2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十二：與圓有關(guān)的特殊圖形的動(dòng)態(tài)探究(原卷版+解析)

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十二：與圓有關(guān)的特殊圖形的動(dòng)態(tài)探究方法點(diǎn)睛探究線段的長(zhǎng)度或角度判定特殊四邊形的方法方法一：①假設(shè)四邊形為特殊四邊形；②在圖中找出對(duì)應(yīng)線段或?qū)?yīng)角度所在的位置，并作出與之相關(guān)的特殊四邊形；③根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)建立數(shù)學(xué)模型，列出等式進(jìn)行求解．通過(guò)菱形四邊相等和對(duì)角線垂直的性質(zhì)，或矩形四個(gè)角為直角和對(duì)角線相等的性質(zhì)，或正方形的四個(gè)角都是直角、四邊相等和對(duì)角線相等的性質(zhì)把所求線段或角度轉(zhuǎn)化到直角三角形中，再結(jié)合已知條件，求出相關(guān)線段或角度的長(zhǎng)度，利用勾股定理或銳角三角函數(shù)建立等量關(guān)系式進(jìn)行求解；④檢驗(yàn)所求線段或角度的長(zhǎng)度是否滿足題意．方法二：先判斷動(dòng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，幾何圖形為特殊圖形；再結(jié)合題干信息和特殊圖形判定，證明動(dòng)點(diǎn)所在位置是特殊圖形；最后根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)進(jìn)行求解．典例分析例1：（2022河南濟(jì)源一模）如圖，為的直徑，過(guò)圓外一點(diǎn)作切線、，交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接、和．

（1）求證．（2）填空：①當(dāng)________時(shí)，四邊形為菱形；②當(dāng)________時(shí)，四邊形為正方形．專題過(guò)關(guān)1.（2022河南虞城二模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CE切⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線交弧BC于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)E．（1）求證：EC＝ED．（2）若⊙O的半徑為6，∠ABC＝30°．①當(dāng)點(diǎn)F為OB的中點(diǎn)時(shí)，CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____；②當(dāng)弧CG的長(zhǎng)為_(kāi)_____時(shí)，四邊形OCGB為菱形．2.（2022河南商城二模）如圖，PA和PB是的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在PB和PA上，且．

（1）求證：（2）若，當(dāng)是多少度時(shí)，？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若，當(dāng)__________時(shí)，四邊形DEPF為菱形．3.（2022河南新野一模）如圖，AB是的直徑，D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作的切線，交BC于點(diǎn)E，連接OD．（1）求證：；（2）填空：①當(dāng)___________°時(shí)，四邊形OBED是正方形．②連接OE交于點(diǎn)F，連接DF，當(dāng)時(shí)，四邊形ADFO是_________．（填形狀）4.（2022河南輝縣一模）如圖，已知⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C、D分別為⊙O上的兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，⊙O的切線DF與直線AF交于點(diǎn)F，且AF過(guò)點(diǎn)C，連接BD、AD．（1）求證：CF＝BE；（2）填空：①當(dāng)AD＝時(shí)，四邊形AODC是菱形；②當(dāng)AD＝時(shí)，四邊形AEDF是正方形．5.（2022南陽(yáng)唐河一模）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，且C為線段AB的中點(diǎn)，直線AO與⊙O交于點(diǎn)E和點(diǎn)D，OB與⊙O交于點(diǎn)F，連接DF，DC．（1）求證：∠CDF＝∠CDE；（2）①若DE＝10，DF＝8，則CD＝；②連接CO，CF，當(dāng)∠B的度數(shù)為時(shí)，四邊形ODFC是菱形．6.（2022信陽(yáng)三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝45°，以AB為直徑作⊙O，分別與AC，BC相交于點(diǎn)E，D，連接DE，BE，點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，在直徑AB的上方沿以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接AF，BF．設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）填空：①當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形AEBF為正方形．