調(diào)和點列與極點極線（解析幾何）（學生版）

線內(nèi)接四邊形兩對邊延長線的交點軌跡等,是圓錐曲線的?？紗栴},這些問題大多和極點極線與調(diào)或點列A,C,B,D的交比.【證明】令線束O(a,b,c,d(分別交l于A,B,C,D,則=/=/=,,又因為各對應(yīng)向量方向相同,故交比與所截直線無關(guān).【注】定理說明，點列的交比與其對應(yīng)線束的交比是相同的.保A/,B/,C/,D/,可視為對l作射影變換,所得交比不變,由此說明交比是射影不變量,具有射影不變性.定理1若交比為-1,則稱為調(diào)和比.交比為-1的線束稱為調(diào)和線束,點列稱為調(diào)和點列.一般地,(λ>0且λ≠1,則A,C,B,D四點構(gòu)成“調(diào)和點列”;線段AB.亦稱A,C,B,D為調(diào)和點列.線段端點和內(nèi)外分點,依次構(gòu)成調(diào)和點列.②也可以以D,C為基點,則四點D,B,C,A仍構(gòu)成調(diào)和點列,故稱A,B與C,D調(diào)和共軛.③如圖,若A,C,B,D構(gòu)成調(diào)和點列,O為直線AB外任意一點,則四直線OA,OC,OB,OD為調(diào)和線束;若另一直線截此調(diào)和線束,則截得的四點A/,C/,B/,D/|CA||DA||CB||DB||AB|-|CA||DA|-||CA||DA||CB||DB||AB|-|CA||DA|-|AB||CA||DA||CA||DA||AC||AD||A若A,C,B,D構(gòu)成調(diào)和點列,則D,B,C,A也構(gòu)成調(diào)和點列.①==λ=-=l3,l4成調(diào)和線束.3均為正數(shù),其它情況同理可證.l3,l4與x軸分別交于A,B,C,D四點,則2k2=k1+k3?=+?=?A,B,C,D成調(diào)和點列?l1,l3,l2,l4成調(diào)和線束.定理4已知F為橢圓的焦點,l為F相應(yīng)的準線,過F任作一直線交橢圓于A,B兩點,交l于點M,則A,B,F,M成調(diào)和點列.AF=AA1=分別為∠APB的內(nèi)外角平分線,則CP⊥DP,即P的軌跡為以CD為直徑的圓(圓心O為線段EF稱為其對角線.定理5完全四邊形對角線所在直線互相調(diào)和分割.即AGCH、BGDI、EHFI分別構(gòu)成調(diào)和點列.即=,所以EHFI為調(diào)和點列.其余的可由線束的交比不變性得到.如圖,P為不在圓錐曲線Γ上的點,過點P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,我們稱點P為直線MN關(guān)于圓錐曲線Γ的極點,稱直線MN為點P關(guān)于圓錐曲線Γ的極線.直線MN交圓錐曲線Γ于A,B兩點,則PA,PB為圓錐曲線Γ的兩條切線.若P在圓錐曲線Γ上,則過點P的切線即為極線.(1)自極三角形：極點P一一極線MN；極點M一一極線PN;極點N一一極線MP;即△PMN中,(1)當四邊形變成三角形時：曲線上的點E(F,M,N(對應(yīng)的極線,就是切線PE;.對于定點P(x0,y0(與非退化二次曲線Γ:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，過點P作動直線與曲線Γ交于點A與點B,那么點P關(guān)于線段AB的調(diào)和點Q的軌跡是什么?P為直線l關(guān)于曲線Γ的極點;相應(yīng)地,稱直線l為點P關(guān)于曲線Γ的極線.一般地,對于圓錐曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，設(shè)極點P(x0,y0(,則對應(yīng)的極線為2→xx0,y2→yy0,xy→.