2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-2022-2023學年高一數(shù)學《考點•題型•技巧》精講與精練高分突破系列（人教A版2019必修第一冊）

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【考點梳理】考點一：比較大小的方法依據(jù)如果a>b?a－b>0.如果a＝b?a－b＝0.如果a<b?a－b<0.結(jié)論要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小考點二：重要不等式?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．考點三：等式的基本性質(zhì)(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).考點四二不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正【題型歸納】題型一：已知條件判斷所給不等式的大小1．（2022·寧夏·平羅中學高一期中（理））已知，且，則下列不等式中，一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市元寶山區(qū)第一中學高一期中）若，則下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．3．（2022·四川省峨眉第二中學校高一期中（理））若，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．題型二：不等式的性質(zhì)比較數(shù)的大小4．（2022·浙江省淳安中學高一期中）已知實數(shù)滿足，則“”是“”（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2022·重慶巴蜀中學高一期末）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022·山東青島·高一期末）已知，則下述一定正確的是（

）A． B．C． D．題型三：作差法或作商法比較不等式的大小7．（2022·甘肅張掖·高一期末）若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．a(chǎn)，b大小不確定8．（2021·山東·泰安一中高一期中）設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．9．（2022·河北滄州·高一期末）下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若a，，則C．若，，則 D．若，則題型四：利用不等式求取值范圍10．（2022·吉林延邊·高一期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．（2022·江蘇·高一）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．12．（2021·全國·高一專題練習）下列選項中，使不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型五：由不等式性質(zhì)證明不等式13．（2022·湖南·高一課時練習）利用不等式的性質(zhì)證明下列不等式：(1)若，，則；(2)若，，則．14．（2022·湖南·高一課時練習）求證：(1)若，且，則；(2)若，且，同號，，則；(3)若，且，則．15．（2021·湖南·衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習）（1）已知a，b，c，d均為正數(shù).求證：（2）已知.求證：<的充要條件為x>y【雙基達標】一、單選題16．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一階段練習（理））下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則17．（2022·江蘇·高一）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定18．（2022·湖南·新化縣教育科學研究所高一期末）已知a，b，c，d均為實數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則19．（2022·廣東珠海·高一期末）對于任意實數(shù)，給定下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則20．（2022·湖南·高一課時練習）已知0<a1<1，0<a2<1，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是（

）A．M<N B．M>NC．M＝N D．無法確定21．（2022·湖南·高一課時練習）比較下列各題中兩個代數(shù)式值的大?。?1)與；(2)與．22．（2022·湖南·高一課時練習）證明不等式：(1)若，，則；(2)若，，則．【高分突破】一：單選題23．（2022·湖南永州·高一期末）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．24．（2022·北京順義·高一期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．25．（2022·山西運城·高一期末）如果，且，那么下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則26．（2022·湖南·高一期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．27．（2021·四川成都·高一期末（文））若a，b為實數(shù)，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則28．（2022·山東濱州·高一期末）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金．一位顧客到店里購買12g黃金，售貨員先將6g的砝碼放在天平左盤中，取出xg黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將6g的砝碼放在天平右盤中，再取出yg黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客，則（

）A． B．C． D．以上選項都有可能29．（2022·上海虹口·高一期末）設(shè)a、b都是實數(shù)，則“且”是“且”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要30．（2022·北京平谷·高一期末）已知a，b，，那么下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則二、多選題31．（2022·湖北·測試·編輯教研五高一）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則32．（2022·廣東·深圳科學高中高一期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．，則 D．若，則33．（2022·貴州貴陽·高一期末）下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則34．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學校高一開學考試）十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為符號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“”和“”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．若，，，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則35．（2022·遼寧·育明高中高一期末）若實數(shù)，則下列不等關(guān)系正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．36．（2022·湖南衡陽·高一期末）下列命題為假命題的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，則37．（2022·遼寧丹東·高一期末）如果a，b，c，，那么（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則38．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)江南中學高一開學考試）下列命題是真命題的是（