②當(dāng)t＝s時(shí)，S△ABFS△ABE．7.（2022河南輝縣二模）如圖所示，在銳角△ABC中，AB＝AC＝4cm，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）填空：連接DF．①當(dāng)∠BAC＝______度時(shí)，△CDF是等邊三角形；②當(dāng)時(shí)，弦AF＝______cm．8.（2022平頂山一模）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB＝10．點(diǎn)C是半圈O上一點(diǎn)，連接AC，BC，作OF⊥AC，垂足為F．過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于D，交OF的延長(zhǎng)線于E，連接AE．（1）求證∶AE是半圓O的切線；（2）①連接OC，當(dāng)AC＝CD時(shí)，△OBC的形狀是______；②若BC＝6，則線段CD＝______9.（2022鶴壁一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，AB是的直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)C，并連結(jié)CD，且．（1）求證：CD是切線；（2）若，填空；①_________；②線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)________10、如圖，是的直徑，切于點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，．（1）求證：直線為切線；（2）若直徑的長(zhǎng)為4．①當(dāng)________時(shí)，四邊形為正方形；②當(dāng)________時(shí)，四邊形為菱形．11、如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點(diǎn)P，過(guò)A作直線AC⊥PC交⊙O于另一點(diǎn)D，連接PA、PB．（1）求證：AP平分∠CAB；（2）若P是直徑AB上方半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為2，則①當(dāng)弦AP的長(zhǎng)是2時(shí)，以A，O，P，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形；②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是π或π時(shí)，以A，D，O，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．12、如圖，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，CM交⊙O于點(diǎn)D．（1）求證：AM＝AC；（2）填空：①若AC＝3，MC＝；②連接BM，當(dāng)∠AMB的度數(shù)為時(shí)，四邊形AMBC是菱形．13、如圖，已知D是⊙O上一點(diǎn)，AB是直徑，∠BAD的平分線交⊙O于點(diǎn)E，⊙O的切線BC交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接OD，CD．（1）求證：CD⊥OD．（2）若AB＝2，填空：①當(dāng)CE＝時(shí)，四邊形BCDO是正方形．②作△AEO關(guān)于直線OE對(duì)稱的△FEO，連接BF，BE，當(dāng)四邊形BEOF是菱形時(shí)，求CE的長(zhǎng)．14、在中，,以AC為直徑的半圓O交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作圓O的切線，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半圓上異于點(diǎn)D的任一動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：；（2）填空：①若，則四邊形的面積為_(kāi)_______；②當(dāng)?shù)亩葦?shù)是_______時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．15、如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作⊙O切線AP，點(diǎn)C是射線AP上的動(dòng)點(diǎn)，連接CO交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BDCO，交⊙O于點(diǎn)D，連接DE、OD、CD．（1）求證：CA＝CD；（2）填空：①當(dāng)∠ACO的度數(shù)為時(shí)，四邊形EOBD是菱形．②若BD＝m，則當(dāng)AC＝（用含m的式子表示）時(shí)，四邊形ACDO是正方形．2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題十二：與圓有關(guān)的特殊圖形的動(dòng)態(tài)探究方法點(diǎn)睛探究線段的長(zhǎng)度或角度判定特殊四邊形的方法方法一：①假設(shè)四邊形為特殊四邊形；②在圖中找出對(duì)應(yīng)線段或?qū)?yīng)角度所在的位置，并作出與之相關(guān)的特殊四邊形；③根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)建立數(shù)學(xué)模型，列出等式進(jìn)行求解．通過(guò)菱形四邊相等和對(duì)角線垂直的性質(zhì)，或矩形四個(gè)角為直角和對(duì)角線相等的性質(zhì)，或正方形的四個(gè)角都是直角、四邊相等和對(duì)角線相等的性質(zhì)把所求線段或角度轉(zhuǎn)化到直角三角形中，再結(jié)合已知條件，求出相關(guān)線段或角度的長(zhǎng)度，利用勾股定理或銳角三角函數(shù)建立等量關(guān)系式進(jìn)行求解；④檢驗(yàn)所求線段或角度的長(zhǎng)度是否滿足題意．方法二：先判斷動(dòng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，幾何圖形為特殊圖形；再結(jié)合題干信息和特殊圖形判定，證明動(dòng)點(diǎn)所在位置是特殊圖形；最后根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)進(jìn)行求解．典例分析例1：（2022河南濟(jì)源一模）如圖，為的直徑，過(guò)圓外一點(diǎn)作切線、，交于點(diǎn)和點(diǎn)，連接、和．

