高一上學期數(shù)學知識點總結含復習資料

高一上學期數(shù)學學問概念方法題型易誤點技巧總結一、集合與命題1.集合元素具有確定性、無序性和互異性.在求有關集合問題時，尤其要留意元素的互異性，如（1）設為兩個非空實數(shù)集合，定義集合，若，，則中元素的有________個。（答：8）（2）非空集合，且滿意“若，則”，這樣的共有_____個（答：7）2.遇到時，你是否留意到“極端”狀況：或；同樣當時，你是否遺忘的情形？要留意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合，，且，則實數(shù)＝______.（答：）3.對于含有個元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為如滿意集合M有______個。（答：7）4.集合的運算性質(zhì)：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺.如設全集，若，，，則A＝_____，B＝___.（答：，）5.探討集合問題，一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素。如：—函數(shù)的定義域；—函數(shù)的值域；—函數(shù)圖象上的點集，如設集合，集合N＝，則__（答：）；6.數(shù)軸和韋恩圖是進展交、并、補運算的有力工具，在詳細計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊狀況，補集思想常運用于解決否認型或正面較困難的有關問題。如已知關于的不等式的解集為，若且務實數(shù)的取值范圍。（答：）7.四種命題及其互相關系。若原命題是“若p則q”，則逆命題為“若q則p”；否命題為“若則”；逆否命題為“若則”。提示：（1）互為逆否關系的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；（2）在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時，要留意“非或即且，非且即或”；（3）要留意區(qū)分“否命題”與“命題的否認”：否命題要對命題的條件和結論都否認，而命題的否認僅對命題的結論否認；（4）對于條件或結論是不等關系或否認式的命題，一般利用等價關系“”推斷其真假，這也是反證法的理論根據(jù)。（5）哪些命題宜用反證法？如（1）“在△ABC中，若∠C=900，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為（答：在中，若，則不都是銳角）；（2）已知函數(shù)，證明方程沒有負數(shù)根。8.充要條件。關鍵是分清條件和結論（劃主謂賓），由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。從集合角度說明，若，則A是B的充分條件；若，則A是B的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。如設命題p：；命題q:。若是的必要而不充分的條件，則實數(shù)a的取值范圍是（答：）二、不等式1.不等式的性質(zhì)：（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不行以相加；同向不等式不行以相減；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；（4）若，，則；若，，則。如（1）對于實數(shù)中，給出下列命題：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）（2）已知，，則的取值范圍是______（答：）（3）已知，且則的取值范圍是______（答：）2.不等式大小比擬的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段推斷差的符號得出結果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）找尋中間量或放縮法；（8）圖象法。其中比擬法（作差、作商）是最根本的方法。如設，，，試比擬的大小（答：）3.一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為的形式，若,則；若,則；若,則當時，；當時，。如已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為_______（答：）4.一元二次不等式的解集（聯(lián)絡圖象）。尤其當和時的解集你會正確表示嗎？設,是方程的兩實根，且，則其解集如下表：或或RRR如解關于的不等式：。（答：當時，；當時，或；當時，；當時，；當時，）5.對于方程有實數(shù)解的問題。首先要探討最高次項系數(shù)是否為0，其次若，則一定有。對于多項式方程、不等式、函數(shù)的最高次項中含有參數(shù)時，你是否留意到同樣的情形？如：（1）對一切恒成立，則的取值范圍是_______（答：）；（2）關于的方程有解的條件是什么？(答：，其中為的值域)6.一元二次方程根的分布理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什么？（、、）。根的分布理論成立的前提是開區(qū)間，若在閉區(qū)間探討方程有實數(shù)解的狀況，可先利用在開區(qū)間上實根分布的狀況，得出結果，再令和檢查端點的狀況．如在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使，務實數(shù)的取值范圍。（答：）7.二次方程、二次不等式、二次函數(shù)間的聯(lián)絡你理解了嗎？二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值，也是二次函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標。如（1）不等式的解集是，則=__________（答：）；（2）若關于的不等式的解集為，其中，則關于的不等式的解集為________（答：）；（3）不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______（答：）。8.簡潔的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；（2）將每一個一次因式的根標在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并留意奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號改變規(guī)律，寫出不等式的解集。如：（1）解不等式。（答：）（2）不等式的解集是____（答：）（3）設函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為______（答：）（4）要使?jié)M意關于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿意不等式中的一個，則實數(shù)的取值范圍是.（答：）9.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正，最終用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。如：（1）解不等式（答：）（2）關于的不等式的解集為，求關于的不等式的解集（答：）10.一定值不等式的解法：（1）分段探討（最終結果應取各段的并集）：如解不等式（答：）（2）利用一定值的定義；（3）數(shù)形結合；如解不等式（答：）（4）兩邊平方：如若不等式對隨意恒成立，則實數(shù)的取值范圍。（答：）11.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為根底，分類探討是關鍵．”