.
13.(2分)(2011春?成都校級期末)AA8C中,Z4=x,ZB、NC的角平分線的夾角為y,則y與x之間
的關系可以表示為.
14.(2分)(2019春?崇川區(qū)校級期末)如圖,在A45c中,ABAC=40°,ZACB=60°,。為AABC形外
一點,D4平分NB4C,且NC8£>=50。,求N£)C8=.
15.(2分)(2018秋?沈河區(qū)期末)已知如圖,BQ平分NABP,CQ平分NACP,ZBAC=a,4BPC=0,
則N8QC=.(用a,£表示)
16.(2分)(2016秋?成都期末)如圖,已知A4BC中,NA=60°,于£>,CE上AB于E,BD、
CE交于點、F,ZFBC、ZFCB的平分線交于點O,則NBOC的度數(shù)為
17.(2分)(2017春?高密市期末)如圖,把一個三角尺的直角頂點。放置在AABC內,使它的兩條直角邊
如果24=30。,則NA8D+NA8=
評卷人得分
三.解答題(共12小題,滿分66分)
18.(4分)(2020春?惠安縣期末)已知:如圖1,在AABC中,CD是邊上的高,ZA=ADCB.
(1)試說明NAC3=90°;
(2)如圖2,如果他是角平分線,AE,CD相交于點尸.那么NCEE與NCEF的大小相等嗎?請說明理
由.
圖1圖2
19.(4分)(2020春?海州區(qū)期末)己知如圖,ZCO£>=90°,直線4?與OC交于點3,與交于點A,
射線OE與射線AF交于點G.
(1)若OE平分N3Q4,AF平分NS4Z),ZOE4=36°,則NOG4=°.
(2)若NGOA=」NBOA,ZGAD=-ZBAD,ZOBA=36°,則NOG4=°.
(3)將(2)中的“NO8A=36。”改為“NO8A=a",其它條件不變,求NOG4的度數(shù).(用含a的代數(shù)式
表示)
2
(4)若OE■將N8Q4分成1:4兩部分,ZGAD=-ZBAD,NABO=a(18。<a<90。),求NOG4的度數(shù).(用
含a的代數(shù)式表示)
C八O
(備用圖1)(備用圖2)
20.(4分)(2020春?淅川縣期末)現(xiàn)有一張AABC紙片,點。、E分別是AABC邊上兩點,若沿直線DE
折疊.
研究(1):如果折成圖①的形狀,使點A落在CE上,則N1與/4的數(shù)量關系是.
研究(2):如果折成圖②的形狀,猜想N1+N2與Z4的數(shù)量關系是一;
研究(3):如果折成圖③的形狀,猜想/I、N2和NA的數(shù)量關系,并說明理由.
圖③
21.(4分)(2020春?馬山縣期末)如圖,在三角形A8C中,AO_LBC于點。,且4)平分N8AC,點E是
A4的延長線上任一點,過點E作收,3c于點F,與AC交于點G.
(1)求證:ADHEF.
(2)若NCG尸=36。,求N6的度數(shù).
(3)猜想NE與Z4GE的大小關系,并證明你的猜想.
22.(5分)(2020春?贛榆區(qū)期末)[問題背景]
(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”,請說理證明NA+NB=NC+N£>
[簡單應用](可直接使用問題(1)中的結論)
(2)如圖2,AP.C尸分別平分Na4。、ABCD,
①若NABC=28。,ZADC=20°,求NP的度數(shù);
②/D和NB為任意角時,其他條件不變,試直接寫出々與NO、ZB之間數(shù)量關系.
[問題探究]
(3)如圖3,直線5P平分NA8C的鄰外角NF3C,DP平分NAZX7的鄰補角/4DE,
①若NA=30。,ZC=18°,則NP的度數(shù)為;
②/4和NC為任意角時,其他條件不變,試直接寫出NP與44、NC之間數(shù)量關系.
[拓展延伸1
(4)在圖4中,若設NC=x,ZB=y,ZC4P=-ZCAB,NCDP'/CDB,試問NP與NC、Zfi之間
44
的數(shù)量關系為—;(用x、y的代數(shù)式表示NP)
(5)在圖5中,直線3P平分NABC,DP平分NAZX7的外角/4DE,猜想NP與NA、NC的關系,直接
寫出結論一.
