2024～2025學(xué)年度八年級數(shù)學(xué)上冊第1課時(shí) 分式的基本性質(zhì)與約分教學(xué)設(shè)計(jì)

15.1.2分式的基本性質(zhì)第1課時(shí)分式的基本性質(zhì)與約分教學(xué)目標(biāo)課題15.1.2第1課時(shí)分式的基本性質(zhì)與約分授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.通過類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，經(jīng)歷分式的基本性質(zhì)的探究過程，感知類比的思想方法，體會由“數(shù)”到“式”的抽象.2.能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分，了解最簡分式的概念，能將分式化為最簡分式. 3.掌握分式的變號法則，并運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變形，提高運(yùn)算能力．教學(xué)重點(diǎn)理解并掌握分式的基本性質(zhì)并利用其進(jìn)行約分．教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式的約分以及運(yùn)用變號法則進(jìn)行分式的恒等變形.教學(xué)活動教學(xué)步驟師生活動活動一：回顧舊知，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖從回顧分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)開始，通過類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，引出活動二分式的基本性質(zhì)，達(dá)到由具體到抽象轉(zhuǎn)化的目的.【回顧導(dǎo)入】教師提問：eq\f(3,4)與eq\f(15,20)相等嗎？eq\f(4,6)與eq\f(2,3)相等嗎？依據(jù)的是什么？答：相等．因?yàn)閑q\f(3,4)＝eq\f(3×5,4×5)＝eq\f(15,20)，即分?jǐn)?shù)eq\f(3,4)的分子、分母同乘5，分?jǐn)?shù)的值不變.eq\f(4,6)＝eq\f(4÷2,6÷2)＝eq\f(2,3)，即分?jǐn)?shù)eq\f(4,6)的分子、分母同除以2，分?jǐn)?shù)的值不變.依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：一個分?jǐn)?shù)的分子、分母乘(或除以)同一個不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變.由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可知，如果數(shù)c≠0，那么eq\f(2,3)＝eq\f(2c,3c)，eq\f(4c,5c)＝eq\f(4,5).教師鼓勵大家嘗試用字母表示分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì).小組討論交流后一起寫出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的字母表達(dá)式.一般地，對于任意一個分?jǐn)?shù)eq\f(a,b)，有eq\f(a,b)＝eq\f(a·c,b·c)，eq\f(a,b)＝eq\f(a÷c,b÷c)(c≠0)，其中a，b，c是數(shù).【教學(xué)建議】教學(xué)中教師也可多設(shè)計(jì)一些分?jǐn)?shù)變形的題目幫助學(xué)生探索.【教學(xué)建議】教師引導(dǎo)學(xué)生思考為什么c≠0.(分母為0無意義)活動二：問題引入，探究新知設(shè)計(jì)意圖采用問答的方式達(dá)到啟發(fā)學(xué)生猜想、探索分式的基本性質(zhì)的目的，并初步嘗試應(yīng)用分式的基本性質(zhì)將分式變形.探究點(diǎn)1分式的基本性質(zhì)問題經(jīng)過上述的探究后，你認(rèn)為分式和分?jǐn)?shù)具有相同的性質(zhì)嗎？你能用語言描述嗎？能用式子表示嗎？其實(shí)，分式的基本性質(zhì)與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)非常接近，只是將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)中的“乘(或除以)同一個不為0的數(shù)”替換成“乘(或除以)同一個不等于0的整式”.概念引入：分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變.用式子表示：eq\f(A,B)＝eq\f(A·C,B·C)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷C,B÷C)(C≠0)，其中A，B，C是整式．【教學(xué)建議】教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意式子eq\f(A,B)＝eq\f(A·C,B·C)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷C,B÷C)中的A，B，C表示的是整式，且整式C不等于0.隨著知識的擴(kuò)充，學(xué)生將會知道A，B，C還可以表示其他式子.教學(xué)步驟師生活動例(教材P129例2)填空：解析：因?yàn)閑q\f(x3,xy)的分母xy除以x才能化為y，為保證分式的值不變，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子也需要除以x，即eq\f(x3,xy)＝eq\f(x3÷x,xy÷x)＝eq\f(x2,y).所以，第一個括號中應(yīng)填x2.同樣地，易得第二個括號中應(yīng)填2x.