（1）求證．（2）填空：①當(dāng)________時(shí)，四邊形為菱形；②當(dāng)________時(shí)，四邊形為正方形．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①30；②22.5．【解析】【分析】（1）首先證明Rt△COP≌Rt△BOP得∠COP=∠BOP，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，從而得出∠OCA=∠COP，即可得出結(jié)論；（2）①由四邊形CAOD是菱形得CD=OD，進(jìn)而得到△OCD是等邊三角形，從而有∠OCD=60°，于是可得∠PCD=∠OCP-∠OCD=30°；②由四邊形COBP是正方形可得∠COP=45°，又由OC=OD得∠OCD=67.5°，從而有∠PCD=22.5°．【小問(wèn)1詳解】解：PC，PB為的切線，∠OCP=∠OBP=90°，又OC=OB，OP=OP，Rt△COP≌Rt△BOP，∠COP=∠BOP，∠OAC+∠OCA=∠COB=2∠COP，OA=OC，∠OAC=∠OCA，2∠OCA=2∠COP，∠OCA=∠COP，，【小問(wèn)2詳解】解：①四邊形CAOD是菱形，CD=OD，又OC=OD，OC=OD=CD，△OCD是等邊三角形，∠OCD=60°，∠PCD=∠OCP-∠OCD=90°-60°=30°，故答案為：30．②四邊形COBP是正方形，∠COP=45°.又OC=OD，∠OCD=∠ODC=(180°-∠COD)=(180°-45°)=67.5°，∠PCD=∠OCP-∠OCD=90°-67.5°=22.5°，故答案為：22.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)以及菱形及正方形的判定及性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．專題過(guò)關(guān)1.（2022河南虞城二模）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BC為弦，CE切⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，F(xiàn)D的延長(zhǎng)線交弧BC于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)E．（1）求證：EC＝ED．（2）若⊙O的半徑為6，∠ABC＝30°．①當(dāng)點(diǎn)F為OB的中點(diǎn)時(shí)，CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____；②當(dāng)弧CG的長(zhǎng)為_(kāi)_____時(shí)，四邊形OCGB為菱形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②【解析】【分析】（1）連接OC，由切線的性質(zhì)可證∠OCB＋∠BCE＝90°，由直角三角形兩銳角互余可證∠B＋∠BDF＝90°，再由對(duì)頂角相等，進(jìn)而可證結(jié)論成立；（2）①證明△CDE是等邊三角形，可證CE=CD．證明△OBG是等邊三角形，可證∠OHB=90°，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識(shí)求出BH、BD的長(zhǎng)即可求解；②由弧長(zhǎng)公求出∠COG=60°，可證△OCG是等邊三角形，結(jié)合△OBG是等邊三角形，可證四邊形OCGB為菱形．【小問(wèn)1詳解】證明：連接OC，∵CE為⊙O的切線，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，即∠OCB＋∠BCE＝90°．∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵DF⊥AB，∴∠B＋∠BDF＝90°，∵∠BDF＝∠EDC，∴∠OCB＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠BCE，∴EC＝ED．【小問(wèn)2詳解】解：①連接OG，BG，∵DF⊥AB，∠ABC＝30°，∴∠CDE=∠BDF=60°，∵EC=ED，∴△CDE是等邊三角形，∴CE=CD．∵DF⊥AB，點(diǎn)F為OB的中點(diǎn)，∴EF垂直平分OB，∴OG=BG．∵OG=OB，∴△OBG是等邊三角形，∴∠BOG=60°．∵∠ABC＝30°，∴∠OHB=90°，∴，∴BC=．在Rt△BDF中，BD=BF÷cos30°=，∴CE=CD=-=；②當(dāng)弧CG的長(zhǎng)為2π時(shí)，四邊形OCGB為菱形．連接OC，CG，∵，∴∠COG=60°．∵OC=OG，∴△OCG是等邊三角形，∵△OBG是等邊三角形，∴CG=CO=OB=BG，∴四邊形OCGB為菱形．故答案為：①；②．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，解直角三角形，以及扇形的弧長(zhǎng)公式，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2.（2022河南商城二模）如圖，PA和PB是的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在PB和PA上，且．