23.(5分)(2020春?西城區(qū)期末)在A45C中,8。是AA5c的角平分線,點£在射線DC上,£F_L8C于
點、F,平分/4EF交直線AB于點M.
(1)如圖1,點E在線段DC上,若NA=90。,ZM=a.
①NA£F=;(用含a的式子表示)
②求證:BDHME-,
(2)如圖2,點£■在£心的延長線上,E”交應)的延長線于點N,用等式表示NHVE與N3AC的數(shù)量關
系,并證明.
M
24.(5分)(2020春?潤州區(qū)期末)已知AA8C中,ZABC=90°,是AC邊上的高,AE■平分N3AC,分
別交3C、BD于點、E、F.求證:ZBFE=ZBEF.
25.(6分)(2019秋?市中區(qū)期末)己知將一塊直角三角板。卯放置在A4BC上,使得該三角板的兩條直角
邊DE,/加恰好分別經(jīng)過點5、C.
(1)ZDBC+ZDCB=度;
(2)過點A作直線MN//DE,若NA8=20。,試求NOW的大小.
26.(7分)(2019秋?揭陽期末)探究與發(fā)現(xiàn):如圖①,在AABC中,NB=NC=45°,點。在BC邊上,
點E在AC邊上,且連接。E.
(1)當NJ%£>=60°時,求NCDE的度數(shù);
(2)當點。在BC(點8、。除外)邊上運動時,試猜想N3AO與NODE的數(shù)量關系,并說明理由.
(3)深入探究:如圖②,若NB=NC,但NC0450,其他條件不變,試探究/BAD與NCDE的數(shù)量關
系.
27.(7分M2020春?泰州期末)已知在四邊形ABCD中,NA=x,NC=y,(0。<x<18()。,0。<y<180°).
(1)ZABC+ZADC^(用含x、y的代數(shù)式直接填空)
(2)如圖1,若x=y=90°.DE平分NADC,8F平分NCBM,請寫出OE與BE的位置關系,并
說明理由;
(3)如圖2,/。斤8為四邊形ABCO的NA6C、NADC相鄰的外角平分線所在直線構成的銳角.
①若x+y=120°,/DFB=20°,試求x、y.
②小明在作圖時,發(fā)現(xiàn)NOEB不一定存在,請直接指出x、y滿足什么條件時,NOEB不存在.
圖1圖2
28.(7分)(2019秋?遼陽期末)已知如圖①,BP、CP分別是AABC的外角NC班)、NBCE的角平分線,
BQ、CQ分別是NP8C、NPC3的角平分線,BM、CV分別是NPBD、NPCE的角平分線,ABAC=a.
(1)當c=4O。時,ZBPC=°,NBQC=°;
(2)當。=。時,BM//CN;
(3)如圖②,當&=120。時,BM、CN所在直線交于點O,求N8OC的度數(shù);
(4)在a>60。的條件下,直接寫出NBPC、NBQC、NBOC三角之間的數(shù)量關系:
29.(8分)(2019秋?長白縣期末)RtAABC中,NC=90°,點D、E分別是A45C邊AC、BC上的
點,點尸是一動點.令NPZM=N1,ZPEB=Z2,NDPE=Na.
(1)若點尸在線段AB上,如圖(1)所示,且Na=50°,則Nl+N2=°;
(2)若點尸在邊A3上運動,如圖(2)所示,則N。、Nl、N2之間有何關系?
(3)若點P在RtAABC斜邊B4的延長線上運動(CE<CD),則N。、Nl、N2之間有何關系?猜想并
說明理由.
2022-2023學年人教版八年級上冊期末真題單元沖關測卷(提高卷)
第十一章三角形
選擇題(共7小題,滿分14分,每小題2分)
1.(2分)(2020春?雨花區(qū)期末)如圖,已知8和3E是AA8C的角平分線,ZA=60°,則NBOC=()
A.60°B.100°C.120°D.150°
【解答】解:-.-ZA=6O°,
ZABC+ZACB=180°-60°=l20°,
CD和BE是AABC的角平分線,
ZOBC+NOCB=-ZABC+-ZACB=-(ZABC+ZACB)=60°,
222
ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=120°,
故選:c.
