第4章《等可能條件下的概率》知識(shí)講練(學(xué)生版+解析)

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01：等可能性一般地，設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè)，它們都是隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn).如果每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，那么我們說(shuō)這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性.知識(shí)點(diǎn)02：等可能條件下的概率1.等可能條件下的概率一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個(gè)結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=（其中m是指事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n是指所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)）.當(dāng)一個(gè)隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，且具有等可能性時(shí)，只需列出一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果，就可以求出某個(gè)事件發(fā)生的概率.2.等可能條件下的概率的求法一般地，等可能性條件下的概率計(jì)算方法和步驟是：（1）列出所有可能的結(jié)果，并判定每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都相等；（2）確定所有可能發(fā)生的結(jié)果的個(gè)數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件的結(jié)果個(gè)數(shù)m；（3）計(jì)算所求事件發(fā)生的可能性：P（所求事件）=.知識(shí)點(diǎn)03：用列舉法計(jì)算概率常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹(shù)狀圖法.1.列表法當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.細(xì)節(jié)剖析：（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.2.樹(shù)狀圖當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖，也稱樹(shù)形圖、樹(shù)圖.樹(shù)形圖是用樹(shù)狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.細(xì)節(jié)剖析：(1)樹(shù)狀圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；(2)在用樹(shù)狀圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?宿豫區(qū)期末）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球、3個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出1個(gè)球，則摸到球的概率最大的是（）A．白球 B．黑球 C．紅球 D．黃球2．（2分）（2023?鹽城一模）一個(gè)小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）A． B． C． D．3．（2分）（2023?連云港）如圖是由16個(gè)相同的小正方形和4個(gè)相同的大正方形組成的圖形，在這個(gè)圖形內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．4．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美，太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化，對(duì)稱統(tǒng)一的形式美和諧美．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，現(xiàn)隨機(jī)向正方形內(nèi)置一枚小針則針尖落入黑色區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．5．（2分）（2023?射陽(yáng)縣校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以點(diǎn)A為圓心，分別以線段AC、AD、AB為半徑畫同心圓，記以AC為半徑的圓為區(qū)域Ⅰ，CD所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅱ，DB所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅲ．現(xiàn)在此圖形中隨機(jī)撒一把豆子，統(tǒng)計(jì)落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)．若大量重復(fù)此實(shí)驗(yàn)，則（）A．豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在區(qū)域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在區(qū)域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同6．