2.1 命題、定理、定義-2022-2023學年高一數(shù)學《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（蘇教版2019必修第一冊）

2.1命題、定理、定義【題型歸納】題型一：命題的概念1．（2022·江蘇·高一專題練習）唐代詩人王維，字摩詰，在后世有“詩佛”之稱，北宋蘇軾評曰“味摩詰之詩，詩中有畫；觀摩詰之畫，畫中有詩.”在王維《相思》這首詩中，哪一句可以作為命題（

）A．紅豆生南國 B．春來發(fā)幾枝 C．愿君多采擷 D．此物最相思2．（2022·全國·高一專題練習）下列不是命題的是（

）A． B．三角形中最多只有一個內角是鈍角C． D．平面內垂直于同一條直線的兩條直線平行3．（2022·江蘇·高一專題練習）下列語句中是命題的個數(shù)（

）①“等邊三角形難道不是等腰三角形嗎？”；②“平行于同一條直線的兩條直線必平行嗎？”；③“一個數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)”；④“為有理數(shù)，則，也都是有理數(shù)”；⑤“作”．A． B． C． D．題型二：命題的否命題、逆命題，逆否命題及其真假4．（2022·江蘇·高一專題練習）已知集合，記原命題：“x∈P，則x∈Q”，那么，在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．45．（2020·全國·高一期末）原命題：“設a、b、c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．4個6．（2021·全國·高一課時練習）對原命題“若，則且”的判斷：（1）原命題真，逆命題假；（2）逆命題真，原命題假；（3）否命題真，逆否命題假；（4）逆命題假，逆否命題真．其中正確的是（

）．A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）題型三：原命題和逆否命題的等價性7．（2015·上海中學高一期中）已知命題：“若，則關于x的不等式的解集為空集”，那么它的逆命題，否命題，逆否命題，以及原命題中，假命題的個數(shù)是（）A．0 B．2 C．3 D．48．（2018·上海黃浦·高一期中）對于某個與正整數(shù)n有關的命題P,若時命題P成立可以推得時命題Р成立,則下列命題中必為真命題的是（

）A．若時命題P不成立,則時命題P不成立；B．若時命題P不成立,則時命題P不成立；C．若時命題P不成立,則時命題P不成立；D．若時命題P不成立,則時命題P不成立．9．（2021·江蘇·高一期中）十七世紀，法國數(shù)學家費馬提出猜想；“當整數(shù)時，關于、、的方程沒有正整數(shù)解”，經歷三百多年，1995年英國數(shù)學家安德魯懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則下面命題正確的是（

）①對任意正整數(shù)，關于、、的方程都沒有正整數(shù)解；②當整數(shù)時，關于、、的方程至少存在一組正整數(shù)解；③當正整數(shù)時，關于、、的方程至少存在一組正整數(shù)解；④若關于、、的方程至少存在一組正整數(shù)解，則正整數(shù)；A．①② B．①③ C．②④ D．③④題型四：已知命題的真假求參數(shù)10．（2022·江蘇·高一專題練習）給出命題：方程沒有實數(shù)根，若該命題為真命題，則的一個值可以是（

）A．4 B．2 C．0 D．11．（2022·江蘇·高一專題練習）若“方程有兩個不相等的實數(shù)根”是真命題，則的取值范圍是_________.12．（2022·河南省葉縣高級中學高一階段練習）已知命題：關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)若是真命題，求實數(shù)的取值集合；(2)在（1）的條件下，集合，若，求實數(shù)的取值范圍．題型五：與命題有關的綜合性問題13．（2022·全國·高一專題練習）已知，：關于的方程有實數(shù)根.（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若p為真命題，q為假命題，求實數(shù)的取值范圍.14．（2022·全國·高一專題練習）給定兩個命題，p：對于任意實數(shù)都有恒成立；q：關于的方程有實數(shù)根；（1）若p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（2）如果p與q中至少有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；（3）如果p與q中有且僅有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．15．（2021·江蘇·高一專題練習）設命題：對任意，不等式恒成立，命題：存在，使得不等式成立.（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為假命題，為真命題，求實數(shù)的取值范圍.【雙基達標】一、單選題16．（2022·全國·高一）下列四個命題中，其中真命題的個數(shù)為（