(1)橢圓+=1(a>b>0)的三類極點極線(1)若極點P(x0,y0(在橢圓外,過點P作橢圓的兩條?線,切點為A,B,則極線為切點弦所在直線AB:x0x+y(2)若極點P(x0,y0(在橢圓上,過點P作橢圓的切線l,則極線為切線+=1;(3)若極點P(x0,y0(在橢圓內(nèi),過點P作橢圓的弦AB,分別過A,B作橢圓切線,則切線交點軌跡為極線+=1(2)對于雙曲線-=1,極點P(x0,y0(對應(yīng)的極線為-=1;(3)對于拋物線y2=2px,極點P(x0,y0(對應(yīng)的極線為y=p(x0+x(.(1)引理:已知橢圓方程為+=1(a>b>0),直線l的方程為+=1,點P(x0,y0(不與原點重合.過點P作直線交橢圓于A,B兩點,M點在直線AB上，則“點M在直線l上"的充要條件是"P,M調(diào)和分割A(yù),B",即=.【證明】先證必要性.設(shè)M點的坐標為(x1,y1(,則有+=1.設(shè)直線AB的參數(shù)方程為與橢圓方程聯(lián)立,得+-1(t2+2+-1(t++-1(=0，即+-1t2++-1(=0,該方程有兩個不等實根,設(shè)為t1,t2,即P,M調(diào)和分割A(yù),B,也即=.設(shè)P是圓錐曲線Γ的一個極點,它對應(yīng)的極線為l,過P任意引一條直線,交Γ于點A,B,交l于點Q,若點A是位于P,Q間的點,結(jié)合引理可得如下極點和極線的三個調(diào)和性質(zhì):若P點關(guān)于圓錐曲線Γ的極線通過另一點Q,則Q點的極線也通過P,稱P、Q關(guān)于Γ調(diào)和共軛.=1.因為lP過點Q,Q坐標滿足方程+=1,即+=1;則P點坐標滿足方程+=1,這也說明,也就是lQ過點P.在極線上.對于橢圓+=1,極點P(x0,y0((不是原點)對應(yīng)的極線為+=1,有如下性質(zhì)：上時對應(yīng)的極線y=平行于x軸;特別地,當極點P為橢圓的焦點時,極線為相應(yīng)的準線.k方向共軛.當極點P(x0,y0(在橢圓內(nèi)時，極線l平行于以P為易證).設(shè)直線OP與橢圓相交于點D,過點D作橢圓的切線l1,則以P為中點的弦所在直線R設(shè)圓錐曲線Γ的一個焦點為F,與F相應(yīng)的準線為l,若過點F的直線與圓雉曲線Γ相交于MAP+kAQ=0.2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是()A.相切B.相交C.相離D.不確定在的直線方程.【例4】如圖,過直線l:5x-7y-70為M,N,連結(jié)MN.為直線x=6上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.x軸交于點P,直線AC與直線BD交于點Q.AD、BC相交于點N,連結(jié)MN.F2=,0).(2)設(shè)O為坐標原點,證明:∠OMA=∠OMB.(2)設(shè)P(1,0),Q(4,0),過點∠BPQ引理:二次曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0與直線PQ交于點P,Q,定點O在直線別交曲線Γ于點C,D,直線AB，CD分別交PQ于點M,N.則M,O,N,R成調(diào)和點列.【證明】延長XO交BC于點E,由定理5可知：B,E,C,Y成調(diào)和點列(完全四邊形中的調(diào)和點列),故M,O,N,R也成調(diào)和點列(調(diào)和點列在射影變換下的不變性).交橢圓于點A,B.求證：直線AQ,PQ,BQ的斜率成等差數(shù)列.0,PQ平分∠AQB.F相應(yīng)的準線于點M,P為過F與x軸垂直的直線上的任意一點,則直線PA,PM,PB的斜率成等差數(shù)列.【例15】如下圖,橢圓+=1(a>b>0)的左右頂點為A1,B1,Q為直線x分別于橢圓交于點A