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）如圖，小明隨機(jī)地在對(duì)角線為6cm和8cm的菱形區(qū)域內(nèi)投針，則針扎到其內(nèi)切圓區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．7．（2分）（2022秋?泗陽(yáng)縣期末）從甲，乙，丙三人中任選兩名代表，甲被選中的可能性是（）A． B． C． D．8．（2分）（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期中）小明隨機(jī)地在如圖所示的圓及其內(nèi)部區(qū)域投針，則針扎到其內(nèi)接等邊三角形（陰影）區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．9．（2分）（2018秋?玄武區(qū)期中）如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，被分成了白色和紅色兩個(gè)區(qū)域，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（若指針停在邊界處，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），指針落在紅色區(qū)域內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．10．（2分）（2020秋?射陽(yáng)縣期末）我們研究過(guò)的圖形中，圓的任何一對(duì)平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖．有如下四個(gè)結(jié)論：①勒洛三角形是中心對(duì)稱圖形；②使用截面是勒洛三角形的滾木來(lái)搬運(yùn)東西，不會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)；③圖2中，等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則勒洛三角形的周長(zhǎng)為2π；④圖3中，在△ABC中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自勒洛三角形DEF部分的概率為．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?蘇州一模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．假設(shè)飛鏢擊中游戲板的每一處是等可能的（擊中邊界或沒(méi)有擊中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是．?12．（2分）（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，現(xiàn)隨機(jī)向正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率為．13．（2分）（2023?洪澤區(qū)二模）如圖，正方形中所有的小三角形都全等，一只螞蟻在正方形內(nèi)部隨機(jī)爬行，則它停在陰影部分的概率為．?14．（2分）（2023?東臺(tái)市一模）不透明袋子中裝有3個(gè)黑球、5個(gè)白球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，“摸出黑球”的概率是．15．（2分）（2023?蘇州一模）如圖所示游戲板中每一個(gè)小正方形除顏色外都相同，把游戲板平放到露天地面上，落在該游戲板上的第一滴雨正好打中陰影部分的概率是．16．（2分）（2023春?泰州期末）袋中裝有8個(gè)小球，顏色為紅、白、黑，每個(gè)球除顏色外其它都相同，將球搖勻，從中任意摸出一個(gè)球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一樣，則紅球和白球共有個(gè)．17．（2分）（2023?姜堰區(qū)一模）如圖，小明制作了一個(gè)含內(nèi)接正三角形的圓形標(biāo)靶，圖中的陰影部分是正三角形的內(nèi)切圓，小明隨意向該標(biāo)靶區(qū)域投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．18．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，電路圖上有A、B、C三個(gè)開(kāi)關(guān)和一個(gè)小燈泡，閉合開(kāi)關(guān)C或者同事閉合開(kāi)關(guān)A、B，都可使小燈泡發(fā)光，現(xiàn)在任意閉合其中一個(gè)開(kāi)關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率等于．19．（2分）（2023?高新區(qū)一模）東漢時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)，給出的“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖1，四個(gè)直角三角形是全等的，且直角三角形的長(zhǎng)直角邊與短直角邊之比為2：1，現(xiàn)連接四條線段得到圖2的新的圖案．若隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚針，則針尖落在圖2中陰影區(qū)域的概率為．20．（2分）（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）有六張正面分別標(biāo)有數(shù)0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它們除了數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將卡片上的數(shù)記為a，則使關(guān)于x的方程+2＝有正整數(shù)解的概率為三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?