2.(2分)(2020春?義烏市期末)如圖,在AABC中,ZB+ZC=a,按圖進行翻折,使5Z>〃CG〃3C,
B'EHFG,則NC'RE的度數(shù)是()
A
BEFC
acc
A.-B.90°--C.a-90°D.2a-1800
22
【解答】解:設=ZAGC=",ZCEBf=y,NCFE=x
????O//CG,
:.y+P=Z.B+ZC=a,
???EB//FG,
NCFG=NCEB1=y,
.?.x+2y=180。①,
\*y+y=2/B,J3+x=2ZC,
y+y+/?+x=2a,
:.x+y=a?>
②x2-①可得x=2?-180°,
r.N。EE=2。-180°.
3.(2分)(2020春?海淀區(qū)校級期末)如圖,在AABC中,ZACB=90°,CD!/AB,NACO=36。,那么Nfi
的度數(shù)為()
B.54°C.44°D.36°
【解答】解:AB//CD,
ZA=ZACD=36°,
?.?ZACB=90%
.-.Zfi=90°-36°=54°,
故選:B.
4.(2分)(2019秋?巴州區(qū)期末)若一個多邊形截去一個角后,變成十四邊形,則原來的多邊形的邊數(shù)可能
為()
A.14或15B.13或14C.13或14或15D.14或15或16
【解答】解:如圖,“邊形,A44…4,
若沿著直線AA.,截去個角,所得到的多邊形,比原來的多邊形的邊數(shù)少1,
若沿著直線AM截去一個角,所得到的多邊形,與原來的多邊形的邊數(shù)相等,
若沿著直線截去一個角,所得到的多邊形,比原來的多邊形的邊數(shù)多1,
因此將一個多邊形截去一個角后,變成十四邊形,則原來的四邊形為13或14或15,
5.(2分)(2019秋?潮州期末)如圖,在AA8C中,N8=32。,將AA8C沿直線機翻折,點B落在點。的
位置,則N1-N2的度數(shù)是()
A.32°B.45°C.60°D.64°
【解答】解:如圖所示:
山折疊的性質得:Z£>=ZB=32°,
根據(jù)外角性質得:Z1=Z3+ZB,Z3=N2+N£),
N1=N2+ZD+N3=N2+2ZB=N2+64°,
.-.Z1-Z2=64O.
故選:D.
6.(2分)(2019秋?蘭州期末)A4BC的三個內角44,Zfi,NC滿足關系式NB+NC=3ZA,則此三角形
A.一定是直角三角形B.一定是鈍角三角形
C.一定有一個內角為45。D.一定有一個內角為60。
【解答】解:?.?NA+NB+NC=180。
XvZB+ZC=3ZA,
.-.4ZA=Z180o.
:.ZA=45°,
,AASC一定有一個內角是45。,
故選:C.
7.(2分)(2019秋?義安區(qū)期末)如圖,將AA8C沿DE、HG、EF翻折,三個頂點均落在點。處,若NI=131。,
則N2的度數(shù)為()
A.49°B.50°C.51°D.52°
【解答】解:由折疊得:NHOG=NB,ZDOE=ZA,NEOF=NC,
?.?ZA+ZB+ZC=180°,
/.NHOG+NDOE+ZEOF=180°,
Z1+Z2+ZHOG+ZDOE+ZEOF=360°,
.-.Zl+Z2=180°,
-.?Zl=131°,
.?.Z2=180°-131°=49°,
故選:A.
二.填空題(共10小題,滿分20分,每小題2分)
8.(2分)(2020春?競秀區(qū)期末)如圖I,AABC中,有一塊直角三角板放置在AA3C上(P點在A48C
內),使三角板PMN的兩條直角邊PM、PN恰好分別經(jīng)過點B和點C.
⑴若NA=52。,則4+N2=38。;
(2)如圖2,改變直角三角板的位置;使尸點在A48C外,三角板的兩條直角邊PM、PN仍然
分別經(jīng)過點3和點C,Zl,N2與/4的關系是.