）①與0非常接近的全體實數(shù)能構成集合；

②表示一個集合；③空集是任何一個集合的真子集；

④任何一個非空集合至少有兩個子集．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個17．（2022·全國·高一專題練習）下列命題為假命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則18．（2022·江蘇·高一專題練習）命題“在三角形中，大邊對大角”改寫成“若，則q”的形式為（

）A．在三角形中，若一邊較大，則其對的角也較大B．在三角形中，若一角較大，則其對的邊也較大C．若一個平面圖形是三角形，則其大邊對大角D．若一個平面圖形是三角形，則其大角對大邊19．（2022·江蘇·高一單元測試）下列命題為真命題的是（

）A．命題“若，則”的逆命題B．命題“若，則”的否命題C．命題“若，則”的否命題D．命題“若，則”的逆否命題20．（2019·上海市亭林中學高一期中）命題“若，則”的逆否命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則21．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）關于的方程，有下列四個命題：甲：是該方程的根；乙：是該方程的根；丙：該方程兩根之和為；?。涸摲匠虄筛愄枺绻挥幸粋€假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【高分突破】一、單選題22．（2021·江蘇·高一單元測試）甲、乙、丙、丁四人參加數(shù)學競賽，四人在成績公布前作出如下預測：甲預測說：我不會獲獎，丙獲獎；

乙預測說：甲和丁中有一人獲獎；丙預測說：甲的猜測是對的；

丁預測說：獲獎者在甲、乙、丙三人中.成績公布后表明，四人的預測中有兩人的預測與結果相符，另外兩人的預測與結果不符已知有兩人獲獎，則獲獎者可能是（

）.A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁23．（2021·重慶·萬州純陽中學校高一階段練習）給定下列命題：①“若，則方程”有實數(shù)根②若，，則③對角線相等的四邊形是矩形④若，則，中至少有一個為0其中真命題的序號是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④二、多選題24．（2022·全國·高一課時練習）對于命題“若，則”，下面四組關于a，b的值中，能說明這個命題是假命題的是（

）A．， B．， C．， D．，25．（2022·江蘇·高一專題練習）下列命題是假命題的為（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則26．（2022·江蘇·高一專題練習）下列說法中，以下是真命題的是（

）．A．存在實數(shù)，使B．所有的素數(shù)都是奇數(shù)C．至少存在一個正整數(shù)，能被5和7整除.D．三條邊都相等的三角形是等邊三角形27．（2022·江蘇·高一專題練習）給出以下四個命題，其中真命題是:（

）A．命題“若互為相反數(shù)，則”B．命題“兩個全等三角形的面積比等于周長比的平方”C．命題“若，則有實根”D．命題“若是正整數(shù)，則都是正整數(shù)”28．（2021·廣東·惠州市光正實驗學校高一期中）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時，則或三、填空題29．（2022·全國·高一課時練習）已知下列三個論斷：①a是正數(shù)，②b是負數(shù)，③是負數(shù)．選擇其中兩個作為條件，一個作為結論，寫出一個真命題：__________________．30．（2022·全國·高一課時練習）若a、b、c、d是實數(shù)，則下列是真命題的是______.（填所有真命題的序號）①如果，且，那么；②若果，那么或；③如果，那么；④如果，那么，其中n是正整數(shù).31．（2021·江蘇·高一單元測試）關于的方程，給出下列結論：①是該方程的根；②是該方程的根；③該方程兩根之和為2；④該方程兩根異號.以上四個結論有且僅有一個結論是錯誤的.則______.32．（2020·江蘇·高一課時練習）設原命題：“若，則中至少有一個不大于”，則①逆命題是“若中至少有一個不大于，則”②否命題是“若，則中至少有一個大于”③逆否命題是“若中至少有一個不大于，則”則敘述正確的命題序號為___．33．（2021·江蘇·高一專題練習）設表示不大于的最大整數(shù)，則對任意實數(shù)，給出以下四個命題：①；