蘇州二模）在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，若從中任意摸出一個(gè)白球的概率是．（1）求任意摸出一個(gè)球是黑球的概率；（2）能否通過(guò)只改變盒子中白球的數(shù)量，使得任意摸出一個(gè)球是紅球的概率，若能，請(qǐng)寫出如何調(diào)整白球數(shù)量；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（6分）（2023?江都區(qū)二模）甲，乙兩個(gè)小區(qū)各有300戶居民，為了解兩個(gè)小區(qū)3月份用戶使用燃?xì)饬壳闆r，小明和小麗分別從中隨機(jī)抽取30戶進(jìn)行調(diào)查，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲小區(qū)用氣量頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：5≤x＜10，10≤x＜15，15≤x＜20，20≤x＜25，25≤x＜30）b．甲小區(qū)用氣量的數(shù)據(jù)在15≤x＜20這一組的是：151516161616181818181819c．甲，乙兩小區(qū)用氣量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：小區(qū)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲17.2m18乙17.71915根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）寫出表中m的值；（2）在甲小區(qū)抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數(shù)為p1．在乙小區(qū)抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數(shù)為p2．比較p1，p2的大小，并說(shuō)明理由；（3）估計(jì)甲小區(qū)中用氣量超過(guò)15立方米的戶數(shù)．23．（8分）（2023?鎮(zhèn)江一模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E、F都是格點(diǎn)．（1）從A、D、E、F四點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，以這點(diǎn)及點(diǎn)B、C為頂點(diǎn)畫三角形，求所畫三角形是等腰三角形的概率；（2）從A、D、E、F四點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)及點(diǎn)B、C為頂點(diǎn)畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率．24．（8分）（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）為了響應(yīng)區(qū)教育局“千師訪萬(wàn)家”的新家庭教育活動(dòng)，某校七年級(jí)3班的語(yǔ)文學(xué)科王老師、數(shù)學(xué)學(xué)科李老師決定分別利用周六上午、周日下午各自家訪一名同學(xué)，本次家訪的對(duì)象為班級(jí)第六組學(xué)習(xí)小伙伴，共有王鵬、李佳、劉丹三位同學(xué)．（1）李佳同學(xué)被王老師選為家訪對(duì)象的概率是：；（2）請(qǐng)利用樹(shù)狀圖或表格的形式求王老師和李老師家訪的是同一個(gè)同學(xué)的概率．25．（8分）（2023春?大豐區(qū)期中）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)紅球、7個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同．（1）若從中任意摸出一個(gè)球，則摸到球的可能性大；（2）如果另外拿紅球和黑球一共6個(gè)放入袋中，你認(rèn)為怎樣放才能讓摸到紅球和摸到黑球的可能性相同．26．（8分）（2023?銅山區(qū)一模）某醫(yī)院醫(yī)生為了研究該院某種疾病的診斷情況，需要調(diào)查來(lái)院就診病人的兩個(gè)生理指標(biāo)x，y，他分別在這種疾病的患者和非患者中，各隨機(jī)選取20人作為調(diào)查對(duì)象，將收集到的數(shù)據(jù)整理后，繪制統(tǒng)計(jì)圖如圖：根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）在這40名被調(diào)查者中，①指標(biāo)x大于0.5的有人；②將20名患者的指標(biāo)y的平均數(shù)記作，方差記作，20名非患者的指標(biāo)y的平均數(shù)記作，方差記作，則，（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）來(lái)該院就診的500名非患者中，估計(jì)指標(biāo)x低于0.3的大約有人；（3）若將“指標(biāo)x低于0.3，且指標(biāo)y低于0.8”作為判斷是否患有這種疾病的依據(jù)，則發(fā)生漏判的概率是多少？27．（8分）（2023?靖江市一模）經(jīng)濟(jì)學(xué)教授張銳在“緩解中小企疫情之困需政策合力”一文中提及：“保護(hù)中小企業(yè)就是保護(hù)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的基石，為疫情之中和疫情之后的中小企業(yè)排憂解難，所有的政策能量供給都應(yīng)當(dāng)不遺余力”．某市計(jì)劃對(duì)該市的中小企業(yè)進(jìn)行財(cái)政補(bǔ)貼，相關(guān)行業(yè)的主管部門為了解該市中小企業(yè)的生產(chǎn)情況?