【解答】解:⑴vZA=52°,
ZABC+ZACB=18O°-52°=128°,
-.-ZP=90°,
:.ZPBC+NPCB=90。,
ZABP+ZACP=128°-90°=38°,
即Zl+Z2=38°.
故答案為:38:
(2)Z2-Z1=9O°-ZA.理由如下:
在AABC中,ZABC+ZACB=180°-ZA,
■.■ZMPN=90°,
:.NPBC+NPCB=9O。,
(AABC+ZAC8)-(NPBC+NPCB)=180。-ZA-90。,
即ZABC+ZACP+ZPCB-ZABP-ZABC-APCB=90°-ZA.
ZACP-ZABP=90°-ZA.
BPZ2-Z1=9O°-ZA;
故答案為:Z2-Zl=90°-ZA.
9.(2分)(2020春?鼓樓區(qū)期末)如圖,直線a、b、c、d互不平行,以下結論正確的是①②③.(只
填序號)
@Z1+Z2=Z5;
②4+N3=N4;
@Z1+Z2+Z3=Z6;
@Z3+Z4=Z2+Z5.
b\
a
【解答】解:由三.角形外角的性質可知:Z5=Z1+Z2,Z4=Z1+Z3,Z6=Z4+Z2=Z3+Z5,
.?.Z6=Z1+Z2+Z3.
故①②③正確,
故答案為①②③.
10.(2分)(2020春?裕華區(qū)期末)(1)新冠肺炎疫情發(fā)生以來,我國人民上下齊心,共同努力抗擊疫情,
逐漸取得了勝利.截止3月13日,我國各級財政安排的疫情防控投入已經(jīng)達到了1169億元,1169億元用
科學記數(shù)法表示_1.169X10”_元.
(2)已知10?=2,10"=3,則1()2=.
(3)在AABC中,N4=4NB,且NC-N3=60。,則NB的度數(shù)是.
(4)如圖(1),在三角形A8C中,NA=38,NC=72。,BC邊繞點C按逆時針方向旋轉一周回到原來的
位置(即旋轉角0啜卜360°),在旋轉過程中(圖2),當。9//鉆時-,旋轉角為____度;當CB所在直線垂
直于時,旋轉角為度.
【解答】解:(1)1169億=1169x108元=1.169>10”(元).
故答案為1.169x10”.
(2)10m+2n=10mx102n=(10m)x(10")2-2x32-18,
故答案為18.
(3)?.?Z4=4N3,且“一々=60°,
.-.ZC=60o+Zfi,
.?.4ZB+ZB+60°+ZB=180°,
.■.ZB=20°,
故答案為20。
(4)?.?在三角形ABC中,ZA=38°,ZC=72°,
/.Zfi=l80°-38°-72°=70°,
如圖1,當CBVMS時,旋轉角=NB=70。,當C獷/MB時,ZB"CAZA=38°,
旋轉角=360。-38。—72。=250。,
綜上所述,當CBV/AB時,旋轉角為70?;?50。;
如圖2,當時,ZBCB"=90°-70°=20°.
旋轉角=180°-20°=160°,
當CB"時,旋轉角=180。+160。=340。,
綜上所述,當時,旋轉角為160?;?40。;
故答案為:70或250;160或340.
11.(2分)(2020春?雨花區(qū)期末)如圖,若N4=30。,ZACD=105°,則N£BC=105°.
B
CD
【解答】解:?.?NAS=NA+NA8C,
..105。=30。+ZABC,
:.ZABC=75°,
/.NEBC=180°-ZABC=105。,
故答案為105.
12.(2分)(2015春?金牛區(qū)期末)如圖,AABC的外角平分線CP和內角平分線相交于點尸,若
ZBPC=80°,則NC4P=10°.
【解答】解:延長BA,作PNLBD于點N,PFLBA于點F,PM_LAC于點M,
設NPC£>=%。,
???CP平分Z4CD,
/.ZACP=ZPCD=x°,PM=PN,
??BP平分NABC,
:.ZABP=ZPBC,PF=PN、
;.PF=PM,
vZBPC=80°,
/.ZABP=NPBC=(x-80)0,
NBAC=ZACD-ZABC=2x°~(x°-80°)-(x°-80°)=160°,
.-.ZC4F=20°,
在RtAPFA和RtAPMA中,
PA=PA
PM=PF
RtAPFA三RtAPMA(HL),
:.ZFAP=ZPAC=l(y,.