解析：因?yàn)閑q\f(1,ab)的分母ab乘a才能化為a2b，為保證分式的值不變，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子也需乘a，即eq\f(1,ab)＝eq\f(1·a,ab·a)＝eq\f(a,a2b).所以，第一個括號中應(yīng)填a.同樣地，易得第二個括號中應(yīng)填2ab－b2.想一想：(1)中為什么不給出x≠0，而(2)中卻給出了b≠0？想一想：運(yùn)用分式的基本性質(zhì)應(yīng)注意什么？歸納總結(jié)：【對應(yīng)訓(xùn)練】填空：(1)eq\f(3x2y,5xy2)＝eq\f(3x,（5y）)；(2)eq\f(bn＋n,an＋cn)＝eq\f(（b＋1）,a＋c)；(3)eq\f(b,2ab)＝eq\f(（2ab）,4a2b)；(4)eq\f(x,x＋1)＝eq\f(x2－x,（x2－1）)(x≠1).【教學(xué)建議】教師提示學(xué)生在做這樣的題時(shí)，需根據(jù)分式的基本性質(zhì)，從分子或分母的已知部分入手，觀察等號左右兩邊的分子(母)發(fā)生了怎樣的變化，然后對該分式的分母(子)做出相同的變化.設(shè)計(jì)意圖由于分式的約分和分?jǐn)?shù)的約分是很類似的，所以設(shè)計(jì)這樣一個由分?jǐn)?shù)約分類比得出分式約分的過程，進(jìn)一步滲透類比思想.探究點(diǎn)2約分及最簡分式知識回顧將分?jǐn)?shù)eq\f(24,36)約分.問題1由此分?jǐn)?shù)的約分，結(jié)合探究1的例題你能聯(lián)想到如何對分式進(jìn)行約分嗎？與分?jǐn)?shù)的約分類似，在探究1的例(1)中，我們利用分式的基本性質(zhì)，約去eq\f(3x2＋3xy,6x2)的分子和分母的公因式3x，不改變分式的值，把eq\f(3x2＋3xy,6x2)化為eq\f(x＋y,2x).概念引入：像這樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分.【教學(xué)建議】教學(xué)中應(yīng)提醒學(xué)生找出分子和分母的公因式是約分的第一步．如何找公因式，可讓學(xué)生類比分?jǐn)?shù)約分時(shí)找最大公因數(shù)的方法，從而引導(dǎo)學(xué)生說出找公因式的步驟：(1)找系數(shù)的最大公因數(shù)；(2)找分子、分母相同因式的最低次冪；(3)兩者的乘積即為公因式.教學(xué)步驟師生活動經(jīng)過約分后的分式eq\f(x＋y,2x)，其分子與分母沒有公因式．像這樣分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.例(教材P131例3)約分：(1)eq\f(－25a2bc3,15ab2c)；(2)eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)；(3)eq\f(6x2－12xy＋6y2,3x－3y).解：(1)eq\f(－25a2bc3,15ab2c)＝－eq\f(5abc·5ac2,5abc·3b)＝－eq\f(5ac2,3b)；(2)eq\f(x2－9,x2＋6x＋9)＝eq\f(（x＋3）（x－3）,（x＋3）2)＝eq\f(x－3,x＋3)；(3)eq\f(6x2－12xy＋6y2,3x－3y)＝eq\f(6（x－y）2,3（x－y）)＝2(x－y).問題2結(jié)合上面的例題，你認(rèn)為約分有哪些基本步驟？約分的基本步驟：(1)若分子、分母都是單項(xiàng)式，則約去系數(shù)的最大公因數(shù)，并約去相同字母的最低次冪；(2)若分子、分母含有多項(xiàng)式，則先將多項(xiàng)式分解因式，然后約去分子、分母所有的公因式.問題3由例題中約分后的結(jié)果，你認(rèn)為約分要達(dá)到怎樣的程度？分式的約分，一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得結(jié)果成為最簡分式或整式.【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P132練習(xí)第1題.【教學(xué)建議】在學(xué)生探究的過程中，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生以下幾個方面：(1)學(xué)生是否知道約分是對分子、分母的整體進(jìn)行的，也就是分子的整體和分母的整體都除以同一個因式；(2)找分式的分子、分母的公因式是否徹底，是否考慮了分子、分母中各項(xiàng)的系數(shù)；(3)是否注意到分式的符號的變化；(4)約分結(jié)果是否徹底等.對所出現(xiàn)的問題一定要做好個別指導(dǎo)，最后師生共同討論，給出正確答案，讓學(xué)生對比自己的解答，進(jìn)行必要的反思．師生再一起總結(jié)相應(yīng)約分的基本步驟及約分的結(jié)果是怎樣的.活動三：知識延伸，鞏固升華設(shè)計(jì)意圖加深學(xué)生對分式的基本性質(zhì)的理解，達(dá)到鞏固知識的目的，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.例不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”號.(1)eq\f(－x,5y)；(2)eq\f(－3a,－7b)；(3)－eq\f(10m,－3n).解：(1)eq\f(－x,5y)＝－eq\f(x,5y)；(2)eq\f(－3a,－7b)＝eq\f(3a,7b)；(3)－eq\f(10m,－3n)＝eq\f(10m,3n).歸納總結(jié)：分式eq\f(A,B)本身及其分子、分母這三處的正負(fù)號(在分式前面、上面、下面)中，同時(shí)改變兩處，分式的值不變，即eq\f(A,B)＝－eq\f(－A,B)＝－eq\f(A,－B)＝eq\f(－A,－B).【對應(yīng)訓(xùn)練】教材P133習(xí)題15.1第5題.