（1）求證：（2）若，當(dāng)是多少度時(shí)，？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）若，當(dāng)__________時(shí)，四邊形DEPF為菱形．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）70°，理由見(jiàn)解析（3）60°【解析】【分析】（1）連接AO、BO、OP，根據(jù)切線的性質(zhì)及全等三角形的判定證明△APO≌△BPO，即可求解；（2）由（1）得到AP=BP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠PAB＝∠PBA＝70°，證明△AFD≌△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFD＝∠BDE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，得到答案；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)證明BD=BE=DE，得到△BDE是等邊三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求解．【小問(wèn)1詳解】連接AO、BO、OP，

∵PA和PB是的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP=∠OBP=90°，又∵AO=BO，OP=OP，∴△APO≌△BPO（HL），∴AP=BP；小問(wèn)2詳解】當(dāng)是70度時(shí)，，證明如下：由（1）可得PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°?40°）＝70°，在△AFD和△BDE中，，∴△AFD≌△BDE（SAS）∴∠AFD＝∠BDE，∴∠EDF＝180°?∠BDE?∠ADF＝180°?∠AFD?∠ADF＝∠FAD＝70°，故是70度時(shí)，．【小問(wèn)3詳解】如圖，

當(dāng)四邊形DEPF為菱形時(shí)，∠APD=∠BPD，EP=DE=DF=PF，∵AP=BP，DP=DP，∴△APD≌△BPD（SAS），∴AD=BD，∴DP⊥AB，△BDP是直角三角形，∵DE=EP，∴∠DPE=∠PDE，∴∠DPB+∠DBP=∠PDE+∠BDE=90°，∴∠DBP=∠BDE，∴DE=BE，∵，∴BD=BE=DE，∴△BDE是等邊三角形，∴∠DBE=60°=∠PAD，∴∠APB=180°-∠DBE-∠PAD=60°，故答案為：60°．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．3.（2022河南新野一模）如圖，AB是的直徑，D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作的切線，交BC于點(diǎn)E，連接OD．（1）求證：；（2）填空：①當(dāng)___________°時(shí)，四邊形OBED是正方形．②連接OE交于點(diǎn)F，連接DF，當(dāng)時(shí)，四邊形ADFO是_________．（填形狀）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①90；②菱形【解析】【分析】（1）連接BD，由圓周角定理得出∠ADB=∠BDC=90°，由切線長(zhǎng)定理得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DBE=∠BDE，再由三角形內(nèi)角和定理得出，即可得出結(jié)論；（2）①先證明四邊形OBED是矩形，由OB=OD，即可得出四邊形OBED為正方形；②證出△AOD是等邊三角形，再證出△ODF是等邊三角形，最后得出四邊形ADFO是菱形．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接．∵是的直徑，，∴是的切線．∵DE是的切線，∴，∴．∵AB是的直徑，∴，∴，，∴，∴．∵，∴．【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)90°時(shí)，四邊形OBED是正方形，∵由（1）得∠ADE=∠ODE=90°，且90°∴四邊形OBED是矩形，又∵OB=OD，∴四邊形OBED為正方形，故答案為：90；②∵，OA=AD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠ADO=60°，∵OA=OB，BE=CE，∴OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=60°，∵OD=OF，∴△ODF是等邊三角形，∴AO=OF=DF=AD，∴四邊形ADFO是菱形，故答案為：菱形．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2022河南輝縣一模）如圖，已知⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C、D分別為⊙O上的兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，⊙O的切線DF與直線AF交于點(diǎn)F，且AF過(guò)點(diǎn)C，連接BD、AD．（1）求證：CF＝BE；（2）填空：①當(dāng)AD＝時(shí)，四邊形AODC是菱形；②當(dāng)AD＝時(shí)，四邊形AEDF是正方形．