故答案為10。.
°CND
13.(2分)(2011春?成都校級期末)AABC中,=ZB、NC的角平分線的夾角為y,則y與x之間
的關系可以表示為—>=90。+]^.
【解答】解:?;PB、PC是ZB、NC的角平分線,
Z1=Z2=-ZABC.Z3=Z4=-ZACfi.
22
/.Nl+3=gzABC+;ZAC8=J(NABC+ZAC8),
vy=180o-(Zl+Z3),ZABC+ZACB=180°-x,
y=180°-^(180°-x)=90°+.
故答案為y=90。+?.
14.(2分)(2019春?崇川區(qū)校級期末)如圖,在AABC中,ZBAC=4O°,NACB=60°,。為AABC形外
一點,ZM平分44c,且NCBD=50。,求/£心=_60。_.
D
l-------------------B
【解答】解:如圖,延長AB到尸,延長AC到Q,作DHJ_AP于H,OE_LAQ于石,DF工BC于F.
?/Z.PBC=ZBAC+ZACB=400+60°=100°,ZCBD=50°,
:?ADBC=ADBH,
vDF±BC,DH工BP,
:.DF=DH、
又?.?A4平分NZ4Q,DH±PA,DELAQ,
:.DE=DH,
:.DE=DF,
..8平分NQC8,
?/4QCB=180°-60°=120°,
.-.ZZX?B=60°,
故答案為60。.
15.(2分)(2018秋?沈河區(qū)期末)已知如圖,BQ平分ZABP,CQ平分NACP,ZBAC=a,NBPC=0,
則N8QC=_'(a+尸)_,(用a,萬表示)
R
【解答】解:連接8C,
?.?8。平分/4BP,CQ平分N4CP,
Z3=-ZABP,Z4=-z64CP,
22
vZl+Z2=180°-/7,2(Z3+Z4)+(Z1+Z2)=180°-a,
N3+N4=—(/3-a),
oo
?/ZB0C=18O-(Zl+Z2)-(Z3+Z4)=18O-(18O°-^)-^(y0-a).
即:NBQC=g(a+p).
故答案為:g(ar+£).
16.(2分)(2016秋?成都期末)如圖,已知AABC中,ZA=60°,8E>_LAC于。,CELAB于E,BD、
CE交于點尸,NFBC、NFC5的平分線交于點O,則N3OC的度數(shù)為_150。
【解答】解:?.?NA=60。,BDYACTD,CEJLAB于£,
zS4CE=ZAfiD=30°,ZABC+ZACB=\2O°,
.-.ZFBC+ZFCB=60°,
ZFBC、NFCB的平分線交于點O,
:.ZOBC+^OCB=30°,
.-.Z5OC=150°
故答案為150。.
17.(2分)(2017春?高密市期末)如圖,把一個三角尺的直角頂點。放置在A4BC內,使它的兩條直角邊
DE,分別經(jīng)過點B,C,如果乙4=30。,則乙43£>+/48=_60。_.
【解答】解:?.?ZA=30。,
ZABC+ZACB=150°,
?.?ND=90°,
/.ADBC+ADCB=90°.
/.ZDBA+ZDCA=150°-90°=60°.
故答案為:60。.
三.解答題(共12小題,滿分66分)
18.(4分)(2020春?惠安縣期末)已知:如圖1,在AABC中,C£>是邊上的高,ZA=ZDCB.
(1)試說明NACB=90。;
(2)如圖2,如果短是角平分線,AE,CD相交于點尸.那么NCFE與NC£F的大小相等嗎?請說明理
由.
【解答】(1)解:?.?8是4?邊上的高,
.-.zcm=90°.
.-.ZA+ZACD=90°.
ZA=NDCB,
ZACB=ZACD+ZBCD=ZACD+ZA=90°:
(2)解:NCFE=NCEF,
理由是:「AE平分NC4B,
...ZC4E=Za4E.