）A．若，則 B．若，且，則C．若，則 D．若，則39．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高一期末）對于實數(shù)，，，正確的命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則， D．若，，則40．（2022·湖南張家界·高一期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，則D．若，則三、填空題41．（2022·全國·高一）下列四個代數(shù)式①，②，③，④，若，則代數(shù)式的值最大的是______．（填序號）．42．（2022·全國·高一）已知，，則的取值范圍是__________．43．（2022·全國·高一）若a、b∈R，則下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋≥2中一定成立的是__________．(填序號)44．（2021·天津市濱海新區(qū)大港第八中學高一期中）比較大?。篲__.（填）45．（2021·全國·高一專題練習）給出以下四個命題：①；②；③；④．其中真命題的序號是________．46．（2021·山東·濟南市章丘區(qū)第四中學高一階段練習）某新農(nóng)村為加強體育文化建設(shè)，購買了一批體育器材.已知在該批次器材中，4個排球和5個足球的價格之和小于400元，而6個排球和3個足球的價格之和大于450元.設(shè)1個排球的價格為A元，1個足球的價格為B元，則A___________B（填“>”?“<”或“=”）.47．（2022·江蘇·高一）若，則下面有六個結(jié)論：①，②，③，④，⑤，⑥中，正確結(jié)論的序號是_______．四、解答題48．（2021·湖北·車城高中高一）（1）已知，，求和的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.49．（2021·全國·高一專題練習）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：50．（2021·全國·高一）已知，，，求證：(1)；(2).（2021·全國·高一）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：；（3）觀察以下運算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若兩組數(shù)a1，a2與b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，則a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，試證明；②若兩組數(shù)a1，a2，a3與b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，對a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3進行大小順序(不需要說明理由).【答案詳解】1．D【詳解】對A，當時，不成立，故A錯誤；對B，當時，不成立，故B錯誤；對C，當時，不成立，故C錯誤；對D，因為為增函數(shù)，故時一定成立，故D正確；故選：D2．D【解析】【分析】根據(jù)條件，結(jié)合結(jié)合不等式性質(zhì)判斷A，B，C正確，再舉例說明D錯誤..【詳解】因為，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故選：D.3．D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【詳解】，A錯，B錯；即，C錯；，D正確．故選：D．4．A【解析】【分析】由，，依題意可得只需比較與的大小，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷可得；【詳解】解：因為，又，則，所以要比較與的大小，即比較與的大小，即比較與的大小，當且時，且，即，所以，即，故充分性成立，當時，此時也滿足，故必要性不成立；即“”是“”充分不必要條件；故選：A5．D【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷ABD，取特殊值可判斷C選項.【詳解】選項A：因為，所以，所以，故A錯誤；選項B：因為，則，所以，即，又，所以不等式兩側(cè)同時乘以，則，故B錯誤；選項C：當時，此時，，，，故C錯誤；選項D：因為，所以，則，故D正確.故選：D.6．C【詳解】解：因為，所以，，故AB錯誤；，所以，所以，所以，即，故C正確；對于D，若時，則，故D錯誤.故選：C.7．B【詳解】解：因為，所以．故選：B.8．D【解析】【分析】首先配方判斷、均大于零，然后作商即可比較大小.【詳解】，，則.故，當且僅當時，取等號，故選：D【點睛】本題考查了作商法比較兩個式子的大小，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】【分析】結(jié)合特殊值、差比較法確定正確選項.【詳解】A：令，；，，則，，不滿足，故A錯誤；B：a，b異號時，不等式不成立，故B錯誤；C：，，，，即，故C正確；D：令，，不成立，故D錯誤.故選：C10．A【解析】【分析】先求的范圍，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，求的范圍.【詳解】因為，所以，由，得.故選：A.11．C【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)求解【詳解】，故，，得故選：C12．A【解析】【分析】根據(jù)給定條件解不等式，再分類等價轉(zhuǎn)化即可求解作答.【詳解】因，則有，解得：或，當時，，顯然不成立，無解，當時，，不等式恒成立，解得或，則有，所以使不等式成立的x的取值范圍是.故選：A13．(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）可知，而，即可得證；（2）可知，而，即可得證；(1)證明：，，又，；(2)證明：，，又，．14．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】【分析】（1）將變?yōu)椋貌坏仁酵蛘档目沙诵?，即可證明結(jié)論；（2）由以及，可得，再根據(jù)，同號，得，利用不等式同向正值的可乘性證明結(jié)論；（3）由可得，繼而可得,利用不等式的性質(zhì)可得結(jié)論.(1)證明：因為，所以，又，故，即；(2)證明：因為，，所以，因為，同號，所以，，故，即，所以；(3)證明：因為，所以，又，所以，故.15．詳見解析.【解析】【分析】（1）利用基本不等式即證；（2）利用不等式的性質(zhì)，由，可得<，由<，，可得，即證.【詳解】（1）∵a，b，c，d均為正數(shù)，∴當且僅當時取等號，同理可得，∴，當且僅當時取等號；（2）充分性，因為，，，∴<，必要性，因為<，，所以，綜上，<的充要條件為x>y.16．D【解析】【分析】由不等式性質(zhì)依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，若，由可得：，A錯誤；對于B，若，則，此時未必成立，B錯誤；對于C，當時，，C錯誤；對于D，當時，由不等式性質(zhì)知：，D正確.故選：D.17．B【解析】【分析】作差可得x-y的表達式，根據(jù)題意，分析可得x-y的正負，即可得答案.【詳解】，因為，所以，又，所以，即.故選：B18．B【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，若，，則，故，A錯；對于B選項，若，，則，所以，，故，B對；對于C選項，若，則，則，C錯；對于D選項，若，則，所以，，D錯.故選：B.19．C【解析】【分析】利用特殊值判斷A、B、D，根據(jù)不等式的性質(zhì)證明C；【詳解】解：對于A：當時，若則，故A錯誤；對于B：若，，，，滿足，則，，不成立，故B錯誤；對于C：若，則，所以，故C正確；對于D：若，滿足，但是，故D錯誤；故選：C20．B【解析】【分析】采用作差法，將M＝a1a2，N＝a1＋a2－1相減，根據(jù)條件判斷差的符號，即可比較大小.【詳解】∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，故選：B.21．(1)(2)【解析】【分析】利用作差法得出大小關(guān)系.(1)因為，所以，當且僅當時，取等號.即(2)因為，所以，當且僅當時，取等號.故.22．(1)證明見解析；(2)證明見解析；【解析】【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由，知，利用，即可證得結(jié)論；(1)，兩邊同乘以，則又，兩邊同乘以，則即(2)，兩邊同乘以，得；兩邊同乘以，得，所以又，則，又，則，即23．A【解析】【分析】選項A.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可判斷；選項B.