留意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”。留意：按參數(shù)探討，最終應按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)探討，最終應求并集.（見4中例題）12.含一定值不等式的性質(zhì)：同號或有；異號或有.如設，實數(shù)滿意，求證：13.利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否留意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。如：（1）下列命題中正確的是A.的最小值是2B.的最小值是2C.的最大值是D.的最小值是（2）若，則的最小值是______（答：）（3）正數(shù)滿意，則的最小值為______（答：）14.常用不等式有：（1）(當且僅當時，取等號)，根據(jù)目的不等式左右的構造選用；（2），（當且僅當時，取等號）；（3）若，則（糖水的濃度問題）。假如正數(shù)、滿意，則的取值范圍是_________（答：）15.證明不等式的方法：比擬法、分析法、綜合法和放縮法(比擬法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形推斷符號或與1的大小，然后作出結論。常用的放縮技巧有：如（1）已知，求證：；(2)已知，求證：；（3）已知，且，求證：；(4)若，求證：；(5)已知，求證：；16.不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應用函數(shù)方程思想和“分別變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓居處給不等式的構造特征，利用數(shù)形結合法）（1）恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上如（1）不等式對一實在數(shù)恒成立，務實數(shù)的取值范圍（2）若不等式對滿意的全部都成立，則的取值范圍（3）若不等式對的全部實數(shù)都成立，求的取值范圍.（2）能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間上的.如已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，務實數(shù)的取值范圍____（3）恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價于不等式的解集為；若不等式在區(qū)間上恰成立,則等價于不等式的解集為.三、函數(shù)1.函數(shù)的定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點，但與軸垂線的公共點可能沒有，也可能有隨意個。如（1）已知函數(shù)，，則集合中所含元素的個數(shù)有個（答：0或1）；（2）若函數(shù)的定義域、值域都是閉區(qū)間，則＝（答：2）2.同一函數(shù)的概念。構成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函數(shù)的定義域和對應法則一樣時，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式一樣，值域一樣，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，則解析式為，值域為{4，1}的“天一函數(shù)”共有______個（答：9）3.求函數(shù)定義域的常用方法（在探討函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則）：（1）根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，0次冪的底數(shù)不能為零。如（1）函數(shù)的定義域是____(答：)；（2）若函數(shù)的定義域為R，則_______(答：)；（3）函數(shù)的定義域是，，則函數(shù)的定義域是__________(答：)；（2）根據(jù)實際問題的要求確定自變量的范圍。（3）復合函數(shù)的定義域：若已知的定義域為,其復合函數(shù)的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當于當時，求的值域（即的定義域）。如（1）若函數(shù)的定義域為，則的定義域為__________（答：）；（2）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為________（答：[1,5]）．4.求函數(shù)值域（最值）的方法：（1）配方法――二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結合，留意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系），如（1）求函數(shù)的值域（答：[4,8]）；（2）當時，函數(shù)在時獲得最大值，則的取值范圍是___（答：）；特殊說明：二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求法，一定要留意頂點的橫坐標是否在定義域內(nèi)。假如是選擇、填空可以很快寫答案:先看看是否在內(nèi)，假如在的話，算三個數(shù),三數(shù)中誰最大誰就是最大值，誰最小誰就是最小值。假如不在的話，只要算兩個數(shù)，大的就最大值，小的就最小值。（2）換元法――通過換元把一個較困難的函數(shù)變?yōu)楹啙嵰浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如（1）的值域為_____（答：）（令，。運用換元法時，要特殊要留意新元的范圍）；（3）函數(shù)有界性法――干脆求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，（4）單調(diào)性法――利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求的值域為______（答：）；（5）判別式法――對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進展求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過局部分式后，再利用均值不等式：①型，可干脆用不等式性質(zhì)，如求的值域（答：）②型，先化簡，再用均值不等式，如（1）求的值域（答：）；（2）求函數(shù)的值域（答：）③型，通常用判別式法；如已知函數(shù)的定義域為R，值域為，求常數(shù)的值（答：）④型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域（答：）（6）不等式法――利用根本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。提示：（1）求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關系？5.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時，一定首先要推斷屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的關系式；分段函數(shù)的值域應是其定義域內(nèi)不同子集上各關系式的取值范圍的并集。如（1）設函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍是__________（答：）；（2）已知，則不等式的解集是________（答：）6.