必修第一冊(cè)湘教版第2章單元測(cè)試卷

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元測(cè)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合A={x|x2-7x+6>0},B={x|2-x>0},則A∩B=()A.{x|x>6} B.{x|1<x<2} C.{x|x<1} D.{x|2<x<6}2.已知x>-2,則x+1x+2的最小值為(A.-12 B.-1 C.0 3.中國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”,即已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式.設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則三角形的面積S可由公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中p為三角形周長(zhǎng)的一半,A.182 B.24 C.162 D.924.已知p=a+1a-2(a>2),q=-b2-2b+3(b∈R),則p,q的大小關(guān)系為(A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q5.已知p:-12<a<1,q:對(duì)任意-1≤x≤1,x2-ax-2<0,則p是q成立的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.若正數(shù)a,b滿足1a+2b=1,則2a-1+1A.2 B.322 C.52 7.某地為了加快推進(jìn)垃圾分類工作,新建了一個(gè)垃圾處理廠,每月最少要處理300噸垃圾,最多要處理600噸垃圾,月處理成本y(單位:元)與月處理量x(單位:噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=12x2-300x+80000,為使平均處理成本最低,該廠每月處理量應(yīng)為()A.300噸 B.400噸 C.500噸 D.600噸8.已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,則xzy2的(A.最大值為18 B.最小值為18 C.最大值為8 D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集為{x|x≤-2或x≥3},則下列說(shuō)法正確的是()A.a<0B.ax+c>0的解集為{x|x>6}C.8a+4b+3c<0D.cx2+bx+a<0的解集為{x|-12<x<110.設(shè)0<a<b,a+b=1,則下列結(jié)論正確的是()A.a2+b2<b B.a<a2+b2C.a<2ab≤12 D.12<a2+b211.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足2a+2a+b+1b-10=0,則下列說(shuō)法正確的是(A.2a+b的最大值為5+17B.2a+b的最大值為9C.2a+b的最小值為5-17D.2a+b的最小值為1三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知函數(shù)y=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若當(dāng)-1≤x≤1時(shí),y>0恒成立,則b的取值范圍是.

13.若函數(shù)y=x2-2ax+4=0在(1,2]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

14.已知集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且僅有兩個(gè)子集,則a2+1b的最小值為;若不等式x2+ax+b<c的解集為{x|x1<x<x2},且|x1-x2|=4,則c=.(本題第一空2分,第二空3分四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)當(dāng)p,q都為正數(shù)且p+q=1時(shí),試比較代數(shù)式(px+qy)2與px2+qy2的大小.

16.(15分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.

17.(15分)在彈性限度內(nèi),彈簧拉伸的距離與所掛物體的質(zhì)量成正比,即d=mk,其中d是拉伸距離(單位:cm),m是物體的質(zhì)量(單位:g),k是彈簧的勁度系數(shù)(單位:g/cm).彈簧的勁度系數(shù)分別為k1,k2的兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí),得到的彈簧的勁度系數(shù)k滿足1k=1k1+1k2,并聯(lián)時(shí)得到的彈簧的勁度系數(shù)k'滿足k'=k1+k2.已知物體質(zhì)量為20g,

18.(17分)已知關(guān)于x的一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集為R.(1)求函數(shù)y=m+3m+2(2)求關(guān)于x的一元二次不等式x2+(m-3)x-3m>0的解集.

19.(17分)對(duì)在平面直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點(diǎn)作如下定義：若ab>cd，那么稱點(diǎn)(a，b)是點(diǎn)(c，d)的“上位點(diǎn)”，同時(shí)點(diǎn)(c，d)是點(diǎn)(a，b)的“下位點(diǎn)(1)試寫(xiě)出點(diǎn)(3，5)的一個(gè)“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)(a，b)是點(diǎn)(c，d)的“上位點(diǎn)”，判斷點(diǎn)P(a+c2，b+d2)是否是點(diǎn)(a，b)(3)設(shè)正整數(shù)n滿足以下條件：對(duì)集合{t|0<t<2023，t∈Z}內(nèi)的任意元素m，總存在正整數(shù)k，使得點(diǎn)(n，k)既是點(diǎn)(2023，m)的“下位點(diǎn)”，又是點(diǎn)(2024，m+1)的“上位點(diǎn)”，求滿足要求的一個(gè)正整數(shù)n的值，并說(shuō)明理由.