②；③；④.則假命題是______(填上所有假命題的序號).四、解答題34．（2022·全國·高一課時練習）把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假．(1)等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊并且平分頂角；(2)當時，或；(3)已知x，，當時，，．35．（2022·江蘇·高一專題練習）判斷下列命題的真假，并說明理由：(1)若，是任意實數(shù)，則；(2)若，是實數(shù)且，則；(3)若，則有兩個不相等的實數(shù)根；(4)若有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)．36．（2022·全國·高一）已知命題p：實數(shù)滿足或．命題：實數(shù)滿．若命題是真命題，命題是假命題，求實數(shù)的取值范圍．【答案詳解】1．A【詳解】對于A選項，“紅豆生南國”是陳述句，所述事件在唐代是事實，所以，本句為命題；對于B選項，“春來發(fā)幾枝”是疑問句，不是命題；對于C選項，“愿君多采擷”是祈使句，不是命題；對于D選項，“此物最相思”是感嘆句，不是命題.故選：A.2．C【詳解】能判斷真假的陳述句為命題對A，集合是本身的子集，故A是假命題；對B，三角形中最多只有一個內角是鈍角是真命題；對C，不能判斷真假，故不是命題；對D，平面內垂直于同一條直線的兩條直線平行是真命題．故選：C3．B【分析】根據命題的概念，逐一判斷即可．【詳解】①不是陳述句，不是命題．②疑問句，沒有對平行于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷，不是命題．③是假命題，既不是正數(shù)也不是負數(shù)．④是假命題，如，．⑤是祈使句，不是命題．故選：B4．C【分析】先由集合P、Q，判斷出PQ，直接判斷四種命題的真假即可得到答案.【詳解】因為所以PQ，所以原命題“x∈P，則x∈Q”為真命題，則原命題的逆否命題為真命題．原命題的逆命題“x∈Q，則x∈P”為假命題，則原命題的否命題為假命題，所以真命題的個數(shù)為2．故選：C.5．C【分析】分別判斷原命題和逆命題的真假，再根據命題的等價性判斷否命題和逆否命題的真假.【詳解】由條件可知，當時，，故原命題不正確，根據命題的等價性可知，逆否命題也不正確，逆命題是：“設a、b、c∈R，若，則”，由，可知，根據不等式的性質可知，故逆命題正確，那么否命題也正確.故選：C6．B【分析】首先寫出命題的否命題、逆命題、逆否命題，再判斷真假，【詳解】解：原命題：若，則且逆命題為：若且，則否命題為：若，則或逆否命題為：若或，則顯然原命題為假命題，逆命題為真命題，根據互為逆否命題的兩命題同真假，可得否命題為真命題，逆否命題為假命題，故正確的有（2）（3）故選：B【點睛】本題考查四種命題以及四種命題的真假關系，屬于基礎題.7．B【分析】根據不等式的解集是空集求出對應的等價條件，然后根據四種命題之間的關系利用逆否命題的真假關系進行判斷即可【詳解】若的解集為空集，當，即時，當，則不等式等價為得，解集不是空集，不滿足條件．當，則不等式等價為，解得集合為空集，滿足條件．若，若不等式的解集是空集，則且，即且，所以，即不等式的解集為空集的等價條件為，即原命題等價為若，則，即原命題成立，則命題的逆否命題為真命題，原命題的逆命題等價為若，則，則逆命題為假命題，則命題的否命題為假命題，故四種命題中假命題的個數(shù)為2個．故選B【點睛】本題考查四種命題真假的判斷，需掌握原命題與逆否命題是“同真同假”，屬于基礎題．8．C【分析】根據題意可得當時命題Р不成立,則有時命題P不成立,據此對四個選項逐一判斷即可.【詳解】選項A：當時,則命題Р不成立,不能判斷是否成立,故本命題是假命題；選項B：當時,則命題Р不成立,不能判斷是否成立,故本命題是假命題；選項C：因為當時,,當時,有,所以本命題是真命題；選項D：根據選項C的分析可真本命題是假命題.故選：C【點睛】本題考查了命題的等價命題,考查了數(shù)學推理能力.9．