2022屆高三1月月供卷文科數(shù)學(xué)四教師版

此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)文科數(shù)學(xué)（四）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，∴，故選B．2．若，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．直線上 B．直線上 C．直線上 D．直線上【答案】D【解析】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，顯然點(diǎn)在直線上，故選D．3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委菽依組內(nèi)角，下周三丈，高七尺，問(wèn)積及為菽幾何？”其意思為：“靠墻壁堆放大豆成半圓錐形，大豆堆底面的弧長(zhǎng)為3丈，高為7尺，問(wèn)大豆堆體積和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆立方尺，1丈尺，圓周率約為3，估算出堆放的大豆有（）A．140斛 B．142斛 C．144斛 D．146斛【答案】C【解析】依題意，令錐體底面半圓半徑為r，半圓弧長(zhǎng)l，則有，即，圓錐體底面面積為，而尺，圓錐體的高尺，于是得圓錐體體積為(立方尺)，由得大豆有(斛)，所以堆放的大豆大約有(斛)，故選C．4．甲?乙去同一家藥店各購(gòu)一種醫(yī)用外科口罩，已知這家藥店出售A，B?C三種醫(yī)用外科口罩，則甲?乙購(gòu)買(mǎi)的是同一種醫(yī)用外科口罩的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】甲、乙在A，B，C三種醫(yī)用外科口罩中各購(gòu)一種的基本事件有，，，，，，，，共9種，其中甲，乙購(gòu)買(mǎi)的是同一種醫(yī)用外科口罩基本事件有，3種，則其概率為，故選．5．已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2，則（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，圓心C到直線l的距離為，由題意可知，解之得，即，故選B．6．曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題知，所以，，所以曲線在處的切線方程為，即，故選A．7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，由題意可知，因?yàn)椋?，由題意可知，，故選D．8．若，則（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由，可知，即，故選．9．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則數(shù)列的前n項(xiàng)之積的最大值為（）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】C【解析】由，可知，所以，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，由可知，，所以，所以數(shù)列為，所以的前n項(xiàng)之積的最大值為，故選C．10．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的一條對(duì)稱軸為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可知，，所以，根據(jù)圖象可知在單調(diào)減區(qū)間上，又，所以，由上可知，結(jié)合圖象，由五點(diǎn)法，得，解得，則，由，所以，令時(shí)，，故選C．11．已知A，B為雙曲線的左?右頂點(diǎn)，D為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】解法一：設(shè)，由，可知，所以直線方程為，方程為，聯(lián)立方程組，解得，即，將點(diǎn)D代入C的方程得，解得，故C的離心率為，故選B．解法二：設(shè)，由，可知，所以，所以，即．又，所以，故C的離心率為，故選B．12．某圓柱的高為2，其正視圖如圖所示，圓柱上下底面圓周及側(cè)面上的點(diǎn)A，B，D，F(xiàn)，C在正視圖中分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)，C，且，異面直線所成角的余弦值為，則該圓柱的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，圓柱的直觀圖如圖所示，連接，設(shè)圓柱底面圓的圓心為O，半徑為r，由知，E為的中點(diǎn)，C為的中點(diǎn)，連接，則，即異面直線所成角為或其補(bǔ)角，連接，由正視圖知，則，在中，，即，在中，有，而異面直線所成角的余弦值為，即，在中，由余弦定理得，即，解得，該圓柱的軸截面矩形對(duì)角線，又圓柱的軸截面矩形是其外接球截面大圓的內(nèi)接矩形，則該圓柱的外接球的半徑，所以該圓柱的外接球的表面積為，故選A．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)________．【答案】【解析】作出可行域如圖陰影部分所示，由，得，由圖可知當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，由，得，將代入，得，所以的最大值為22，故答案為．14．已知向量，且，則向量與的夾角為_(kāi)__________．【答案】【解析】設(shè)向量的夾角為，由題意可知，由，得，所以，所以，故向量與的夾角為，故答案為．15．已知數(shù)列滿足，則_________．【答案】5【解析】由，得，即，又，所以是首項(xiàng)為9，公差為3的等差數(shù)列，因此，所以，所以，故，故答案為．16．