浙江省“數(shù)海漫游”2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

2024年“數(shù)海漫游”第二次模擬考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A.0 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知化簡復(fù)數(shù)，計(jì)算求模即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以,所以,所以.故選：C.2.已知，則的面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理得，平方關(guān)系求出，再利用面積公式可得答案.【詳解】由余弦定理得，因?yàn)?，所以，可?故選：D.3.記Sn為非零數(shù)列an的前項(xiàng)和，若，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用遞推公式求出前4項(xiàng)，即可解題.【詳解】，則.即.,，.故.故選：B.4.設(shè)點(diǎn)在正四面體的棱AB上，AB與平面所成角為，則（）A.4 B.10 C.14 D.20【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，過作于，可證得平面，則（或其補(bǔ)角）為與平面所成角，設(shè)正四面體的棱長為2，在中求出，則在中求出，從而可求得，代入計(jì)算可得答案.【詳解】取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，過作于，因?yàn)樗拿骟w為正四面體，所以，因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以（或其補(bǔ)角）為與平面所成角，所以，則，設(shè)正四面體的棱長為2，則,所以，所以為銳角，所以，所以，在中，，則，在中，，則所以，解得，所以,所以.故選：B5.已知向量均為單位向量，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)向量的夾角為，化簡，令，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由向量均為單位向量，設(shè)向量的夾角為，由，則，所以設(shè)，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞增，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以的最小值為，所以的最小值為.故選：C.6.小明開始了自己的存錢計(jì)劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點(diǎn)以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點(diǎn)發(fā)現(xiàn)自己前3天晚上八點(diǎn)時(shí)存錢罐中的余額恰好成等差數(shù)列，則小明在第2天存入了100元概率是（）A. B.15 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)貝葉斯公式求得正確答案.【詳解】余額恰好成等差數(shù)列，即，其中第天存入元的是，故所求概率為.故選：A7.設(shè)橢圓的弦AB與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，，若直線AB的斜率，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由得，根據(jù)在橢圓上，代入相減得，則直線的斜率為，然后由即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，直線，因?yàn)?，所以，所以，即，，所?因?yàn)樵跈E圓上，所以，兩式相減得，即.又因?yàn)?，且，，所以，即，所?故選：C.8.稱平面直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為正整數(shù)的點(diǎn)為好整點(diǎn)，記為集合包含的好整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．若，則正整數(shù)的最小值是（）A.1976 B.1977 C. D.【答案】B【解析】【分析】一方面由必要性：轉(zhuǎn)換成恒成立求參問題，可以求得，另一方面比較重要的一點(diǎn)是：要驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，，由此即可得解.【詳解】一方面：由題意，，使得不等式恒成立，注意到，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以正整數(shù)應(yīng)該滿足，另一方面：當(dāng)時(shí)，我們證明：成立，證明過程如下：注意到，所以，，記，則，，，即成立，綜合以上兩方面，可知正整數(shù)的最小值是1977.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于用必要性求得參數(shù)范圍后，一定要檢驗(yàn)充分性是否成立，由此即可順利得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)雙曲線與直線交于與兩點(diǎn)，則可能有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】聯(lián)立方程組，應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系換元化簡即可得出選項(xiàng).【詳解】聯(lián)立方程組，可得，因?yàn)殡p曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，所以，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，A正確；當(dāng)m>0時(shí)，，C正確；當(dāng)或時(shí)，，D正確.故選：ACD.10.若無窮數(shù)列由唯一確定，稱遞推公式是專一的．則下列遞推公式中專一的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A：分析可知，即可得結(jié)果；對(duì)于C：分析可知，即可得結(jié)果；對(duì)于BD：取特值計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可得，所以遞推公式是專一的，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋睿傻茫?，解得或，所以推公式不是專一的，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可得，令，可得，可得，且，可得，即，可知?shù)列是以2為周期的周期函數(shù)，且，則，所以遞推公式是專一的，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，由可得：，則，由可得，解得或，所以推公式不是專一的，故D錯(cuò)誤；故選：AC.11.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)滿足，則（）A.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大 B.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差變大C.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小 D.拿走，這組數(shù)據(jù)的方差減小【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A，直接證明即可；對(duì)于B，C，構(gòu)造反例即可；對(duì)于D可直接用拿走后的方差為零說明結(jié)論.【詳解】熟知對(duì)一組數(shù)據(jù)，其方差等于各個(gè)數(shù)據(jù)的平方的算術(shù)平均值與算術(shù)平均值的平方之差，即.將拿走前后的方差分別記為.