?.?ZCDA=ZBCA=90P,ZDE4=180°-(ZCQ4+ZBAE).ACEA=180°-(ZBCA+ZCAE),
;.NCEF=NDFA,
?;NDFA=NCFE,
:.NCFE=NCEF.
19.(4分)(2020春?海州區(qū)期末)已知如圖,ZCO£>=90°,直線AB與OC交于點8,與OD交于點A,
射線OE與射線AF交于點G.
(1)若OE平分NBQ4,w平分NH4Z),ZOBA=36°,則NOG4=18°.
(2)若NGOA='N8O4,ZGAD=-ZHAD,AOBA=36°,則NOG4=°.
33------
(3)將(2)中的“NO54=36?!备臑椤癗OBA=a”,其它條件不變,求NOG4的度數(shù).(用含a的代數(shù)式
表示)
(4)若OE將NBQ4分成1:4兩部分,^GAD=-ABAD,ZABO=a(18°<a<90°),求NOGA的度數(shù).(用
3
含a的代數(shù)式表示)
ED
SJD
C/B0cK0C
(備用圖1)(備用圖2)
【解答】解:(1)?.?N8O4=90。,ZOBA=36°,
ABAD=ZBOA+ZABO=126°,
?.?AF平分Nfi4£),OE平分NBQ4,ZBOA=90°.
ZGAD=-ZBAD=63°,ZEOA=-/BOA=45°,
22
ZOGA=Z.GAD-AEOA=63°-45°=18°;
故答案為:188
(2)vZBQ4=90°,NO胡=36。,
/.ABAD=ZBOA+ZABO=126。,
???ZmA=90。,ZGOA=-^BOA,ZGAD=-ZBAD,
33
/.ZGW=42°,ZEOA=30°,
Z.OGA=ZGAD-ZEOA=42°-30°=12°;
故答案為12。;
(3)???Zm4=90°,NOBA=a,
:.ZBAD=ZBOA+ZABO=900+a,
???404=90。,ZGOA=-ZBOA,ZGAD=-ZBAD,
33
???NG4O=300+L,ZEOA=30°,
3
ZOGA=ZGAD-ZEOA=-a;
3
(4)當NE8:NCOE=1:4時,ZEOD=18°,
???ABAD=ZABO+ZBOA=a+90。,
?.?ZGAD=-ZBAD,
3
22
ZFAD=一/BAD=一(a+90°),
33
???ZFAD=ZEOD+ZOGA,
18°+ZOGA=|(a+90°),
2
解得NOGA=-(z+42。;
3
當ZEOD:ZCOE=4:1時,ZEOD=72°,
7
同理可得NOG4=—a—12。;
3
綜上所述,ZOGA的度數(shù)為士cr+42?;颉籧-12。.
33
20.(4分)(2020春?淅川縣期末)現(xiàn)有一張AAfiC紙片,點。、E分別是A4BC邊上兩點,若沿直線DE
折疊.
研究(1):如果折成圖①的形狀,使點A落在CE上,則N1與的數(shù)量關系是=2ZA
研究(2):如果折成圖②的形狀,猜想N1+N2與Z4的數(shù)量關系是;
研究(3):如果折成圖③的形狀,猜想Nl、N2和44的數(shù)量關系,并說明理由.
圖①圖②圖③
【解答】解:(1)如圖1,Z1=2Z4,理由是:
由折疊得:ZA=ZDA!A,
?.?Z1=Z4+ZZMA,
.-.Z1=2Z4;
故答案為:ZX=1ZA.;
(2)如圖2,猜想:4+N2=2NA,理由是:
由折疊得:ZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,
?/ZADB+ZAEC=360°,
Zl+Z2=360°-ZADE-ZADE-ZAED-ZAED=360°-2ZADE-2ZAED,
Zl+Z2=2(180°-ZADE-ZAED)=2ZA:
故答案為:Zl+N2=2/4;
(3)如圖3,Z2-Z1=2Z?4E.理由是:
-,-Z2=ZAFE+ZDAE,ZAFE=ZA+ZX,
:.Z2=ZA+ZDAE+Z1,
-.-ZDAE=ZA,
.?.N2=2ZZM£+N1,
.-.Z2-Z1=2ZZME.