【19~20題答案】【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②【解析】【分析】（1）連接、，由切線性質(zhì)得到，由圓周角定理得到，從而，由角平分線性質(zhì)得到，利用三角形全等得出結(jié)論；（2）①在四邊形為菱形的假設(shè)下，證明四邊形是菱形，從而在等邊三角形中求出，進(jìn)而得出結(jié)果；②在四邊形為正方形的假設(shè)下，是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)果．【小問(wèn)1詳解】證明：連接OD，CD，如圖所示：是⊙O的切線，，是⊙O的直徑，，，，，，，CD＝BD，，，，又，，，，由角平分線的性質(zhì)可得，在與中，，；【小問(wèn)2詳解】解：①若四邊形為菱形，連接交于，如圖所示：，且，四邊形為平行四邊形，，四邊形是菱形，、和都是等邊三角形，；②若四邊形為正方形，如圖所示：，是等腰直角三角形，．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合問(wèn)題，考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用是解決此類綜合的關(guān)鍵．5.（2022南陽(yáng)唐河一模）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，且C為線段AB的中點(diǎn)，直線AO與⊙O交于點(diǎn)E和點(diǎn)D，OB與⊙O交于點(diǎn)F，連接DF，DC．（1）求證：∠CDF＝∠CDE；（2）①若DE＝10，DF＝8，則CD＝；②連接CO，CF，當(dāng)∠B的度數(shù)為時(shí)，四邊形ODFC是菱形．【19題答案】【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②30°【解析】【分析】（1）連接OC．由切線的性質(zhì)得∠OCA＝90°，由C為線段AB的中點(diǎn)得出OC垂直平分線段AB，則OA＝OB，得∠AOC＝∠BOC，由圓周角定理即可得出結(jié)論；（2）①連接OC，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥DF于N，延長(zhǎng)DF交AB于M，先求出DN＝NF＝DF＝4，由勾股定理得，易證∠CDF＝∠OCD，得OC∥DF，則∠OCM＋∠CMN＝180°，求出∠CMN＝90°，證得四邊形OCMN是矩形，得出ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，DM＝9，由勾股定理即可得出結(jié)果；②易證△OCF是等邊三角形，則∠COB＝60°，由∠OCB＝90°，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接OC．如圖1所示：∵AB是⊙O的切線，∴∠OCA＝90°，∵C為線段AB的中點(diǎn)，∴OC垂直平分線段AB，∴OA＝OB，∴∠AOC＝∠BOC，∵∠CDF∠BOC，∠CDE∠AOC，∴∠CDF＝∠CDE；（2）解：①連接OC，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥DF于N，延長(zhǎng)DF交AB于M，如圖2所示：∵ON⊥DF，OD＝OF，DF＝8，∴DN＝NFDF＝4，∵DE＝10，∴OD＝5，在Rt△OND中，由勾股定理得：ON3，∵OC＝OD，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠CDF＝∠CDE，∴∠CDF＝∠OCD，∴OC∥DF，∴∠OCM+∠CMN＝180°，∵∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°，∵∠ONM＝90°，∴四邊形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，∴DM＝DN+MN＝4+5＝9，在Rt△CMD中，由勾股定理得：CD3，故答案為：3；②如圖3所示：∵四邊形ODFC是菱形，∴OC＝CF，∵OC＝OF，∴△OCF是等邊三角形，∴∠COB＝60°，∵∠OCB＝90°，∴∠B＝30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題，考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握?qǐng)A周角定理、切線的性質(zhì)和矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.（2022信陽(yáng)三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝45°，以AB為直徑作⊙O，分別與AC，BC相交于點(diǎn)E，D，連接DE，BE，點(diǎn)F從點(diǎn)A出發(fā)，在直徑AB的上方沿以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接AF，BF．設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）填空：①當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形AEBF為正方形．②當(dāng)t＝s時(shí)，S△ABFS△ABE．