求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：，要會根據(jù)已知條件的特點，敏捷地選用二次函數(shù)的表達形式）。如已知為二次函數(shù)，且，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式。（答：）（2）代換（配湊）法――已知形如的表達式，求的表達式。如（1）若，則函數(shù)=_____（答：）；（2）若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則當時，=________（答：）.這里需值得留意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應是的值域。（3）方程的思想――已知條件是含有及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進展賦值，從而得到關于及另外一個函數(shù)的方程組。如（1）已知，求的解析式（答：）；（2）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+=,則=__（答：）。7.函數(shù)的奇偶性。（1）具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必需關于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時，務必先斷定函數(shù)定義域是否關于原點對稱。（2）確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為困難，應先化簡，再推斷其奇偶性）：①定義法：如推斷函數(shù)的奇偶性____（答：奇函數(shù)）。②利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：或（）。如推斷的奇偶性___.（答：偶函數(shù)）③圖像法：奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關于軸對稱。（3）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：①奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全一樣；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.②假如奇函數(shù)有反函數(shù)，則其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).③若為偶函數(shù)，則.④若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù)，則實數(shù)＝____（答：1）.⑤定義在關于原點對稱區(qū)間上的隨意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”。如設是定義域為R的任一函數(shù)，，。①推斷與的奇偶性；②若將函數(shù)，表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和，則＝____（答：①為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；②＝）⑥復合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個（，定義域是關于原點對稱的隨意一個數(shù)集）.8.函數(shù)的單調(diào)性。（1）確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號）如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是____(答：)；②在選擇填空題中還可用數(shù)形結合法、特殊值法等等，特殊要留意型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.（例如函數(shù)遞增區(qū)間；單調(diào)遞減區(qū)間是）如（1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是______(答：）)；（2）已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_____（答：）；③復合函數(shù)法：復合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減，（2）特殊提示：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域，如求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應當用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．（3）你留意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎（①比擬大?。虎诮獠坏仁剑虎矍髤?shù)范圍）.如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，務實數(shù)的取值范圍。（答：）9.常見的圖象變換①函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如設的圖像由的圖像向左平移1個單位得到，則為__________(答：)②函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如（1）若，則函數(shù)的最小值為____(答：2)；（2）要得到的圖像，只需作關于_____軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到(答：；右)；特殊提示：上面兩種是左右平移，可以間記為“左加右減”③函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個單位得到的；④函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個單位得到的；如將函數(shù)的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象假如與原圖象關于直線對稱,則(答：C)特殊提示：上面兩種是上下平移，可以間記為“上加下減”10.函數(shù)的對稱性。①滿意條件的函數(shù)的圖象關于直線對稱。如已知二次函數(shù)滿意條件且方程有等根，則＝_____(答：)；②點關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為；③點關于軸的對稱點為；函數(shù)關于軸的對稱曲線方程為；④點關于原點的對稱點為；函數(shù)關于原點的對稱曲線方程為；⑤形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對稱中心是點。如已知函數(shù)圖象與關于直線對稱，且圖象關于點（2，－3）對稱，則a的值為______（答：2）⑥的圖象先保存原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保存在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關于軸的對稱圖形得到。如若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關于____對稱（答：軸）提示：（1）從結論②③④⑤⑥可