故答案為:(1)Z1=2ZA:
(2)Z1+N2=2ZA.
B
1
A
圖③
21.(4分)(2020春?馬山縣期末)如圖,在三角形ABC中,4)_L3C于點O,且4)平分N84C,點石是
84的延長線上任一點,過點£作所,8c于點/,與AC交于點G.
(1)求證:AD//EF.
(2)若NCGF=36。,求NB的度數(shù).
(3)猜想NE與NAGE的大小關系,并證明你的猜想.
【解答】(1)證明:\AD.LBC,EF上BC,
ZADC=ZEFC=90°,
:.AD//EF;
(2)rAD/IEF,ZCGF=36°,
ZCGF=ZCAD=36°,
???AD平分NBAC,
:.ZBAD=ZCAD=36°.
ZB=180。-ABAD-ABDA=54°;
(3)ZE=ZAG£,
證明:理由是:-.-AD//EF,
;.ZE=ZBAD,ZAGE=ZCAD^
\'ZBAD=ZCAD^
:.ZE=ZAGE.
22.(5分)(2020春?贛榆區(qū)期末)[問題背景]
(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”,請說理證明NA+N3=NC+”.
[簡單應用](可直接使用問題(1)中的結論)
(2)如圖2,AP.C9分別平分Na4。、ZBCD,
①若NABC=28。,ZADC=20°,求NP的度數(shù);
②/D和NB為任意角時,其他條件不變,試直接寫出NP與ND、N8之間數(shù)量關系.
[問題探究]
(3)如圖3,直線平分NAfiC的鄰外角NEBC,小平分的鄰補角/位)£,
①若Z4=30。,ZC=18°,則NP的度數(shù)為_24。_;
②N4和NC為任意角時,其他條件不變,試直接寫出NP與44、NC之間數(shù)量關系.
[拓展延伸]
(4)在圖4中,若設NC=x,ZB=y,ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,試問NF與NC、Nfi之間
44
的數(shù)量關系為—;(用x、y的代數(shù)式表示NP)
(5)在圖5中,直線3P平分N4BC,£>P平分N4DC的外角“花,猜想NP與44、NC的關系,直接
寫出結論.
圖5
【解答】解:(1)如圖1中,
B
圖1
?:ZA+AB+ZAOB=\WP,ZC+ZD+ZCO£>=180°.ZAOB/COD,
...ZA+ZB=NC+ZD:
(2)如圖2中,
fx+ZB=y+Z.P
則有
[x+ZP=y+ZD
.?.ze-zp=zp-ZE>.
ZP=-(ZB+ND)=-(28°+20°)=24°;
22
(3)①如圖3中,設NCBJ=ZJBF=x,ZADP=ZPDE=y.
NP+x=NA+y
則有
ZA+1800-2x=ZC+180°-2y
.-.2ZP=ZA+ZC?
.,.NP=;(30°+18°)=24°;
故答案為:24°;
②設NCBJ=ZJBF=x,ZADP=ZPDE=y.
則有4+―,
[ZA+180o-2x=ZC+180°-2y
.-.2ZP=ZA+ZC;
(4)如圖4中,設NC4P=a,ZCDP=p,則NPA8=3a,4PDB=3f3,
則有—="+",
[/尸+3a=/8+3/
/.4ZP=3ZC+ZB,
NP=;(3x+y),
故答案為NP=1(3x+y).
(5)如圖5中,延長A3交PD于J,設NPBJ=x,ZADP=ZPDE=y.
則有ZA+2x=NC+180°—2y,
:.x+y=90°+^(ZC-ZA),
vZP+x+ZA+y=180°,
...ZP=90°--ZC--ZA.
22
故答案為NP=90O—,NC—LNA.
22
23.(5分)(2020春?西城區(qū)期末)在AABC中,比)是AABC的角平分線,點E在射線ZX?上,£F_L3C于
點尸,平分/心交直線于點
(1)如圖1,點E在線段£>C上,若NA=90。,AM=a.
①NAEF=_18()o_2c_;(用含a的式子表示)
②求證:BD//ME-,
(2)如圖2,點E在£)C的延長線上,交BD的延長線于點N,用等式表示NBNE與N3AC的數(shù)量關
系,并證明.
