專題14 一元二次方程的整數(shù)根問題-（原卷版）

專題14一元二次方程的整數(shù)根問題考向1一元二次方程的整數(shù)根問題【母題來源】2021年中考湖北省十堰卷【母題題文】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若該方程的兩個根都是符號相同的整數(shù)，求整數(shù)m的值．解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣2m+5）＞0，解得m＞1所以實數(shù)m的取值范圍為m＞1（2）設(shè)x1，x2是方程的兩根，根據(jù)題意得x1+x2＝4＞0，x1x2＝﹣2m+5＞0，解得m＜52，而m所以m的取值范圍為12＜m當(dāng)m＝1時，方程兩根都是整數(shù)；當(dāng)m＝2時，方程兩根都不是整數(shù)；所以整數(shù)m的值為1．考向2函數(shù)中的一元二次方程整數(shù)根問題【母題來源】2021年中考山東省威海卷【母題題文】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+2mx+2m2﹣m的頂點為A．（1）求頂點A的坐標(biāo)（用含有字母m的代數(shù)式表示）；（2）若點B（2，yB），C（5，yC）在拋物線上，且yB＞yC，則m的取值范圍是；（直接寫出結(jié)果即可）（3）當(dāng)1≤x≤3時，函數(shù)y的最小值等于6，求m的值．解：（1）解法一：y＝x2+2mx+2m2﹣m＝（x+m）2﹣m2+2m2﹣m＝（x+m）2+m2﹣m，∴頂點A（﹣m，m2﹣m），解法二：∵拋物線的對稱軸為直線x=?∴代入關(guān)系式得，y＝（﹣m）2+2m（﹣m）+2m2﹣m＝m2﹣m，∴頂點A（﹣m，m2﹣m），（2）解法一：∵2+52∴當(dāng)對稱軸大于3.5時滿足題意，∴﹣m＞3.5，∴m＜﹣3.5，解法二：∵點B（2，yB），C（5，yC）在拋物線y＝x2+2mx+2m2﹣m上，∴yB＝4+4m+2m2﹣m，yC＝25+10m+2m2﹣m，又∵yB＞yC，∴yB﹣yC＝（4+4m）﹣（25+10m）＞0，解得，m＜﹣3.5，故答案為：m＜﹣3.5；（3）分三種情況討論：①當(dāng)對稱軸x＝﹣m≤1即m≥﹣1時，如圖，當(dāng)x＝1時，y＝6，∴6＝1+2m+2m2﹣m，整理得，2m2+m﹣5＝0，解得，m1=41?1②當(dāng)1＜﹣m≤3即﹣3≤m＜﹣1時，如圖，當(dāng)x＝﹣m，y＝6，∴6＝m2﹣m，整理得，m2﹣m﹣6＝0，解得，m1＝﹣2，m2＝3（舍），∴m＝﹣2，③當(dāng)﹣m＞3即m＜﹣3時，如圖，當(dāng)x＝3時，y＝6，∴6＝9+6m+2m2﹣m，整理得，2m2+5m+3＝0，解得，m1綜上所述：m＝﹣2或m=41【試題解析】（1）利用配方法或者利用對稱軸公式求解即可；（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)對稱軸大于3.5時滿足題意，即可得到答案，或者代入x值，根據(jù)題意計算兩數(shù)差值即可；（3）分三種情況進行討論，對稱軸在1左側(cè)，在1和3之間，在3右側(cè)，然后求出m的值進行取舍即可得到答案．【命題意圖】利用二元一次方程的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解決相關(guān)取值范圍的問題.【命題方向】主要設(shè)問形式為解答題，一般設(shè)置為壓軸題.【得分要點】（1）利用一元二次方程的整數(shù)根進行分析關(guān)鍵點；（2）數(shù)形結(jié)合判斷出取值范圍．1．（2021?甘肅模擬）已知關(guān)于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0．（1）求證：不論m取何值，此方程總有實數(shù)根；（2）若m為整數(shù)，且方程的一個根小于2，請寫出一個滿足條件的m的值．2.（2021?湖北十堰一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若方程的兩根都為整數(shù)，求正整數(shù)m的值．3.（2021?湖北荊州三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在探究函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象和性質(zhì)時，經(jīng)歷了以下探究過程：（1）研究函數(shù)特點：該小組認(rèn)為，可以將該函數(shù)轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的二次函數(shù)來研究，即將絕對值符號去掉，得到分段函數(shù)（每段均為二次函數(shù)），其解析式為（填空）：y＝x2﹣2|x|+3=(（2）畫圖象：在給出的坐標(biāo)系中，分別畫出當(dāng)x≥0時和x＜0時所對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；（要求描出橫坐標(biāo)分別為﹣3，﹣2，﹣1，0．，1，2，3所對應(yīng)的點）（3）研究性質(zhì)：根據(jù)函數(shù)圖象，完成以下問題：①觀察函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象，以下說法正確的有（填寫正確選項的代碼）．A．對稱軸是直線x＝1B．函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象有兩個最低點，其坐標(biāo)分別是（﹣1，2）、（1，2）C．當(dāng)﹣1＜x＜1時，y隨x的增大而增大D．當(dāng)函數(shù)y＝x2﹣2|x|+3的圖象向下平移3個單位長度時，圖象與x軸有三個公共點．②結(jié)合圖象探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)m滿足時，方程x2﹣2|x|+3＝m有