歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編35不等式

1/2歷年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編專題35不等式第四緝1．【2015年山東預(yù)賽】已知x、y∈[0,+∞)且滿足x3+y【答案】4【解析】由已知得x3又x2?x+y=1.故x2當(dāng)x=23,y=132．【2015年江西預(yù)賽】滿足1?x2≥x【答案】?1,【解析】令y=1?其與直線y=x交于點12,1因此，x∈?1,3．【2015年江西預(yù)賽】若實數(shù)x、y、z≥0，且x+y+z=30，3x+y?z=50，則【答案】120,130【解析】注意到，T=5x+4y+2z=x+y+z由4x+2y=x+y+z又20=3x+y?z?x+y+z因為x、z≥0，所以，故由x+y+z=30，知y+z≤20.于是，T=110+y+z≤130（當(dāng)再由4x+2y=80，y≥0，知從而，y+z=30?x≥10.于是，T=110+y+zx≥120（當(dāng)因此，120≤T≤130.4．【2015年江蘇預(yù)賽】設(shè)實數(shù)滿足，且，則的最大值為________.【答案】【解析】試題分析：由，且，即，也就是.分別以，軸為橫軸和縱軸，那么方程所表示的曲線為焦點在縱軸上的雙曲線位于第一象限的部分雙曲線弧，（包括縱軸上的點），令則.由線性規(guī)劃知識可知，當(dāng)經(jīng)過點時，，.考點：雙曲線方程，線性規(guī)劃的綜合使用．【方法點晴】本題主要考查的是解析幾何中雙曲線的方程，特別是由限制條件下得出圖形為雙曲線的一部分而不是整個雙曲線．設(shè)為一個整體，巧妙得轉(zhuǎn)化到線性規(guī)劃的方法利用平行線與雙曲線弧的位置關(guān)系來確定最大值，也可以用換元的方法來完成該題.在畫圖時要注意圖形的準(zhǔn)確性，不同直線的傾斜程度要表達(dá)出來．5．【2015年河南預(yù)賽】已知正實數(shù)滿足，則的最小值為___________．【答案】【解析】試題分析:因為,故應(yīng)填答案.考點：基本不等式及靈活運(yùn)用．【易錯點晴】基本不等式是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容和解答數(shù)學(xué)問題的重要工具之一.本題設(shè)置的目的是考查基本不等式的靈活運(yùn)用和靈活運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題解決問題的能力.求解時先將已知變形為,然后再運(yùn)用基本不等式最后達(dá)到獲解之目的.6．【2015年甘肅預(yù)賽】已知a、b為兩個互相垂直的單位向量,且c?a=c?b=1.則對任意的正實數(shù)t,c+ta+1【答案】2【解析】設(shè)c=λa+μb.則：c?a=λac?b=λa?b+u|b|于是,c=a+b故c2又c+ta+=c=2+t≥2+1從而,c+ta+1tb因此,所求最小值為227．【2015年甘肅預(yù)賽】設(shè)x、y為正實數(shù),且x+y=1.則【答案】1【解析】由柯西不等式得x2當(dāng)且僅當(dāng)x2x+2x+28．【2015年福建預(yù)賽】已知實數(shù)x、y、z滿足【答案】?12【解析】由柯西不等式知x+2y+3z2于是，x+2y+3z≥?12，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=?2時等號成立.故x+2y+3z的最小值為?12.9．【2021年吉林預(yù)賽】設(shè)實數(shù)x,y滿足不等式組x?y?04x?y?0x+y?3,則z=x+2y?1xA.776 B.5615 C.236【答案】D【解析】z=x+2y?1當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=2選D.10．【2021年吉林預(yù)賽】方程組(x+y?1)x?1=0x2+A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題意得:x?1=0,x2+y2有三組解(1,1),(1,?1),62選C.11．