D【分析】根據題意分析①②③④與原命題的關系,依據命題之間的關系及用特殊值法來判斷真假即可【詳解】由題,將費馬大定理寫為“若,則”的形式為“若當整數(shù)時,則關于、、的方程沒有正整數(shù)解”,為真命題；則其命題的否定為：當整數(shù)時，關于、、的方程至少存在一組正整數(shù)解,應為假命題,故②錯誤；其逆否命題為：若關于、、的方程至少存在一組正整數(shù)解，則正整數(shù),應為真命題,故④正確；其否命題為：當正整數(shù)時，關于、、的方程至少存在一組正整數(shù)解,但時,若、、分別為3、4、5,顯然成立,命題為真,故③正確；由③正確可得到,①顯然錯誤；故選D【點睛】本題考查命題的四種關系,考查命題真假的判定,考查全稱命題,考查特殊值法解決問題10．C【分析】根據根的判別式求出的范圍，在選項中選出符合條件的值即可【詳解】解：由方程無實數(shù)根得，應滿足，解得，故當時符合條件.故選;：C.【點睛】本題考查根據命題的真假求參數(shù)問題，是簡單題.11．且.【分析】首先保證二次項系數(shù)不為零，再根據判別式求解.【詳解】解析由題意知,解得：且.故答案為：且.【點睛】本題考查根據命題的真假求參數(shù)的取值范圍問題，比較簡單,只要列出滿足原命題為真的條件式求解即可.12．(1)(2)【分析】（1）依題意，解得即可；（2）依題意可得，分和兩種情況討論，分別得到不等式（組），即可求出參數(shù)的取值范圍；（1）解：若是真命題，則，解得，則；（2）解：因為，所以，當時，由，解得，此時，符合題意；當時，則有，解得，綜上所述，的取值范圍為．13．（1）；（2）【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式，可列出不等式，求解即可得出答案；（2）根據真假，可列出關于的不等式，進而可求出答案.【詳解】（1）∵關于的方程有實數(shù)根，∴，即，∴若q為真命題，實數(shù)a的取值范圍為：.（2）∵為真命題，為假命題，∴，解得.∴.14．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據p為真，對進行分類討論，即可求出a的取值范圍；（2）先根據為真命題，求出的范圍，再根據p與q都是假命題，求出的取值范圍，再求出補集即可；（3）若p與q中有且僅有一個為真命題，則一真一假，即可求出的取值范圍.【詳解】解：（1）若p為真命題，即對于任意實數(shù)都有恒成立，當時，滿足題意，當時，則，解得：，綜上所述：；（2）若為真命題，即關于的方程有實數(shù)根，則，解得：，若p與q都是假命題，則，解得：，若p與q中至少有一個為真命題，則；（3）若p與q中有且僅有一個為真命題，則或，解得：或，綜上所述：.15．（1）；（2）或.【分析】（1）p為真命題時，任意，不等式恒成立可轉化為，求解即可（2）根據且、或命題的真假，確定，一真一假，結合（1），再化簡命題q,即可求出的取值范圍.【詳解】對于：成立，而，有，∴，∴.：存在，使得不等式成立，只需，而，∴，∴；（1）若為真，則；（2）若為假命題，為真命題，則，一真一假.若為假命題，為真命題，則，所以；若為假命題，為真命題，則，所以.綜上，或.【點睛】本題主要考查了命題的真假，且、或命題，不等式恒成立、存在性問題，屬于中檔題.16．C【分析】根據集合定義，空集性質以及非空集合子集個數(shù)為即可得結果.【詳解】①與0非常接近的全體實數(shù)不確定，所以不能構成集合，錯誤；②，正確；③空集是任何非空集合的真子集，錯誤；④對于非空集合，至少有一個元素，所以子集的個數(shù)為，正確.故選：C17．D【詳解】易知A，B，C均為真命題．對于D，當，，時，，但，D為假命題．故選：D．18．A【分析】根據命題的條件和結論進行改寫即可.【詳解】命題的大前提是“在三角形中”，條件是“大邊”，結論是“對大角”.故選:A.19．A【分析】根據四種命題的關系寫出相應命題再判斷真假．也可利用逆否命題同真假的性質判斷．【詳解】命題“若，則”的逆命題是若，則，由于，因此為真命題；命題“若，則”的否命題是若，則，這是假命題，如時，；命題“若，則”的否命題是若，則，是假命題，如時，，命題“若，則”本身是假命題，如時，，但，其逆否命題也是假命題．故選：A．20．C【分析】根據逆否命題的定義，易求出命題的逆否命題.【詳解】解：將命題的條件與結論交換，并且否定可得逆否命題，即命題“若，則”的逆否命題是若“，則”.故選：C．21．A【解析】對甲、乙、丙、丁分別是假命題進行分類討論，分析各種情況下方程的兩根，進而可得出結論.