湖南省部分學(xué)校2025屆新高三聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025屆新高三聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)滿分150分，考試用時120分鐘注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若集合，，則集合B的真子集個數(shù)為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】先用列舉法求出集合，在根據(jù)真子集的公式求解.【詳解】由題意可知，所以集合的真子集個數(shù)為個.故選：C2.若，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】借助充分條件與必要條件定義，分別假設(shè)成立或成立去推導(dǎo)另一個是否成立即可得.詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，即，即，則有或，故“”是“”的充分不必要條件.故選：B.3.已知，求（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，令即可得解.【詳解】因為，所以，解得.故選：A4.下列說法錯誤的是（）A若隨機變量滿足且，則B.已知隨機變量～，若，則C.若事件相互獨立，則D.若兩組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為、，則組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)判斷A，根據(jù)二項分布的期望和方差的計算公式判斷B，根據(jù)相互獨立事件及條件概率概率公式判斷C，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念判斷D.【詳解】對于A：因為且，所以，故A正確；對于B：隨機變量～，則，解得：，故B正確；對于C：若事件、相互獨立，則，所以，故C正確；對于D：若、兩組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為、，因為，所以組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強，故D錯誤.故選：D5.某市高二年級期中聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正態(tài)分布的對稱法求解.【詳解】解：因為，且，，所以，故選：D6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡等式，在利用二倍角公式計算得到結(jié)果；【詳解】∵，∴，∴，故選：A．7.將函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角，得到曲線.若曲線始終為函數(shù)圖象，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在定義域上切線斜率的最大值，轉(zhuǎn)化為切線旋轉(zhuǎn)，根據(jù)函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】令原函數(shù)為，即，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)的圖象上點處切線斜率由1逐漸增大到2，記時的點為，令函數(shù)圖象在處的切線傾斜角為，則，曲線在除端點外的任意一點處的切線垂直于軸時，則曲線上存在兩點，其橫坐標(biāo)相同，而曲線始終為函數(shù)圖象，因此，而，則，所以的最大值為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的定義，并轉(zhuǎn)化為原點處的切線的旋轉(zhuǎn)問題.8.阿基米德有句名言：“給我一個支點，我就能撬起整個地球!”這句話說的便是杠桿原理，即“動力×動力臂=阻力×阻力臂”．現(xiàn)有一商店使用兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里預(yù)購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，取黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將稱得的和黃金交給顧客，則顧客購得的黃金重量（）A.大于 B.等于 C.小于 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出天平的兩臂長，利用杠桿原理，即可解出．【詳解】設(shè)天平左臂長為，右臂長為，且，，，，，故選：A．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)最小正周期為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的圖像關(guān)于點對稱 B.的圖像關(guān)于直線對稱C.在上單調(diào)遞增 D.在區(qū)間上的值域為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式可得，由周期得，進而代入驗證即可求解AB，利用整體法即可求解CD.【詳解】，由于最小正周期為，故，故，對于A,,故的圖像關(guān)于點對稱，A錯誤，對于B，，的圖像關(guān)于直線對稱，故B正確，對于C，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，C正確，對于D，時，，故，故，D錯誤，故選：BC10.若平面向量，，其中，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則與同向的單位向量為C.若，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為D.若，則的最小值為4【答案】BCD【解析】【分析】利用向量坐標(biāo)運算求出判斷A；利用數(shù)乘向量結(jié)果求出，再求出單位向量判斷B；利用向量夾角為銳角列出不等式求解判斷C；利用向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合基本不等式求解判斷D.【詳解】對于A，，則，解得，則，，假設(shè)存在實數(shù)使得，則，方程無解，則不存在，使，即，不共線，A錯誤；對于B，，則，解得，即，，，則與同向的單位向量為，B正確；對于C，當(dāng)時，，又與的夾角為銳角，則，解得，且，即，C正確；對于D，由，得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D正確.故選：BCD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的單調(diào)遞增區(qū)間是B.的值域為C.D.