當為負數(shù)時，根式無意義可判斷；選項C.當時的情況可判斷；選項D.舉特例可判斷.【詳解】選項A.

由，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)可得成立，故選項A正確.選項B.

當為負數(shù)時，根式無意義，則不成立.故選項B不正確.選項C.

當時，不成立.故選項C不正確.選項D.取，顯然滿足，但不成立，故選項D不正確.故選：A24．B【解析】【分析】對于ACD，舉例判斷，對于B，分兩種情況判斷【詳解】對于A，若時，滿足，而不滿足，所以A錯誤，對于B，當時，則一定成立，當時，由，得，則，所以B正確，對于C，若時，滿足，而不滿足，所以C錯誤，對于D，若時，則滿足，而不滿足，所以D錯誤，故選：B25．D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可.【詳解】對于A，若，，滿足，但不成立，錯誤；對于B，若，則，錯誤；對于C，若，，滿足，但不成立，錯誤；對于D，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，正確.故選：D.26．D【解析】【分析】通過作差法來判斷每一個選項.【詳解】對于A，，當時，，即，則A錯誤；對于B，，當時，，則，即，則B錯誤；對于C，，當時，，則，即，則錯誤；對于D，，因為，所以，所以，即，則D正確.故選：D27．D【解析】【分析】據(jù)特值可說明ABC不正確；根據(jù)不等式的性質(zhì)可得D正確.【詳解】對于A，當時，滿足，不滿足，故A不正確；對于B，當時，滿足，不滿足，故B不正確；對于C，當時，滿足，不滿足，故C不正確；對于D，若，則，故D正確.故選：D.28．A【解析】【分析】由于天平的兩臂不等長，故可設(shè)天平左臂長為，右臂長為（不妨設(shè)，先稱得的黃金的實際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實際質(zhì)量為，利用杠桿的平衡原理可得，，再利用作差法比較與12的大小即可．【詳解】由于天平的兩臂不等長，故可設(shè)天平左臂長為，右臂長為（不妨設(shè)，先稱得的黃金的實際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實際質(zhì)量為，由杠桿的平衡原理：，，解得，，則，下面用作差法比較與12的大小，，又，，，顧客實際購買的黃金大于12克．故選：A．29．A【解析】【分析】利用充分條件和必要條件的定義結(jié)合不等式性質(zhì)即可判斷作答.【詳解】a、b都是實數(shù)，若且，由不等式性質(zhì)得：且成立，若且成立，取，而且不成立，所以“且”是“且”的充分非必要條件.故選：A30．C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或通過舉反例，對四個選項進行分析．【詳解】．若，當時，，所以不成立；．若，當時，則，所以不成立；．因為，將兩邊同除以，則，所以成立．若且，當時，則，所以，則不成立．故選：．31．ABC【解析】【分析】對于A：利用同向不等式相加，即可證明；對于B、C：利用不等式的可乘性可以證明；對于D：取特殊值即可否定結(jié)論.【詳解】對于A：因為，所以.因為，利用同向不等式相加，則有.故A正確；對于B：因為，所以，所以，對兩邊同乘以，則有.故B正確；對于C：因為，所以.因為，所以.對兩邊同乘以，有，所以.故C正確；對于D：取，滿足，但是，所以不成立.故D錯誤.故選：ABC32．ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷AD，結(jié)合作差法比較大小判斷BC.【詳解】解：對于A選項，因為，故，故，正確；對于B選項，由于，，故，，故，即，正確；對于C選項，由于，故，故，即，正確；對于D選項，當時，，故錯誤.故選：ABC33．AB【解析】【分析】對于A：利用同向不等式相加可以證明；對于B：利用同向不等式相乘可以證明；對于C：利用不等式的可乘性可以判斷；對于D：取特殊值可以判斷.