對(duì)于A，給五個(gè)元素同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，不影響方差，所以可以適當(dāng)平移，使得剩下的4個(gè)元素：的平均值為0，不妨設(shè)，則，，所以.故，所以A正確；對(duì)于B，考慮，則，，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，考慮，則，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于這組數(shù)據(jù)不全相等，所以，而，所以D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于方差的計(jì)算.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)至多有______個(gè)零點(diǎn)．【答案】1【解析】【分析】運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)概念，求解零點(diǎn)，結(jié)合分段函數(shù)特征,分類討論判定即可.【詳解】當(dāng)，令，解得，但，所以只有可能是零點(diǎn)，且.當(dāng)，令，解得，又，所以只有，即時(shí)，可能是零點(diǎn).綜上，當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，至多1個(gè)零點(diǎn)．即函數(shù)至多1個(gè)零點(diǎn)故答案：1．13.已知正方體的棱長為3，取出各棱的兩個(gè)三等分點(diǎn)，共24個(gè)點(diǎn)，對(duì)于正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)這24個(gè)點(diǎn)中與距離最小的三個(gè)點(diǎn)為，從正方體中切去所有四面體，得到的幾何體的外接球表面積是______．【答案】【解析】【分析】由空間直觀得所求幾何體的外接球球心，先利用等體積法求出四面體的高，再求外接球半徑進(jìn)而得球的表面積.【詳解】由題意可知，如圖，將正方體切去8個(gè)角上的四面體即得所求幾何體，該幾何體的外接球球心即正方體外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，球心為.設(shè)四面體高，其中是在平面的投影.已知正方體棱長為3，則，，由，得，解得，，，則，故幾何體的外接球表面積.故答案為：.14.當(dāng)，為銳角時(shí)，恒有，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】令，求出的最大值是；再設(shè)，時(shí)；代回可得，即可求出的取值范圍.【詳解】令，，，令，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即，設(shè)，，，而，，，，在上單調(diào)遞增，所以，即，，，因此，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遇到表達(dá)式里有多個(gè)變量，需先確定主元，將其他變量看成參數(shù)，得到一元函數(shù)，按照常規(guī)函數(shù)求最值方法即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知點(diǎn)為拋物線與圓在第一象限的交點(diǎn)，另一交點(diǎn)為.（1）求；（2）若點(diǎn)在圓上，直線為拋物線的切線，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接將點(diǎn)依次代入拋物線、圓的方程中即可求解；（2）首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求出的方程，根據(jù)對(duì)稱性得到的坐標(biāo)，聯(lián)立圓的方程求出的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【小問1詳解】由題意，，解得．【小問2詳解】在拋物線與圓的方程中，用替換方程依然成立，這表明這兩個(gè)圖象都關(guān)于軸對(duì)稱，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于軸對(duì)稱，由，知．直線為拋物線的切線，當(dāng)時(shí)，，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，則．代入，得或1，故．則的周長為．16.小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫下1，2，3，4，5中的某個(gè)數(shù)字．（1）求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率；（2）證明：這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率的乘法公式計(jì)算；（2）先計(jì)算最大數(shù)的概率，再結(jié)合即可證明.【小問1詳解】．【小問2詳解】記為這五張卡片上最大的數(shù)字，則．由，由，所以這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5.17.在正四面體中，點(diǎn)分別在棱上（不與頂點(diǎn)重合），且（1）若，證明（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)．在,中，由余弦定理得，根據(jù)，則代入化簡即可得；（2）由（1）知，或．設(shè)，取中點(diǎn)，則．根據(jù)或分別計(jì)算取值范圍，然后計(jì)算取值范圍即可.【小問1詳解】設(shè)．因?yàn)樗拿骟w為正四面體，所以，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，又因?yàn)?，所以．整理得：．又因?yàn)椋?，代入得，所?【小問2詳解】由（1）知，或．設(shè)，取中點(diǎn)，則．①若，則，等邊三角形，即，設(shè)，則.②若，則，設(shè)，則．綜上所述，，故．18.記函數(shù).（1）證明：；（2）記的定義域?yàn)椋羧我?，求的取值范圍．【答案】?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）分、兩種情況結(jié)合函數(shù)新定義即可得證；（2）根據(jù)題意得出，首先由必要性探路得，進(jìn)一步根據(jù)題意驗(yàn)證充分性即可得解.小問1詳解】①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，易知，則，得證！【小問2詳解】先考慮，由．記，則．由．令，則，所以在上單調(diào)減，則．必要性探路：先考慮時(shí)，．只需考慮的情況，否則顯然有．于是，令，則．令，且．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．由，故．于是．等號(hào)在，即時(shí)取到．充分性證明：下證：時(shí)，，用歸納法證明．①當(dāng)時(shí)，已證；②當(dāng)時(shí)，易知單調(diào)遞增，則，得證！綜上所述，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵在于先由必要性探路，縮小所求參數(shù)范圍，反過來驗(yàn)證充分性即可順利得證.19.已知集合，記，，是自然數(shù)集稱函數(shù)，若對(duì)于任意，；稱函數(shù)是單調(diào)的，若對(duì)于任意，；?稱函數(shù)是次模的，若對(duì)于任意,已知函數(shù)是次模的．（1）判斷是否一定是單調(diào)的，并說明理由；（2）證明：對(duì)于任意，，；（3）若是單調(diào)的，是正整數(shù)，，記，已知集合滿足．初始集合，然后小明重復(fù)次如下操作：在集合中選取使得最小的元素加入集合，最終得到集合．證明：【答案】（1）不一定是單調(diào)的，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意依據(jù)次模函數(shù)定義舉一反例即可.（2）對(duì)任意，，可得出，且，從而根據(jù)函數(shù)是次模的結(jié)合次模函數(shù)定義條件即可得證.（3）分和兩種情況分析，時(shí)，顯然成立；若，取，根據(jù)題意得小明的每次操作均滿足，進(jìn)而左右兩邊累加