隨機(jī)調(diào)查了100家企業(yè)，得到這些企業(yè)今年第一季度相對(duì)于去年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率y的頻數(shù)分布表．增長(zhǎng)率﹣0.60≤y＜﹣0.40﹣0.40≤y＜﹣0.20﹣0.20≤y＜00≤y＜0.200.20≤y＜0.40企業(yè)數(shù)640201816[各組數(shù)據(jù)的組中值代表各組的實(shí)際數(shù)據(jù)，說(shuō)明：組中值是各小組的兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)的平均數(shù)，如﹣0.60≤y＜﹣0.40的組中值是]（1）以這100個(gè)企業(yè)為樣本，求該市中小企業(yè)今年第一季度相對(duì)于去年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率在0≤y＜0.40范圍內(nèi)的概率；（2）該市有3000家中小企業(yè)，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研?去年該市中小企業(yè)的第一季度平均產(chǎn)值是20萬(wàn)元，若要使一家中小企業(yè)保持良好的經(jīng)營(yíng)狀態(tài)，必須保證其第一季度產(chǎn)值不低于19萬(wàn)元，若要想讓該市增長(zhǎng)率為負(fù)的中小企業(yè)保持良好的經(jīng)營(yíng)狀態(tài)，該市至少應(yīng)準(zhǔn)備多少萬(wàn)元的補(bǔ)貼資金？28．（8分）（2016秋?興化市期中）國(guó)家規(guī)定，中小學(xué)生每天在校體育活動(dòng)時(shí)間不低于1小時(shí)，為了解這項(xiàng)政策的落實(shí)情況，有關(guān)部門就“你某天在校體育活動(dòng)時(shí)間是多少”的問(wèn)題，在某校隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，再根據(jù)活動(dòng)時(shí)間t（小時(shí)）進(jìn)行分組（A組：t＜0.5，B組：0.5≤t＜1，C組：1≤t＜1.5，D組：t≥1.5），繪制成如下兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中信息回答問(wèn)題：（1）此次抽查的學(xué)生數(shù)為人，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）從抽查的學(xué)生中隨機(jī)詢問(wèn)一名學(xué)生，該生當(dāng)天在校體育活動(dòng)時(shí)間低于1小時(shí)的概率是；（3）若當(dāng)天在校學(xué)生數(shù)為1200人，請(qǐng)估計(jì)在當(dāng)天達(dá)到國(guó)家規(guī)定體育活動(dòng)時(shí)間的學(xué)生有人．

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01：等可能性一般地，設(shè)一個(gè)試驗(yàn)的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個(gè)，它們都是隨機(jī)事件，每次試驗(yàn)有且只有其中的一個(gè)結(jié)果出現(xiàn).如果每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，那么我們說(shuō)這n個(gè)事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性.知識(shí)點(diǎn)02：等可能條件下的概率1.等可能條件下的概率一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個(gè)結(jié)果之一出現(xiàn)時(shí)，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=（其中m是指事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n是指所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)）.當(dāng)一個(gè)隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，且具有等可能性時(shí)，只需列出一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的所有結(jié)果，就可以求出某個(gè)事件發(fā)生的概率.2.等可能條件下的概率的求法一般地，等可能性條件下的概率計(jì)算方法和步驟是：（1）列出所有可能的結(jié)果，并判定每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都相等；（2）確定所有可能發(fā)生的結(jié)果的個(gè)數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件的結(jié)果個(gè)數(shù)m；（3）計(jì)算所求事件發(fā)生的可能性：P（所求事件）=.知識(shí)點(diǎn)03：用列舉法計(jì)算概率常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹(shù)狀圖法.1.列表法當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.細(xì)節(jié)剖析：（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗(yàn)的隨機(jī)事件發(fā)生的概率.2.