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B分別在C及其準(zhǔn)線l上，是面積為的正三角形，則________．【答案】3【解析】如圖所示，因?yàn)槭钦切?，所以．由拋物線的定義可知，，過(guò)F作，又知，所以，所以，則，由的面積為，可知，所以，故答案為3．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（12分）某農(nóng)業(yè)大學(xué)的學(xué)生利用專業(yè)技能指導(dǎo)葡萄種植大戶，對(duì)葡萄實(shí)施科學(xué)化，精細(xì)化管理，使得葡萄產(chǎn)量有較大提高．葡萄采摘后去掉殘次品后，隨機(jī)按每10串裝箱，現(xiàn)從中隨機(jī)抽收5箱，稱得每串葡萄的質(zhì)量（單位：），將稱量結(jié)果分成5組：，并繪制出如圖所示的頓率分布直方圖．（1）求a的值；（2）若從這批葡萄中隨機(jī)抽取一串，其質(zhì)量在內(nèi)的概率不超過(guò)0．30，且這批葡萄每串葡萄質(zhì)量的平均值估計(jì)值不低于，則認(rèn)為“學(xué)生指導(dǎo)起到一定作用”，否則認(rèn)為“學(xué)生指導(dǎo)沒(méi)有起到作用”，請(qǐng)判斷學(xué)生的指導(dǎo)是否起到作用，并說(shuō)明理由．（殘次品除外，將頻率看作概率，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值代表．）【答案】（1）；（2）認(rèn)為“學(xué)生指導(dǎo)起到一定作用”，理由見(jiàn)解析．【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，，解得．（2）從這批葡萄中隨機(jī)抽取一串，其質(zhì)量在的頻率為．所以從這批葡萄中隨機(jī)抽取一串，其質(zhì)量在內(nèi)的概率．這批葡萄每串葡萄質(zhì)量的平均值估計(jì)值：，故這批葡萄中每串葡萄同時(shí)滿足題目中兩個(gè)條件，所以認(rèn)為“學(xué)生指導(dǎo)起到一定作用”．18．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．，的面積為．（1）若，求a；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由的面積為，得，所以．由，得，所以，所以由余弦定理，得，即．（2）由正弦定理得，所以，所以，所以．由，得，所以．19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面底面，四邊形是平行四邊形，，為等邊三角形，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求點(diǎn)B到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）證明：連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以．又平面底面，平面平面，所以底面．又平面，所以．由，可知，所以，所以，所以，即．因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，因點(diǎn)F為的中點(diǎn)，所以．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M．則．由（1），所以．又底面底面，所以．又知，所以平面，即點(diǎn)B到平面的距離為．因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，故點(diǎn)B到平面的距離為．20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．【答案】（1）極大值，沒(méi)有極小值；（2）．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故有極大值，沒(méi)有極小值．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意恒成立．令，則．若，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；若，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不合題意，綜上可知，a的取值范圍為．21．（12分）已知橢圓的離心率為，A，B是E的上，下頂點(diǎn)，是E的左?右焦點(diǎn)，且四邊形的面積為．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若P，Q是E上異于A，B的兩動(dòng)點(diǎn)，且，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）由題意可知，又，且四邊形為菱形，所以．又，所以，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：由（1）知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，由，得，解得，所以；由，可知，則直線的方程為，由，得，解得，所以，易知直線的斜率存在，且，所以直線的方程為，整理得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)．請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，曲線與交于A，B兩點(diǎn)，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）將（t為參數(shù)）消去參數(shù)，可得曲線的普通方程為．由，得，所以，即，故曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）易知點(diǎn)在直線上，所以曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．代入，得，所以，則，故．23．（10