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元測(cè)試卷參考答案1.C∵A={x|(x-1)(x-6)>0}={x|x<1或x>6},B={x|2-x>0}={x|x<2},∴A∩B={x|x<1}.2.C由x>-2得x+2>0,所以x+1x+2=x+2+1x+2-2≥2(x+2)·1x+2-3.A由題意得p=12(a+b+c)=12,S=12(12?a)(12-b)(12-c)=72(12?b)(12-c)≤62×12?b+12?c2=182,當(dāng)且僅當(dāng)12-4.A∵a>2,∴p=a+1a-2=a-2+1a-2+2≥2(a-2)×1a-2q=-b2-2b+3=-(b+1)2+4≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=-1時(shí)取等號(hào).∴p≥q.故選A.5.A構(gòu)造函數(shù)y=x2-ax-2,由于對(duì)任意-1≤x≤1,y<0恒成立,則(-1)2-a(-1)-2=a-1<0,12-a×1?2=?a-1<0,解得-1<a<1,∵{a|-126.A因?yàn)?a+2b=1,a,b為正數(shù),所以0<1a<1,0<2b<1,從而a>1,b>2.又1a+2b=1可化為(a-1)(b-2)=2,故2a-1+1b-2≥22a-1×1b-27.B由題意知,平均處理成本為s=yx=12x2-300x+80000x=x2+80000x-300,其中300≤x≤600,又x2+80000x-300≥2x2·80000x-300=400-300=100,8.A由題意知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,則y=x+2z,又xzy2=xz(x+2z)2=xzx2+4xz+4z2=1xz+4zx+4≤19.AD∵不等式ax2+bx+c≤0的解集為{x|x≤-2或x≥3},∴a<0,-2+3=-ba,-2×3=ca,即b=-a,ax+c>0可化為ax-6a>0,即x-6<0,故ax+c>0的解集為{x|x<6},故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;8a+4b+3c=8a-4a-18a=-14a>0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;cx2+bx+a<0可化為-6ax2-ax+a<0,即6x2+x-1<0,故不等式的解集為{x|-12<x<13},故選項(xiàng)D故選AD.10.ABD由0<a<b,a+b=1,得0<a<12<b<1.對(duì)于A,由a+b=1得a2+b2=1-2ab=b+a-2ab=b+a(1-2b)<b,所以A正確.對(duì)于B,12<b?1<2b?a<2ab<a2+b2,所以B正確.對(duì)于C,由選項(xiàng)B有a<2ab,但2ab<2×(a+b2)2=12,所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D,a2+b2>(a+b)22=12,且a2<a,b11.BD設(shè)t=2a+b,t>0,因?yàn)?a+2a+b+1b-10所以10-t=2a+1b,所以0(2a+b)(2a+1b)=5+2ba+2ab≥當(dāng)且僅當(dāng)2ba=2ab,且2a+2a+b+1b-10=0,即a=b=此時(shí)t(10-t)≥9,解得1≤t≤9.故2a+b有最大值9,有最小值1.故選BD.12.{b|b>2或b<-1}依題意,函數(shù)y=-x2+2x+b2-b+1的圖象的對(duì)稱軸為直線x=1,函數(shù)圖象開(kāi)口向下,∴當(dāng)-1≤x≤1時(shí),若y>0恒成立,則當(dāng)x=-1時(shí),y=-1-2+b2-b+1>0,即b2-b-2>0,∴(b-2)(b+1)>0,解得b>2或b<-1.13.