樹(shù)狀圖當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個(gè)或更多個(gè)因素時(shí)，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)形圖，也稱樹(shù)形圖、樹(shù)圖.樹(shù)形圖是用樹(shù)狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.細(xì)節(jié)剖析：(1)樹(shù)狀圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時(shí)，求概率的問(wèn)題；(2)在用樹(shù)狀圖法求可能事件的概率時(shí)，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?宿豫區(qū)期末）一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球、3個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出1個(gè)球，則摸到球的概率最大的是（）A．白球 B．黑球 C．紅球 D．黃球解：袋子中裝有1個(gè)白球，2個(gè)黃球和3個(gè)紅球，其中紅球最多，故摸到紅球的概率最大．故選：C．2．（2分）（2023?鹽城一模）一個(gè)小球在如圖所示的地板上自由滾動(dòng)，并隨機(jī)停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）A． B． C． D．解：觀察這個(gè)圖可知：黑色區(qū)域（5塊）的面積占總面積（9塊）的，則它最終停留在黑磚上的概率是．故選：C．3．（2分）（2023?連云港）如圖是由16個(gè)相同的小正方形和4個(gè)相同的大正方形組成的圖形，在這個(gè)圖形內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．解：設(shè)16個(gè)相同的小正方形的邊長(zhǎng)為a，則4個(gè)相同的大正方形的邊長(zhǎng)為1.5a，∴點(diǎn)P落在陰影部分的概率為＝，故選：B．4．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美，太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化，對(duì)稱統(tǒng)一的形式美和諧美．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，現(xiàn)隨機(jī)向正方形內(nèi)置一枚小針則針尖落入黑色區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則正方形的內(nèi)切圓的半徑為a，所以針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率＝＝．故選：D．5．（2分）（2023?射陽(yáng)縣校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以點(diǎn)A為圓心，分別以線段AC、AD、AB為半徑畫同心圓，記以AC為半徑的圓為區(qū)域Ⅰ，CD所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅱ，DB所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅲ．現(xiàn)在此圖形中隨機(jī)撒一把豆子，統(tǒng)計(jì)落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)．若大量重復(fù)此實(shí)驗(yàn)，則（）A．豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在區(qū)域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在區(qū)域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同解：∵AC：CD：DB＝3：2：1，∴設(shè)AC＝3x，CD＝2x，DB＝x，∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域的面積分別為S1＝π?（3x）2＝9x2π，S2＝π?（5x）2﹣π?（3x）2＝16x2π，S3＝π?（6x）2﹣π?（5x）2＝11x2π，∵S2＞S3＞S1，∴豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最?。蔬x：A．6．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)二模）如圖，小明隨機(jī)地在對(duì)角線為6cm和8cm的菱形區(qū)域內(nèi)投針，則針扎到其內(nèi)切圓區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．解：連接兩對(duì)角線，設(shè)圓與菱形切點(diǎn)為E，∵對(duì)角線為6cm和8cm的菱形，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，BD⊥AC，∴AB＝5cm，由題意可得出：OE⊥AB，∴×EO×AB＝×AO×BO，∴×5×EO＝×3×4，解得：EO＝，∴內(nèi)切圓區(qū)域的面積為：π×（）2＝π（cm2），∵菱形的面積為：×6×8＝24（cm2），∴則針扎到其內(nèi)切圓區(qū)域的概率是：＝．故選：C．7．（2分）（2022秋?泗陽(yáng)縣期末）從甲，乙，丙三人中任選兩名代表，甲被選中的可能性是（）A． B． C． D．解：選兩名代表共有以下情況：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三種情況．故甲被選中的可能性是．故選：A．8．（2分）（2022秋?