【2019年吉林預(yù)賽】若x、y滿足|y|?2?x,且x≥?1,則2x+y的最小值為()A.?7 B.?5 C.1 D.4【答案】B【解析】原題條件等價于:?1?x?2y?2?x12．【2018年吉林預(yù)賽】已知實數(shù)a,b滿足a>0,b>0,a≠1,b≠1，且x=aA．存在實數(shù)a,b，使得x>y>z>wB．存在a≠b，使得x=y=z=wC．任意符合條件的實數(shù)a,b都有x=yD．x,y,z,w中至少有兩個大于1【答案】CD【解析】因為lgx=lgalgb=lgblga,lgy=lgalgb，所以lgx=lgy，從而對任意符合條件的實數(shù)a,b都有x=y，所以選項A不正確，選項C正確；又若x=z，即algb13．【2018年吉林預(yù)賽】設(shè)x>0，y>0，A．0,3 B．1,3 C．0,4【答案】D【解析】由已知y=xx?1，所以因為x＞1，即0<1x<1，所以3故答案為：D14．【2017年天津預(yù)賽】實數(shù)a,b滿足a≤1,a+(A)0,94 (B)?2,94 【答案】B【解析】提示：令t=a+b,則t≤1,且a+1b當(dāng)t=1時,原式成為a+12當(dāng)t=?1時,原式成為a+1?因此,所求的取值范圍是?215．【2017年遼寧預(yù)賽】已知正數(shù)a,b,c,d滿足a+(A)116 (B)8 (C)15 【答案】D【解析】提示：由平均值不等式及題設(shè)條件知2cd≤即cd≤18當(dāng)且僅當(dāng)c=由①可得1a+1又由條件和柯西不等式可得1a+8當(dāng)且僅當(dāng)b=結(jié)合條件便知此時a=由②③得1a+1bcd≥16．【2017年陜西預(yù)賽】設(shè)x≥y>0,若存在實數(shù)a、b滿足0≤a≤(A)233 (B)2 (C)62【答案】A【解析】提示：如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,作矩形OABC,使Ax在邊OA、AB上分別取點P,Q,使則由x?a2+y設(shè)∠OCP=所以xy當(dāng)且僅當(dāng)θ=故xy的最大值為217．【2017年黑龍江預(yù)賽】如果實數(shù)x,y滿足x?4y+3≤0,(A)2 (B)?2 (C)15 【答案】A【解析】提示:由直線方程聯(lián)立方程組易得A1將k=2代入,過B的截距Z=3,過C的截距18．【2016年陜西預(yù)賽】在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組{3A．32B．3C．2D．【答案】B【解析】由不等式組繪制可行域如圖所示，則A(?2,0),B(1,3不等式組表示的平面區(qū)域的面積是S=1本題選擇B選項.19．【2016年陜西預(yù)賽】設(shè)非負(fù)實數(shù)a、b、c滿足ab+be+ca=a+b+c>0.則ab+A．2B．3C．3D．22【答案】A【解析】不妨設(shè)a≥b≥c.由均值不等式得(當(dāng)且僅當(dāng)c=0且a=b時，上式等號成立.又ab+bc+ca=a+b+c>0，則ab+由c=0，a=b，ab+bc+ca=a+b+c，得a=b=2.故當(dāng)a、b、c中有兩個為2、一個為0時，ab+20．【2016年天津預(yù)賽】設(shè)0<a<b.已知a、s、t、b依次成等差數(shù)列,a、u、v、b依次成等比數(shù)列記x=sts+tA．x>yB．x=yC．x<yD．既有x>y的情形,也有x<y的情形【答案】A【解析】設(shè)公比q>1.則b=aqs=2a+bt=a+2b由a1+?s+t=a+b>u+v，由2+2=2故sts+t21．【2016年浙江預(yù)賽】已知a、b∈R，函數(shù)fx=ax?b。若對于任意的x∈?1,1A．?12,0B．?4【答案】D【解析】由題意得0≤f1≤10≤f?1≤1?0≤a?b≤122．【2015年浙江預(yù)賽】若實數(shù)a、b滿足A．1B．54C．7【答案】C【解析】由a、b滿足的條件知故a+2b2a+b當(dāng)a,b=23．【2015年湖南預(yù)賽】使關(guān)于x的不等式x?3+6?x≥kA．6?3B．3C．6【答案】D【解析】令y=x?3+?0<y≤6.從而，實數(shù)k的最大值為624．【20