若，，，則【答案】BD【解析】【分析】對于，求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負即可判斷單調(diào)性；對于，由的單調(diào)性即可求解值域；對于，計算，即可計算；對于，變形，由，的范圍即可證.【詳解】的定義域為，在定義域上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故錯誤；當(dāng)趨近于0時，趨于，當(dāng)趨近于1，且在1左側(cè)時，趨于，所以的值域為，故正確；，所以，又，所以，故錯誤；，因為，所以，又，所以，即，故正確.故選：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集符號，要用“和”或“，”連接.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知復(fù)數(shù)，且，則______.【答案】或3【解析】【分析】先求出，再利用復(fù)數(shù)模的公式列出a的方程，求解即得.【詳解】復(fù)數(shù)，可得，則整理得，，即因為，所以且，又因，故，解得，或.故答案為：或3.【點睛】思路點睛：在根據(jù)題意推得方程后，要根據(jù)條件,將看成整體，對右式進行相應(yīng)分解，才能順利求得值.13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】由明確邊上的高等于邊的一半，做出邊上的高，設(shè)，用表示出，再結(jié)合換元法和基本不等式，求的最大值.【詳解】如圖：過作于.因為，所以.設(shè)，則設(shè)，則若，則；若，則；當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”）.所以故答案為：【點睛】方法點睛：求取值范圍得問題，常用的方法有：（1）結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；（2）利用基本不等式，求最值；（3）利用三角函數(shù)的有界性求最值；（4）判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值.14.已知函數(shù)，若函數(shù)的最小值恰好為0，則實數(shù)的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】換元構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性與最值，從而求得的最值.【詳解】令，則，所以，令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故當(dāng)時，取得最小值，故當(dāng)，即時，函數(shù)的最小值恰好為0，令，則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故答案：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍問題.關(guān)鍵點是通過換元，將轉(zhuǎn)化為，并利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與最值，得到，再利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，即可求得的最值.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知中，，，，點滿足，點在線段上移動（包含端點）．（1）若，求實數(shù)的值；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助向量的線性運算與平面向量基本定理計算即可得；（2）設(shè)，結(jié)合向量線性運算與數(shù)量積公式計算即可得.【小問1詳解】，故，，則；【小問2詳解】設(shè)，，則，，故，由，則.16.在中，為角對應(yīng)的邊，為的面積.且.（1）求；（2）若，求內(nèi)切圓半徑的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形得面積公式結(jié)合正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；（2）根據(jù)，可得，再根據(jù)余弦定理將用表示，再化簡，再結(jié)合基本不等式即可得解.【小問1詳解】因為，所以，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又，所以；【小問2詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，所以，又，所以，則，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即內(nèi)切圓半徑的最大值為.17.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的極值；（2）曲線在處的切線方程為，證明：．【答案】（1）極大值為，函數(shù)的極小值為；（2）見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的極值；（2）首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值.【小問1詳解】，令，得或，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為；【小問2詳解】由（1）可知，，且，所以曲線在處的切線方程為，即，要證明，即證明設(shè)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，，所以，即，所以，命題得證.18.不透明的袋子中裝有大小相同的白球和彩球各1個，將“連續(xù)兩次從袋子中有放回地摸出1個小球”記為一次試驗，若兩次均摸到彩球，則試驗成功并終止試驗，否則在袋子中添加一個相同的白球，然后進行下一次試驗．（1）若最多只能進行3次試驗，設(shè)試驗終止時進行的次數(shù)為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若試驗可以一直進行下去，第次試驗成功的概率記為，求證：．【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由的取值，計算相應(yīng)的概率，得到分布列，由公式計算數(shù)學(xué)期望；（2）由概率計算得到表達式并化簡，裂項相消求得證結(jié)論.【小問1詳解】的可能值有，；；．所以隨機變量的分布列為123．【小問2詳解】證明：因為，，，所以，，經(jīng)檢驗也滿足上式，所以．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明時，；（3）若對于任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負求出單調(diào)區(qū)間即可;（2）證明不等式轉(zhuǎn)化為等價條