海陵區(qū)校級(jí)期中）小明隨機(jī)地在如圖所示的圓及其內(nèi)部區(qū)域投針，則針扎到其內(nèi)接等邊三角形（陰影）區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．解：設(shè)扎到陰影區(qū)域的正三角形的概率為P，圓的半徑為R，記圓的圓心為點(diǎn)O，過(guò)O作OD⊥BC于D，連接OA，OB，OC，∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA，∴∠BOC＝＝120°，∵OB＝OC，∴∠BOD＝×120°＝60°，∴∠OBD＝30°，∵OB＝R，∴OD＝，BD＝OBcos30°＝R，∴BC＝2BD＝R，∴S△BOC＝BC?OD＝，∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∴△AOB≌△BOC≌△COA（SAS），∴S△AOB＝S△BOC＝S△COA，∴S△ABC＝3S△BOC＝，∵S圓＝πR2，∴P＝＝．故選：C．9．（2分）（2018秋?玄武區(qū)期中）如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，被分成了白色和紅色兩個(gè)區(qū)域，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（若指針停在邊界處，則重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤），指針落在紅色區(qū)域內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．解：指針落在紅色區(qū)域內(nèi)的概率是＝，故選：C．10．（2分）（2020秋?射陽(yáng)縣期末）我們研究過(guò)的圖形中，圓的任何一對(duì)平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖．有如下四個(gè)結(jié)論：①勒洛三角形是中心對(duì)稱圖形；②使用截面是勒洛三角形的滾木來(lái)搬運(yùn)東西，不會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)；③圖2中，等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則勒洛三角形的周長(zhǎng)為2π；④圖3中，在△ABC中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自勒洛三角形DEF部分的概率為．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④解：①勒洛三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故①錯(cuò)誤；②夾在平行線之間的勒洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變，使用截面是勒洛三角形的滾木來(lái)搬運(yùn)東西，不會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)，故②正確；③∵等邊三角形DEF的邊長(zhǎng)為2，∴勒洛三角形的周長(zhǎng)＝3×＝2π，故③正確；④如圖，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2，則正三角形DEF的邊長(zhǎng)為1，以D為圓心的扇形面積是＝，△DEF的面積是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面積為3個(gè)扇形面積減去2個(gè)正三角形面積，即圖中勒洛三角形面積為3×（﹣）+＝，△ABC的面積為，∴所求概率為＝，故④錯(cuò)誤；故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?蘇州一模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．假設(shè)飛鏢擊中游戲板的每一處是等可能的（擊中邊界或沒(méi)有擊中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是．?解：∵共有16小正方形，其中陰影部分為4個(gè)小正方形，∴任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是＝．故答案為：．12．（2分）（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，現(xiàn)隨機(jī)向正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率為．解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則正方形的內(nèi)切圓的半徑為a，所以針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率＝＝．故答案為．13．（2分）（2023?洪澤區(qū)二模）如圖，正方形中所有的小三角形都全等，一只螞蟻在正方形內(nèi)部隨機(jī)爬行，則它停在陰影部分的概率為．?解：∵正方形被等分成16份，其中陰影占6份，∴當(dāng)螞蟻停下時(shí)，停在陰影部分的概率為＝．故答案為：．14．（2分）（2023?東臺(tái)市一模）不透明袋子中裝有3個(gè)黑球、5個(gè)白球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別．從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，“摸出黑球”的概率是．解：∵不透明袋子中裝有3個(gè)黑球、5個(gè)白球，這些球除了顏色外無(wú)其他差別．∴從袋子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，則摸到黑球的概率為＝．故答案為：．15．（2分）（2023?蘇州一模）如圖所示游戲板中每一個(gè)小正方形除顏色外都相同，把游戲板平放到露天地面上，落在該游戲板上的第一滴雨正好打中陰影部分的概率是．