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①；②或【解析】【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC=∠DEC，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠F=∠AEB=90°，求得AE=BE，推出△AFB是等腰直角三角形，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到的長(zhǎng)為，于是得到結(jié)論；②根據(jù)三角形的面積公式得到S△ABE=×AB2=9，連接OF，過(guò)FH⊥AB于H，求得FH=，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到∠FOA=30°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠ABC+∠DEA=180°，∵∠DEA+∠DEC=180°，∴∠ABC=∠DEC，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△DEC；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)t=πs時(shí)，四邊形AEBF為正方形，∵AB為⊙O直徑，∴∠F=∠AEB=90°，∵∠BAE=45°，∴∠ABE=∠BAE=45°，∴AE=BE，∵四邊形AEBF是正方形，∴∠FAE=90°，∴∠BAF=45°，∴△AFB是等腰直角三角形，∴，∵AB=6cm，∴OA=3cm，∴的長(zhǎng)為，∵點(diǎn)F的速度為1cm/s，∴t=，故當(dāng)t=s時(shí)，四邊形AEBF為正方形，故答案為：；②當(dāng)t=πs或πs時(shí)，S△ABF=S△ABE．∵△ABE是等腰直角三角形，∴S△ABE=×AB2=9，連接OF，過(guò)FH⊥AB于H，∵S△ABF=S△ABE．∴AB?FH=×6FH=，∴FH=，∴sin∠FOH=，∴∠FOA=30°，∴，∴t=π，當(dāng)時(shí)，∠AOF=150°，∴的長(zhǎng)=，∴t=，綜上所述，當(dāng)t=πs或s時(shí)，S△ABF=S△ABE．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7.（2022河南輝縣二模）如圖所示，在銳角△ABC中，AB＝AC＝4cm，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）填空：連接DF．①當(dāng)∠BAC＝______度時(shí)，△CDF是等邊三角形；②當(dāng)時(shí)，弦AF＝______cm．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①60；②【解析】【分析】（1）連接OD，先證明∠ACB＝∠ODB，則AC∥OD．再由DE⊥AC，可知DE⊥OD；（2）①如圖所示，連接OF，DF，證明△ABC等邊三角形，得到∠B=∠C=∠A=60°，AB=BC，再證△OAF和△OBD都是等邊三角形，得到∠DOF=60°，CD=BD=OB=OF，最后證明△DOF是等邊三角形，得到DF=OF=CD，則△CDF是等邊三角形；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC交AC于G，交圓O于H，由垂徑定理可知，則∠AOG=∠BOD，再證∠A=∠BOD，推出AG=OG，據(jù)此求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：連接OD．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠OBD．∴∠ACB＝∠ODB．∴AC∥OD．∵DE⊥AC，∴DE⊥OD．∵OD是⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切．【小問(wèn)2詳解】解：①當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，△CDF是等邊三角形，理由如下：如圖所示，連接OF，DF，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，AB=BC，∵OA=OF，OB=OD，∴△OAF和△OBD都是等邊三角形，∴∠AOF=∠BOD=60°，，∴∠DOF=60°，CD=BD=OB=OF，又∵OF=OD，∴△DOF是等邊三角形，∴DF=OF=CD，∴△CDF是等邊三角形；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC交AC于G，交圓O于H，∴，，∴∠AOG=∠BOD，由（1）得，∴∠A=∠BOD，∴∠A=∠AOG，∴AG=OG，在Rt△AOG中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8.（2022平頂山一模）如圖，AB是半圓O的直徑，且AB＝10．點(diǎn)C是半圈O上一點(diǎn)，連接AC，BC，作OF⊥AC，垂足為F．過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于D，交OF的延長(zhǎng)線于E，連接AE．（1）求證∶AE是半圓O的切線；（2）①連接OC，當(dāng)AC＝CD時(shí)，△OBC的形狀是______；②若BC＝6，則線段CD＝______【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①等邊三角形；②【解析】【分析】（1）連接OC，用“SSS”證明，可得，從而得出AE是半圓O的切線；（2）①根據(jù)AC=CD可知，，為的外角，則，根據(jù)，得出，從而得出，從而得出為等邊三角形；②證明，由三角形相似的性質(zhì)得出CD的值即可．【小問(wèn)1詳解】連接OC，如圖所示：∵DE切半圓O于點(diǎn)C，∴，即，又∵，∴，即OF垂直平分AC，∴，又∵，，∴，∴，∵OA為圓O的半徑∴AE是半圓O的切線．【小問(wèn)2詳解】①∵DC為半圓O的切線，∴OC⊥DE，∴，∵OC=OB，∴△OCB為等腰三角形，∵AC=CD可知，∴，∵OA=OC，∴，∴，∵，∴，∴△OCB為等邊三角形，故答案為：等邊三角形；②∵AB是直徑，∴，∵AB=10，BC=6，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定，切線的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9.