{a|2≤a<52}當(dāng)方程x2-2ax+4=0的根的判別式Δ=0且1<x≤2時(shí),有且僅有一個(gè)根,解得a=2,此時(shí)y=x2-2ax+4=0的零點(diǎn)為2,滿足題意;若當(dāng)1<x<2時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),設(shè)其在x=1,x=2處的函數(shù)值分別為y1,y2,則由函數(shù)圖象知,y1y2<0,解得2<a<52.綜上可知,a的取值范圍是2≤a<14.44集合{x|x2+ax+b=0,a>0}有且僅有兩個(gè)子集,則Δ=a2-4b=0,所以a2=4b>0,因?yàn)閍2+1b=4b+1b≥24b·1b=4,當(dāng)且僅當(dāng)4b=1b,即b=12時(shí)取等號(hào),不等式x2+ax+b<c的解集為{x|x1<x<x2},且|x1-x2|=4,所以(x1+x2)2-4x1x2=(x1-x2)2,即a2-4(b-c)=16,化簡(jiǎn)得4c=16,解得c=4.15.(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因?yàn)閜+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p,所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因?yàn)閜,q都為正數(shù),所以-pq(x-y)2≤0,因此(px+qy)2≤px2+qy2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立.16.(1)∵x>0,y>0,∴2x+8y=xy≥22x·8y,即xy≥∴xy≥8,xy≥64,當(dāng)且僅當(dāng)x=16,y=4時(shí)等號(hào)成立,故(xy)min=64.(2)由2x+8y-xy=0,x>0,y>0,得8x+2y=則x+y=(8x+2y)(x+y)=10+2xy+8yx≥當(dāng)且僅當(dāng)8x+2y=1,2xy=8yx,即17.兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí),由d=mk知,k=md=20則1k=1k1+1k2,即120=所以20(k1+k2)=k1k2≤(k1+k2)24,故k1+k2≥80,當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)彈簧并聯(lián)時(shí),k'=k1+k2,拉伸距離為mk'=mk1+k2,要使并聯(lián)時(shí)彈簧拉伸距離最大,則需k'=k1+k2最小,而k1=k2=40時(shí),(k1+k2)min=80,故最大距離為mk'=2018.(1)不等式x2+2mx+m+2≥0的解集為R,所以Δ=4m2-4(m+2)≤0,化簡(jiǎn)得m2-m-2≤0,解得-1≤m≤2,所以1≤m+2≤4,所以函數(shù)y=m+3m+2=m+2+3m+2-2≥2(m+2)×3當(dāng)且僅當(dāng)m+2=3m+2,即m=3-2時(shí)取“=所以y的最小值為23-2.(2)不等式x2+(m-3)x-3m>0,可化為(x+m)(x-3)>0,因?yàn)?1≤m≤2,所以-2≤-m≤1<3,所以該不等式的解集為(-∞,-m)∪(3,+∞).19.(1)根據(jù)題設(shè)中的定義可得點(diǎn)(3，5)的一個(gè)“上位點(diǎn)”坐標(biāo)和一個(gè)“下位點(diǎn)”坐標(biāo)分別為(3，4)和(3，7).(2)點(diǎn)P(a+c2，b+d2)是點(diǎn)(a，b)的“證明如下：∵點(diǎn)(a，b)是點(diǎn)(c，d)的“上位點(diǎn)”，∴ab>cd又a，b，c，d均大于0，∴ad>bc，∴ad-bc>0，∴a+cb+d-ab=b(a+c∴點(diǎn)P(a+c2，b+d2)是點(diǎn)(a，b)(3)若點(diǎn)(a，b)是點(diǎn)(c，d)的“上位點(diǎn)”，可證點(diǎn)Q(a+c，b+d)既是點(diǎn)(c，d)的“上位點(diǎn)”，又是點(diǎn)(a，b)的“下位點(diǎn)”.證明如下：∵點(diǎn)(a，b)是點(diǎn)(c，d)的“上位點(diǎn)”，∴ab>c∵a，b，c，d均大于0，∴ad>bc，∴ad-bc>0，∴a