解：∵總面積為4×3＝12，其中陰影部分面積為2××2×1+×4×2＝6，∴落在該游戲板上的第一滴雨正好打中陰影部分的概率是＝，故答案為：．16．（2分）（2023春?泰州期末）袋中裝有8個(gè)小球，顏色為紅、白、黑，每個(gè)球除顏色外其它都相同，將球搖勻，從中任意摸出一個(gè)球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一樣，則紅球和白球共有4個(gè)．解：若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一樣，則黑球占；紅球和白球共占．故紅球和白球共有×8＝4個(gè)．故答案我：417．（2分）（2023?姜堰區(qū)一模）如圖，小明制作了一個(gè)含內(nèi)接正三角形的圓形標(biāo)靶，圖中的陰影部分是正三角形的內(nèi)切圓，小明隨意向該標(biāo)靶區(qū)域投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．解：如圖，由題意，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，設(shè)OA＝R，OB＝r，則OA＝2OB，∴外接圓的面積為πR2＝4πr2，內(nèi)切圓面積為πr2，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為，故答案為：．18．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，電路圖上有A、B、C三個(gè)開(kāi)關(guān)和一個(gè)小燈泡，閉合開(kāi)關(guān)C或者同事閉合開(kāi)關(guān)A、B，都可使小燈泡發(fā)光，現(xiàn)在任意閉合其中一個(gè)開(kāi)關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率等于．解：∵閉合開(kāi)關(guān)C或者同時(shí)閉合開(kāi)關(guān)A、B，都可使小燈泡發(fā)光，∴任意閉合其中一個(gè)開(kāi)關(guān)共有3種等可能的結(jié)果，而小燈泡發(fā)光的只有選擇閉合C，∴小燈泡發(fā)光的概率等于：．19．（2分）（2023?高新區(qū)一模）東漢時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)，給出的“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖1，四個(gè)直角三角形是全等的，且直角三角形的長(zhǎng)直角邊與短直角邊之比為2：1，現(xiàn)連接四條線段得到圖2的新的圖案．若隨機(jī)向該圖形內(nèi)擲一枚針，則針尖落在圖2中陰影區(qū)域的概率為．解：如圖2，設(shè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊與短直角邊分別為2x和x，則AC＝x，BD＝x，AB＝CD，△ABD是直角三角形，則大正方形面積＝AC2＝5x2，△ADC面積＝?x?x＝x2，陰影部分的面積S＝5x2﹣4×x2＝3x2，∴針尖落在陰影區(qū)域的概率為＝．故答案為：．20．（2分）（2021?武進(jìn)區(qū)校級(jí)自主招生）有六張正面分別標(biāo)有數(shù)0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它們除了數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將卡片上的數(shù)記為a，則使關(guān)于x的方程+2＝有正整數(shù)解的概率為解：解分式方程得：x＝，∵分式方程的解為正整數(shù)，∴2﹣a＞0，∴a＜2，∴a＝0，1，∵分式方程的解為正整數(shù)，當(dāng)a＝1時(shí)，x＝2不合題意，∴a＝0，∴使關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解的概率為，故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?蘇州二模）在一個(gè)不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，若從中任意摸出一個(gè)白球的概率是．（1）求任意摸出一個(gè)球是黑球的概率；（2）能否通過(guò)只改變盒子中白球的數(shù)量，使得任意摸出一個(gè)球是紅球的概率，若能，請(qǐng)寫出如何調(diào)整白球數(shù)量；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∵紅球3個(gè)，白球5個(gè)，黑球若干個(gè)，從中任意摸出一個(gè)白球的概率是，∴盒子中球的總數(shù)為：5÷＝15（個(gè)），故盒子中黑球的個(gè)數(shù)為：15﹣3﹣5＝7（個(gè)）；∴任意摸出一個(gè)球是黑球的概率為：；（2）∵任意摸出一個(gè)球是紅球的概率為，∴盒子中球的總量為：3÷＝12，∴可以將盒子中的白球拿出3個(gè)．22．（6分）（2023?江都區(qū)二模）甲，乙兩個(gè)小區(qū)各有300戶居民，為了解兩個(gè)小區(qū)3月份用戶使用燃?xì)饬壳闆r，小明和小麗分別從中隨機(jī)抽取30戶進(jìn)行調(diào)查，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲小區(qū)用氣量頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：5≤x＜10，10≤x＜15，15≤x＜20，20≤x＜25，25≤x＜30）b．甲小區(qū)用氣量的數(shù)據(jù)在15≤x＜20這一組的是：151516161616181818181819c．