（2022鶴壁一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，AB是的直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)C，并連結(jié)CD，且．（1）求證：CD是切線；（2）若，填空；①_________；②線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)________【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①30°；②【解析】【分析】（1）連結(jié)OD，證明即可得到結(jié)論；（2）①連接OE，BE，可得是等邊三角形，由圓周角定理可得結(jié)論；②同理可得是等邊三角形，得，，OC=6，由勾股定理可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】連結(jié)OD，如圖所示：是的直徑，，又，，，，，且OD為的半徑，是的切線．【小問(wèn)2詳解】①連接OE，BE，∵，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∴BE=DE=3，∴BE=OE=BO=OD=DE，∴是等邊三角形，，∴，∵，故答案為：30°；②∵OE=OD=DE，∴是等邊三角形，∴，∴，又，∴,∴，由勾股定理得，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，熟記切線的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．10、如圖，是的直徑，切于點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，兩點(diǎn)重合），連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，，．（1）求證：直線為切線；（2）若直徑的長(zhǎng)為4．①當(dāng)________時(shí)，四邊形為正方形；②當(dāng)________時(shí)，四邊形為菱形．詳解】（1）證明：∵切于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，，而，∴，∴，在和中，∴．∴．∴直線為切線；（2）①如下圖所示∵四邊形OBQP是正方形∴OP⊥AB∴點(diǎn)O與點(diǎn)E重合∴EP=OP∵直徑AB=4∴OP=EP=2②如下圖∵四邊形AEOP是菱形∴AO⊥EP，且AC=CO，EC=CP∵直徑AB=4∴OP=2，CO=1∴在Rt△PCO中，CP=∴EP=．11、如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點(diǎn)P，過(guò)A作直線AC⊥PC交⊙O于另一點(diǎn)D，連接PA、PB．（1）求證：AP平分∠CAB；（2）若P是直徑AB上方半圓弧上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑為2，則①當(dāng)弦AP的長(zhǎng)是2時(shí)，以A，O，P，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形；②當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是π或π時(shí)，以A，D，O，P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【解答】（1）證明：∵PC切⊙O于點(diǎn)P，∴OP⊥PC，∵AC⊥PC，∴AC∥OP，∴∠1＝∠3，∵OP＝OA，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AP平分∠CAB；（2）解：①當(dāng)∠AOP＝90°，四邊形AOPC為矩形，而OA＝OP，此時(shí)矩形AOPC為正方形，AP＝OP＝2；②當(dāng)AD＝AP＝OP＝OD時(shí)，四邊形ADOP為菱形，△AOP和△AOD為等邊三角形，則∠AOP＝60°，的長(zhǎng)度＝＝π．當(dāng)AD＝DP＝PO＝OA時(shí)，四邊形ADPO為菱形，△AOD和△DOP為等邊三角形，則∠AOP＝120°，的長(zhǎng)度＝＝π．故答案為2，π或π．12、如圖，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線，交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，CM交⊙O于點(diǎn)D．（1）求證：AM＝AC；（2）填空：①若AC＝3，MC＝；②連接BM，當(dāng)∠AMB的度數(shù)為時(shí)，四邊形AMBC是菱形．【詳解】（1）證明：連接OA，如圖1：∵AM是⊙O的切線，∴∠OAM＝90°，∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOM＝60°，∴∠M＝30°，∴∠OCA＝∠M，∴AM＝AC；（2）解：①作AG⊥CM于G，如圖2：∵∠OCA＝30°，AC＝3，∴AG＝AC＝，∴CG＝AG＝，則MC＝2CG＝3；故答案為：3．②當(dāng)∠AMB的度數(shù)為60°時(shí)，四邊形AMBC是菱形；利用反證法求證如下：如圖3：假設(shè)：當(dāng)∠AMB時(shí)，四邊形AMBC是菱形．∵四邊形AMBC是菱形，CM、AB是對(duì)角線∴∴與假設(shè)中∠AMB矛盾故原假設(shè)不成立∴當(dāng)∠AMB的度數(shù)為60°時(shí)，四邊形AMBC是菱形13、如圖，已知D是⊙O上一點(diǎn)，AB是直徑，∠BA