2024-2025學年河南省鄭州市九師聯(lián)盟高三（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年河南省鄭州市九師聯(lián)盟高三（上）開學數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足z(1?i)=i，則z?的虛部為(

)A.12 B.12i C.?2.已知集合A={x|x3?x?7≤0}，B={y∈N|y=?x2A.{0} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{0,1}3.(x?1x)A.?84 B.?28 C.28 D.844.已知雙曲線C：y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)，若圓E：A.233 B.2 C.25.已知a=(2,3)，b=(?4,λ)，若p：a與b的夾角是鈍角，q：λ<83，則p是qA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在銳角△ABC中，記角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=π3，a=2，且sinA?sin(B?C)=sin2B，則△ABCA.33 B.23 C.7.已知圓錐的高與底面半徑之和為3，則當該圓錐的體積取得最大值時，圓錐的側面積為(

)A.25π B.(25+4)π8.已知函數(shù)f(x)=ex?1,x≥0,2x,x<0,，g(x)=kx?1，若關于x的方程f(x)=g(x)有2A.(e} B.[e,+∞) C.(?18,0)∪{e}二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知實數(shù)a，b，c滿足a<b<c，ac<0，則(

)A.ab2<b2c B.110.已知函數(shù)f(x)=sin(2x?π3)，A.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱中心

B.f(x)與g(x)的圖象關于x軸對稱

C.f(x)與g(x)的圖象關于y軸對稱

D.f(x)≥g(x)的解集為[11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為棱AA1的中點，Q為線段A.若A1QQC=2，則D1Q⊥AQ

B.若PE=573，則動點E的軌跡長度為23π9

C.若直線PE與平面BCC1B1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知樣本數(shù)據：11，12，14，a，18(a∈N)的標準差為23，則a=______．13.A，B，C，D共4位同學報名參加學校組織的暑期社會實踐活動，這次社會實踐活動共有：交通安全宣傳，防火知識宣傳，防溺水安全教育，養(yǎng)老院志愿者服務，國情宣傳教育5個項目，每人報且僅報其中一個項目.記事件M為“四名同學所報項目互不相同”，事件N為“僅有A報了防火知識宣傳”，則P(M|N)=______．14.如圖，已知拋物線E：x2=4y點P是E的準線l上一動點，過點P作E的兩條切線，切點分別為M，N，點D為線段MN的中點，連接PD與E交于點G，在點G作E的切線與PM，PN分別交于點S，T，△PST，△PMN的面積分別記為S△PST，S△PMN，則S四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某公司在員工招聘面試環(huán)節(jié)準備了4道面試題，面試者按順序提問，若每位被面試者答對兩道題則通過面試，面試結束；若每位被面試者前三道題均答錯，則不通過面試，面試結束.已知李明答對每道題的概率均為35，且每道題是否答對相互獨立．

(1)求李明沒通過面試的概率；

(2)記李明所答題目的數(shù)量為X，求X的分布列和數(shù)學期望．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2?1x(a∈R)在x=1處取得極值．

(1)求f(x)的單調區(qū)間；

(2)若f(x)≤?x2+bx恒成立，求整數(shù)17.(本小題15分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD為凸四邊形，且PD=AD=CD=4，PA=PC=AC=42，AB=BC．

(1)證明：AC⊥PB；

(2)已知平面APC與平面BPC夾角的余弦值為75718.(本小題17分)

已知橢圓C：x24+y23=1，點A(m,0)(m>0)與C上的點之間的距離的最大值為6．

(1)求點A到C上的點的距離的最小值；

(2)過點A且斜率不為0的直線l交C于M，N兩點(點M在點N的右側)，點N關于x軸的對稱點為T．

①證明：直線MT過定點；19.(本小題17分)

若數(shù)列{an}的相鄰兩項或幾項之間的關系由函數(shù)f(x)確定，則稱f(x)為{an}的遞歸函數(shù).設{an}的遞歸函數(shù)為f(x)=?x2+x．