甲，乙兩小區(qū)用氣量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：小區(qū)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲17.2m18乙17.71915根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）寫出表中m的值；（2）在甲小區(qū)抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數(shù)為p1．在乙小區(qū)抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數(shù)為p2．比較p1，p2的大小，并說(shuō)明理由；（3）估計(jì)甲小區(qū)中用氣量超過(guò)15立方米的戶數(shù)．解：（1）將抽取的30戶用氣量從小到大排列，處在中間位置的兩個(gè)數(shù)都是16，因此中位數(shù)是16，即m＝16，答：m＝16；（2）p1＜p2，理由：甲小區(qū)，p1＝6+6+2＝14（戶）；乙小區(qū)中位數(shù)高于平均數(shù)，則p2至少為15戶，∴p1＜p2；（3）由題意得：300×＝180（戶），答：甲小區(qū)中用氣量超過(guò)15立方米約180戶．23．（8分）（2023?鎮(zhèn)江一模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D、E、F都是格點(diǎn)．（1）從A、D、E、F四點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，以這點(diǎn)及點(diǎn)B、C為頂點(diǎn)畫三角形，求所畫三角形是等腰三角形的概率；（2）從A、D、E、F四點(diǎn)中任意取兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)及點(diǎn)B、C為頂點(diǎn)畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率．解：（1）根據(jù)從A、D、E、F四個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有4種可能，只有選取D點(diǎn)時(shí)，所畫三角形是等腰三角形，故P（所畫三角形是等腰三角形）＝；（2）用“樹(shù)狀圖”或利用表格列出所有可能的結(jié)果：∵以點(diǎn)A、E、B、C為頂點(diǎn)及以D、F、B、C為頂點(diǎn)所畫的四邊形是平行四邊形，∴所畫的四邊形是平行四邊形的概率P＝＝．24．（8分）（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）為了響應(yīng)區(qū)教育局“千師訪萬(wàn)家”的新家庭教育活動(dòng)，某校七年級(jí)3班的語(yǔ)文學(xué)科王老師、數(shù)學(xué)學(xué)科李老師決定分別利用周六上午、周日下午各自家訪一名同學(xué)，本次家訪的對(duì)象為班級(jí)第六組學(xué)習(xí)小伙伴，共有王鵬、李佳、劉丹三位同學(xué)．（1）李佳同學(xué)被王老師選為家訪對(duì)象的概率是：；（2）請(qǐng)利用樹(shù)狀圖或表格的形式求王老師和李老師家訪的是同一個(gè)同學(xué)的概率．解：（1）本次家訪的對(duì)象為班級(jí)第六組學(xué)習(xí)小伙伴，共有王鵬、李佳、劉丹三位同學(xué)，共有3種情況，其中李佳同學(xué)被王老師選為家訪對(duì)象只有一種情況，所以李佳同學(xué)被王老師選為家訪對(duì)象的概率是．故答案為：．（2）畫樹(shù)狀圖列出等可能的所有結(jié)果為9種，其中王老師和李老師家訪的是同一個(gè)同學(xué)共3種情況．∴P（王老師和李老師家訪的是同一個(gè)同學(xué)）＝．25．（8分）（2023春?大豐區(qū)期中）一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)紅球、7個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同．（1）若從中任意摸出一個(gè)球，則摸到黑球的可能性大；（2）如果另外拿紅球和黑球一共6個(gè)放入袋中，你認(rèn)為怎樣放才能讓摸到紅球和摸到黑球的可能性相同．解：（1）摸到紅球的可能性為：＝；摸到黑球的可能性為＝．故摸到黑球的概率大．故答案為：黑；（2）放入4個(gè)紅球，2個(gè)黑球．理由如下：∵另外拿紅球和黑球一共6個(gè)放入袋中，∴共有5+7+6＝18個(gè)球，∵摸到紅球和摸到黑球的可能性相同，∴黑球和紅球的數(shù)量相等，∴應(yīng)放入4個(gè)紅球，2個(gè)黑球．26．（8分）（2023?銅山區(qū)一模）某醫(yī)院醫(yī)生為了研究該院某種疾病的診斷情況，需要調(diào)查來(lái)院就診病人的兩個(gè)生理指標(biāo)x，y，他分別在這種疾病的患者和非患者中，各隨機(jī)選取20人作為調(diào)查對(duì)象，將收集到的數(shù)據(jù)整理后，繪制統(tǒng)計(jì)圖如圖：根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）在這40名被調(diào)查者中，①指標(biāo)x大于0.5的有3人；②將20名患者的指標(biāo)y的平均數(shù)記作，方差記作，20名非患者的指標(biāo)y的平均數(shù)記作，方差記作，則＜，＞（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）來(lái)該院就診的500名非患者中，估計(jì)指標(biāo)x低于0.3的大約有100人；（3）若將“指標(biāo)x低于0.3，且指標(biāo)y低于0.8”作為判斷是否患有這種疾病的依據(jù)，則發(fā)生漏判的概率是多少？解：（1）①根據(jù)圖象可得，指標(biāo)x大于0.5的有3人，故答案為：3．②由圖象可得：20名患者的指標(biāo)y的取值范圍是0.1＜y＜0.9，20名非患者的指標(biāo)y的取值范圍是0.4＜y＜1.1，位置相