2022屆高三1月月供卷文科數(shù)學(xué)四教師版

此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號此卷只裝訂不密封班級姓名準考證號考場號座位號文科數(shù)學(xué)（四）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，故選B．2．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．直線上【答案】D【解析】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，顯然點在直線上，故選D．3．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委菽依組內(nèi)角，下周三丈，高七尺，問積及為菽幾何？”其意思為：“靠墻壁堆放大豆成半圓錐形，大豆堆底面的弧長為3丈，高為7尺，問大豆堆體積和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆立方尺，1丈尺，圓周率約為3，估算出堆放的大豆有（）A．140斛 B．142斛 C．144斛 D．146斛【答案】C【解析】依題意，令錐體底面半圓半徑為r，半圓弧長l，則有，即，圓錐體底面面積為，而尺，圓錐體的高尺，于是得圓錐體體積為(立方尺)，由得大豆有(斛)，所以堆放的大豆大約有(斛)，故選C．4．甲?乙去同一家藥店各購一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售A，B?C三種醫(yī)用外科口罩，則甲?乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】甲、乙在A，B，C三種醫(yī)用外科口罩中各購一種的基本事件有，，，，，，，，共9種，其中甲，乙購買的是同一種醫(yī)用外科口罩基本事件有，3種，則其概率為，故選．5．已知直線被圓截得的弦長為2，則（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，圓心C到直線l的距離為，由題意可知，解之得，即，故選B．6．曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，所以，，所以曲線在處的切線方程為，即，故選A．7．在平面直角坐標系中，點，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由題意可知，因為，所以，由題意可知，，故選D．8．若，則（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由，可知，即，故選．9．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，則數(shù)列的前n項之積的最大值為（）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【解析】由，可知，所以，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，由可知，，所以，所以數(shù)列為，所以的前n項之積的最大值為，故選C．10．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的一條對稱軸為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可知，，所以，根據(jù)圖象可知在單調(diào)減區(qū)間上，又，所以，由上可知，結(jié)合圖象，由五點法，得，解得，則，由，所以，令時，，故選C．11．已知A，B為雙曲線的左?右頂點，D為C上一點，且，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】解法一：設(shè)，由，可知，所以直線方程為，方程為，聯(lián)立方程組，解得，即，將點D代入C的方程得，解得，故C的離心率為，故選B．解法二：設(shè)，由，可知，所以，所以，即．又，所以，故C的離心率為，故選B．12．某圓柱的高為2，其正視圖如圖所示，圓柱上下底面圓周及側(cè)面上的點A，B，D，F(xiàn)，C在正視圖中分別對應(yīng)點A，B，E，F(xiàn)，C，且，異面直線所成角的余弦值為，則該圓柱的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，圓柱的直觀圖如圖所示，連接，設(shè)圓柱底面圓的圓心為O，半徑為r，由知，E為的中點，C為的中點，連接，則，即異面直線所成角為或其補角，連接，由正視圖知，則，在中，，即，在中，有，而異面直線所成角的余弦值為，即，在中，由余弦定理得，即，解得，該圓柱的軸截面矩形對角線，又圓柱的軸截面矩形是其外接球截面大圓的內(nèi)接矩形，則該圓柱的外接球的半徑，所以該圓柱的外接球的表面積為，故選A．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為_________．【答案】【解析】作出可行域如圖陰影部分所示，由，得，由圖可知當經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，由，得，將代入，得，所以的最大值為22，故答案為．14．已知向量，且，則向量與的夾角為___________．【答案】【解析】設(shè)向量的夾角為，由題意可知，由，得，所以，所以，故向量與的夾角為，故答案為．15．已知數(shù)列滿足，則_________．【答案】5【解析】由，得，即，又，所以是首項為9，公差為3的等差數(shù)列，因此，所以，所以，故，故答案為．16．已知拋物線的焦點為F，點A，B分別在C及其準線l上，是面積為的正三角形，則________．【答案】3【解析】如圖所示，因為是正三角形，所以．由拋物線的定義可知，，過F作，又知，所以，所以，則，由的面積為，可知，所以，故答案為3．三、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）某農(nóng)業(yè)大學(xué)的學(xué)生利用專業(yè)技能指導(dǎo)葡萄種植大戶，對葡萄實施科學(xué)化，精細化管理，使得葡萄產(chǎn)量有較大提高．葡萄采摘后去掉殘次品后，隨機按每10串裝箱，現(xiàn)從中隨機抽收5箱，稱得每串葡萄的質(zhì)量（單位：），將稱量結(jié)果分成5組：，并繪制出如圖所示的頓率分布直方圖．（1）求a的值；（2）若從這批葡萄中隨機抽取一串，其質(zhì)量在內(nèi)的概率不超過0．30，且這批葡萄每串葡萄質(zhì)量的平均值估計值不低于，則認為“學(xué)生指導(dǎo)起到一定作用”，否則認為“學(xué)生指導(dǎo)沒有起到作用”，請判斷學(xué)生的指導(dǎo)是否起到作用，并說明理由．（殘次品除外，將頻率看作概率，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值代表．）【答案】（1）；（2）認為“學(xué)生指導(dǎo)起到一定作用”，理由見解析．【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，，解得．（2）從這批葡萄中隨機抽取一串，其質(zhì)量在的頻率為．所以從這批葡萄中隨機抽取一串，其質(zhì)量在內(nèi)的概率．這批葡萄每串葡萄質(zhì)量的平均值估計值：，故這批葡萄中每串葡萄同時滿足題目中兩個條件，所以認為“學(xué)生指導(dǎo)起到一定作用”．18．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．，的面積為．（1）若，求a；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由的面積為，得，所以．由，得，所以，所以由余弦定理，得，即．（2）由正弦定理得，所以，所以，所以．由，得，所以．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面，四邊形是平行四邊形，，為等邊三角形，點E為的中點，點F為的中點．（1）證明：；（2）求點B到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：連接，因為為等邊三角形，點E為的中點，所以．又平面底面，平面平面，所以底面．又平面，所以．由，可知，所以，所以，所以，即．因為，所以平面，又平面，所以，因點F為的中點，所以．（2）延長交于點M．則．由（1），所以．又底面底面，所以．又知，所以平面，即點B到平面的距離為．因為點E為的中點，所以，所以，所以，故點B到平面的距離為．20．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求的極值；（2）當時，，求a的取值范圍．【答案】（1）極大值，沒有極小值；（2）．【解析】（1）當時，的定義域為，．當時，；當時，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故有極大值，沒有極小值．（2）當時，恒成立，等價于對于任意恒成立．令，則．若，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；若，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意；若，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不合題意，綜上可知，a的取值范圍為．21．（12分）已知橢圓的離心率為，A，B是E的上，下頂點，是E的左?右焦點，且四邊形的面積為．（1）求橢圓E的標準方程；（2）若P，Q是E上異于A，B的兩動點，且，證明：直線恒過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意可知，又，且四邊形為菱形，所以．又，所以，故橢圓E的標準方程為．（2）證明：由（1）知點，設(shè)直線的方程為，由，得，解得，所以；由，可知，則直線的方程為，由，得，解得，所以，易知直線的斜率存在，且，所以直線的方程為，整理得，故直線恒過定點．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）已知點，曲線與交于A，B兩點，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）將（t為參數(shù)）消去參數(shù)，可得曲線的普通方程為．由，得，所以，即，故曲線的直角坐標方程為．（2）易知點在直線上，所以曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．代入，得，所以，則，故．23．（10