(1)若0<a1<1，an+1=f(an)(n∈N?)，證明：{an}為遞減數(shù)列；

(2)若an+1=f(an)+5參考答案1.C

2.B

3.D

4.B

5.A

6.D

7.A

8.C

9.BC

10.ABD

11.ABC

12.20

13.3814.1415.解：(1)李明沒通過面試包含前3題有1題答對，第4題答錯和前3題均答錯兩種情況，

故所求概率為C31×35×(25)3+(25)3=112625．

(2)由題意得X的取值為X234P

94436所以E(X)=2×92516.解：(1)由題意得f(x)的定義域為(0,+∞)，f′(x)=1x+2ax+1x2(x>0)，

因為f(x)在x=1處取得極值，

所以f′(1)=1+2a+1=0，解得a=?1，

此時，f′(x)=1x?2x+1x2=?2x3+x+1x2=(1?x)(2x2+2x+1)x2，其中2x2+2x+1>0恒成立，

當x∈(0,1)時，f′(x)>0，當x∈(1,+∞)時，f′(x)<0，

所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(0,1)，單調遞減區(qū)間是(1,+∞)，并且f(x)在x=1處取得極大值．

(2)f(x)≤?x2+bx，即b≥lnxx?1x2，

令g(x)=lnxx?1x2，則b≥g(x)max，g′(x)=1?lnxx2+2x3=1?lnx+2xx2，

令?(x)=1+2x?lnx，則?′(x)=?2x2?1x<0，

所以?(x)在(0,+∞)17.解：(1)證明：因為PD=AD=4，PA=42，

所以PD2+AD2=PA2，所以PD⊥AD，

同理PD⊥CD，又AD∩CD=D，AD，CD?平面ABCD，

所以PD⊥平面ABCD，

因為AC?平面ABCD，所以PD⊥AC，

連接BD，因為AD=CD，AB=BC，DB=DB，

所以△ADB≌△CDB，

所以∠ADB=∠CDB，

又AD=CD，由等腰三角形三線合一，得BD⊥AC，

因為BD∩PD=D，BD，PD?平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，

又PB?平面PBD，

所以AC⊥PB；

(2)因為AD=CD=4，AC=42，

所以AD2+CD2=AC2，

所以AD⊥CD，又PD⊥AD，PD⊥CD，故AD，CD，PD兩兩垂直，

故以D為坐標原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，

則A(4,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，

所以CP=(0,?4,4)，CA=(4,?4,0)，

由(1)知DB平分∠ADC，設B(a,a,0)，所以CB=(a,a?4,0)，

設平面ACP的法向量為m=(x1,y1,z1)，

則m?CP=0m?CA=0，即?4y1+4z1=0,4x1?4y1=0,

令x1=1，得y1=1，z1=1，

所以m=(1,1,1)，

設平面BCP的法向量為n=(x2,y2,z2)，

則n?CP=0,n?CB18.解：(1)設P(x0,y0)是橢圓C上一點，則x024+y023=1，所以y02=3?34x02，

所以PA|=(m?x0)2+y02=14x02?2mx0+m2+3=14(x0?4m)2?3m2+3(?2≤x0≤2)，

因為4m>0，所以當x0=?2時，|PA|max=m2+4m+4=6，

即m2+4m?32=0，解得m=4或m=?8(舍去)，

所以|PA|=14(x0?16)2?45，

所以當x0=2時，|PA|min=2，

即點A到C上的點的距離的最小值為2．

(2)①證明：由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=k(x?4)(k≠0)，

設M(x1,y1)，N(x2,y2)，T(x2,?y2)，

聯(lián)立

y=k(x?4)x24+y23=1，消去y并化簡得(3+4k2)x2?32k2x+64k2?12=0，

所以Δ=(?32k2)2?4(3+4k2)(64k2?12)=144(1?4k2)>019.解：(1)證明：若0<x<1，

顯然f(x)=x(1?x)∈(0,1)，

又0<a1<1，所