【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關于的方程的一根為，由于兩根之和為，則該方程的另一根為，兩根異號，合乎題意；若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則是方程的一根，由于兩根之和為，則另一根也為，兩根同號，不合乎題意；若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關于的方程的兩根為和，兩根同號，不合乎題意；若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關于的方程的兩根為和，兩根之和為，不合乎題意.綜上所述，甲命題為假命題.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查命題真假的判斷，解題的關鍵就是對甲、乙、丙、丁分別是假命題進行分類討論，結合已知條件求出方程的兩根，再結合各命題的真假進行判斷.22．C【分析】從四人的描述語句可以看出，甲和丙的說法要么同時與結果相符，要么同時與結果不符，再對乙、丁的說法進行判斷.【詳解】∵“甲預測說：我不會獲獎，丙獲獎”，而“丙預測說：甲的猜測是對的”∴甲和丙的說法要么同時與結果相符，要么同時與結果不符.若甲和丙的說法要么同時與結果相符，則丁的說法也對，這與“，四人的預測中有兩人的預測與結果相符，另外兩人的預測與結果不符已知有兩人獲獎，”相矛盾，故錯誤；若甲和丙的說法與結果不符，則乙、丁的預測成立所以甲獲獎，丁不獲獎；丙獲獎，乙不獲獎.故選：C【點睛】真假語句的判斷需要結合實際情況，作出合理假設，進行有效論證.23．B【分析】①中：時，，方程”有實數(shù)根；②中：由不等式的性質知，是真命題；③中：如等腰梯形對角線相等，但不是矩形；④中：若，則，中至少有一個為0，故可判斷正確.【詳解】①中，故為真命題；②由不等式的性質知，，，則顯然是真命題；③如等腰梯形對角線相等，不是矩形，故為假命題；④若，則或，則，中至少有一個為0，為真命題.所以①②④是真命題，故選：B【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，屬于中檔題.24．AD【分析】逐個代入驗證，只要滿足條件，不滿足結論即可說明是假命題.【詳解】對于A，當，時，滿足，但，能說明命題是假命題，所以A正確，對于B，當，時，滿足，，所以不能說明命題是假命題，所以B錯誤，對于C，當，時，滿足，，所以不能說明命題是假命題，所以C錯誤，對于D，當，時，滿足，但，能說明命題是假命題，所以D正確，故選：AD25．BCD【分析】對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】A選項，若，則，A正確.B選項，若，則，B錯誤.C選項，時，不能得到，C錯誤.D選項，，但，D錯誤.故選：BCD26．ACD【分析】舉例證明選項AC正確；舉反例否定選項B；依據等邊三角形定義判斷選項D.【詳解】選項A：當時，成立.判斷正確；選項B：2是素數(shù)，但是2不是奇數(shù).判斷錯誤；選項C：正整數(shù)35和70能被5和7整除.判斷正確；選項D：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.判斷正確.故選：ACD27．ABC【分析】顯然AB正確，當時，代入判斷，即可判斷選項C，取代入計算，即可判斷選項D.【詳解】顯然選項A正確，兩個全等三角形的面積比與周長的平方比均為，所以選項B正確；當時，，所以方程有實根，C正確；取，則是正整數(shù)，但不是正整數(shù)，故D錯誤.故選：ABC28．ABC【分析】求出集合，根據集合包含關系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷．【詳解】，若，則，且，故A正確.時，，故D不正確.若，則且，解得，故B正確.當時，，解得或，故C正確.故選：ABC．29．若a是正數(shù)且是負數(shù)，則b是負數(shù)．【分析】共有3個命題，只有一個正確的命題，即得解.【詳解】解：如果a是正數(shù)且是負數(shù)，則b一定是負數(shù)．故答案為：若a是正數(shù)且是負數(shù)，則b是負數(shù)．30．①【分析】根據等式的性質逐一判斷即可.【詳解】如果，且，那么由推不出或，如由推不出，如時由推不出，如時故答案為