【解答】解:(1)①?.?NA=90。,ZM=a.
.?.ZA£M=180o-90o-a=90°-a.
?.?EM平分N4ER,
ZAEF=2ZAEM=180°-2a,
故答案為:180°-2a:
②證明:_L8C,
:.ZEFC=9Q°,
-.-ZA=90°.
:.ZC+ZABC=90°,
:.NCEF=ZABC,
?.?ZAEF=18O°-2?(
Z.CEF="?
:.ZABC=2a,
???BD是AABC的角平分線,
:.ZABD=-ZABC=a
2f
:.ZABD=ZM,
:.BD!IME\
(2)2ZBNE=900+/BAC,
證明:???B£>平分NABC,EM平分NAEF,
設NABO=x,ZAEM=y,
:.ZABC=2x,ZAEF=2y,
???NA5D+44D=180?!狽A£)8,
ZNED+ZEND=180°-ZNDE,
\ZADB=ZNDE,
ZABD+ZBAD=ZNED+ZEND,
x+/BAD=y+/END,
.?.x—y=/END—/BAD,
同理,ZABC+ZBAC=ZFEC+ZEFC,
2x+ZBAC=2y+/EFC,
2x-2y=AEFC-ZBAC,
vEF±BC,
/.ZEFC=90°,
.?.2(x-y)=90°-ZBAC,
/.2(/END-/BAD)=90°-ZBAC,
即2(/BNE-ZBAC)=90°-ABAC,
.?.2ZBNE=90°+ZBAC.
24.(5分)(2020春?潤州區(qū)期末)已知AABC中,ZABC=90°.是AC邊上的高,AE平分N34C,分
別交BC、BD于點、E、F.求證:NBFE=NBEF.
【解答】證明:平分加C,
:.ZBAE=ZCAE.
■:BDYAC,ZASC=90°,
ZBAE+ZBEF=ZCAE+ZAFD=90°,
:.ZBEF=ZAFD,
-.ZBFE=ZAFD(對頂角相等),
.-.ZBEF=ZBFE
25.(6分)(2019秋?市中區(qū)期末)已知將一塊直角三角板。所放置在A4BC上,使得該三角板的兩條直角
邊DE,£戶恰好分別經(jīng)過點5、C.
(1)ZDBC+ZDCB=90g;
(2)過點A作直線MN//DE,若NA8=20。,試求NC4M的大小.
【解答】解:(1)在AD8C中,?ZDBC+ZDCB+ZD=180°,
而ZD=90°.
:.ZDBC+ZDCB=9Q°;
故答案為90;
(2)在AA3c中,
?.?ZABC+ZACB+ZA=18O°,
即ZABD+ZDBC+ZDCB+ZACD+ABAC=180°,
而ZJDBC+NDCB=90°,
:.ZABD+ZACD=90°-ZBAC,
:.ZABD+ZBAC=900-ZACD=10°.
又YMN//DE,
:.ZABD=ABAN.
而NfiW+ZS4C+NC4M=180°,
ZABD+ABAC+ACAM=180°.
ZCAM=\80°-(ZABD+ABAC)=110°.
26.(7分)(2019秋?揭陽期末)探究與發(fā)現(xiàn):如圖①,在AABC中,NB=NC=45°,點。在BC邊上,
點E在AC邊上,且連接。E.
(1)當NJ%£>=60°時,求NCDE的度數(shù);
(2)當點。在(點8、。除外)邊上運動時,試猜想NBA。與NCDE的數(shù)量關系,并說明理由.
(3)深入探究:如圖②,若NB=NC,但NCH45。,其他條件不變,試探究NBA。與NCQE的數(shù)量關
系.
【解答】解:(1)???NAQC是人43。的外角,
NADC=NB4D+=105。,
ZDAE=ABAC-/BAD=30°,
:.ZADE=ZAED=75°,
ZCD£=105°-75°=30°;
(2)4BAD=2/CDE,
理由如下:設NR4D=x,
ZADC=ABAD+N3=45°+x,
ZDAE=ABAC-/BAD=90°-x,
900+r
ZADE=ZAED=—~,
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