【教學(xué)建議】事實(shí)上，借助分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)以及分式的基本性質(zhì)，研究分式的變號法則并不困難．教師可以在學(xué)生自己完成例題的基礎(chǔ)上適當(dāng)進(jìn)行歸納，使學(xué)生掌握分式的變號法則.活動四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：1.分式的基本性質(zhì)是什么？2.對分式進(jìn)行約分的依據(jù)是什么？步驟是什么？3.什么是最簡分式？約分的結(jié)果最后要化成什么？4.分式的變號法則是什么？教學(xué)步驟師生活動【知識結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P133習(xí)題15.1第4，6題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書設(shè)計(jì)15.1.2分式的基本性質(zhì)第1課時(shí)分式的基本性質(zhì)與約分 1.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變. 2.約分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．教學(xué)反思本節(jié)課運(yùn)用類比得出分式的基本性質(zhì)及約分的方法，在這個教學(xué)活動中，學(xué)生的知識不是從老師那里直接復(fù)制或灌輸?shù)筋^腦中來的，而是通過自己去類比發(fā)現(xiàn)的，這個過程讓學(xué)生自己去感受，結(jié)論讓學(xué)生自己去總結(jié)，達(dá)到了學(xué)生主動參與、探究新知的目的，然后順勢探究分式的變號法則．在活動中，設(shè)計(jì)了具有啟發(fā)性的問題，對知識點(diǎn)進(jìn)行分析、歸納總結(jié)、例題示范、方法指導(dǎo)等，一步一步地完成既定教學(xué)目標(biāo).解題大招一判斷分式中字母的變化與分式值的變化之間的關(guān)系先求出變化后的分式，然后進(jìn)行化簡，最后與原分式進(jìn)行比較．例1分式eq\f(2x＋3y,3x)中的x，y的值都擴(kuò)大到原來的10倍，則分式的值為（B）A．?dāng)U大為原來10倍B．不變C．縮小為原來的eq\f(1,10)D．縮小為原來的eq\f(1,20)解析：分式中的x，y的值都擴(kuò)大到原來的10倍后為：eq\f(2x×10＋3y×10,3x×10)＝eq\f(20x＋30y,30x)＝eq\f(2x＋3y,3x)，即原分式中的x，y的值都擴(kuò)大到原來的10倍，分式的值不變．故選B.解題大招二分式的分子與分母中各項(xiàng)系數(shù)化“整”的方法例2不改變分式的值，將下列各分式的分子與分母中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)：(1)eq\f(x－0.3y,0.8x－5y)；(2)eq\f(\f(m,2)＋\f(n,3),\f(2m,5)－\f(2n,3)).解：(1)eq\f(x－0.3y,0.8x－5y)＝eq\f(（x－0.3y）×10,（0.8x－5y）×10)＝eq\f(10x－3y,8x－50y)；(2)eq\f(\f(m,2)＋\f(n,3),\f(2m,5)－\f(2n,3))＝eq\f(（\f(m,2)＋\f(n,3)）×30,（\f(2m,5)－\f(2n,3)）×30)＝eq\f(15m＋10n,12m－20n).解題大招三利用整體代入法化簡求值方法①：可將所求分式的分子、分母先分解因式再約分化簡，最后將已知條件變形后代入求值．方法②：可將所求式子變形后化簡，再將已知條件代入求值．例3已知eq\f(x,y)＝3，求eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)的值．解法一：eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)＝eq\f(（x－y）（x＋3y）,（x－y）2)＝eq\f(x＋3y,x－y).由eq\f(x,y)＝3，得x＝3y，∴eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)＝eq\f(x＋3y,x－y)＝eq\f(3y＋3y,3y－y)＝eq\f(6y,2y)＝3.解法二：eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)＝eq\f(\f(x2,y2)＋\f(2xy,y2)－\f(3y2,y2),\f(x2,y2)－\f(2xy,y2)＋\f(y2,y2))＝eq\f(（\f(x,y)）2＋2·\f(x,y)－3,（\f(x,y)）2－2·\f(x,y)＋1)＝eq\f(（\f(x,y)－1）（\f(x,y)＋3）,（\f(x,y)－1）2)＝eq\f(\f(x,y)＋3,\f(x,y)－1).∵eq\f(x,y)＝3，∴eq\f(x2＋2xy－3y2,x2－2xy＋y2)＝eq\f(\f(x,y)＋3,\f(x,y)－1)＝eq\f(3＋3,3－1)＝3.培優(yōu)點(diǎn)與分式基本性質(zhì)有關(guān)的閱讀理解題在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會利用一些變形技巧來簡化式子，解答問題．材料一：在解決某些分式問題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡，以達(dá)到計(jì)算目的．例已知eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,4)，求代數(shù)式x2＋eq\f(1,x2)的值．解：∵eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(x2＋1,x)＝4，即eq\f(x2,x)＋eq\f(1,x)＝4.∴x＋eq\f(1,x)＝4，∴x2＋eq\f(1,x2)＝(x＋eq\f(1,x))2－2＝16－2＝14.材料二：在解決某些連等式問題時(shí)，通常