【詳解】對于A：因為，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正確；對于B：因為，所以，又因為，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正確；對于C：因為，所以.因為，所以.故C錯誤；對于D：取特殊值滿足，但是，，所以.故D錯誤.故選：AB34．ACD【解析】【分析】分別由不等式的同加同乘性質(zhì)可得，注意選項B中為0的情況.【詳解】選項A：，在不等式兩邊同除以得，A正確；選項B：當時，，B錯誤；選項C：同向不等式相加，不等號方向不變，C正確；選項D：，，兩邊同除以得，，D正確.故選：ACD.35．AC【解析】【分析】直接利用不等式的性質(zhì)、構(gòu)造函數(shù)、作差法等進行逐項判斷即可．【詳解】對于A：由于，∴，故A正確；對于B：由于，且，則b－a＞0，∴不一定大于0，故B錯誤；對于C：設(shè)，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故f(b)＞f(a)，可得成立，故C正確；對于D：當時，，故D錯誤．故選：AC．36．AC【解析】【分析】對于AC，舉例判斷，對于B，利用不等式的性質(zhì)判斷，對于D，利用作差法判斷【詳解】對于A，若，則，所以A錯誤，對于B，因為，，所以由不等式的性質(zhì)可得，對于C，若，則，所以C錯誤，對于D，因為，所以，所以，所以，所以D正確，故選：AC37．BD【解析】【分析】根據(jù)舉例說明即可判斷選項A、C，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可判斷選項B、D.【詳解】A：令，滿足，但，故A錯誤；B：因為，所以，故B正確；C：令，，滿足，，但，故C錯誤；D：因為，，由不等式的性質(zhì)，得，故D正確.故選：BD38．BD【解析】【分析】舉出反例可判斷AC，利用不等式的性質(zhì)即可判斷B，利用作差法即可判斷D.【詳解】解：對于A，若，當時，，故A錯誤；對于B，若，且，則，所以，所以，故B正確；對于C，若，當時，，故C錯誤；對于D，若，則，所以，故D正確.故選：BD.39．ABD【解析】【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判斷選項即可.【詳解】對選項A，因為，所以，，所以，故A正確；對選項B，，，所以，因為，所以，即，故B正確；對選項C，令，，滿足，不滿足，.對選項D，因為，，所以，故D正確.故選：ABD40．ACD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)或舉反例的方法來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】由不等式性質(zhì)知若，則，即，A對，取，則，，，B錯，因為，所以，所以(當且僅當時等號成立)，而，故，C對，因為，所以，，所以，D對，故選：ACD.41．③【解析】【分析】利用作差法比較大小即可．【詳解】∵，令②①得：，∴②＞①，令③②得：，∴③＞②，令③④得：，∴③＞④，∴代數(shù)式的值最大的是③.故答案為：③42．【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可得答案.【詳解】因為，，則，所以，即的取值范圍是．故答案為：.43．①②【解析】【分析】利用作差法及不等式性質(zhì)，即可作出判斷.【詳解】①a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，正確；②a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，正確；③a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，若a＝b，則上式＝0，不正確；④若a＜0，則a＋＜0不正確.∴①②一定成立.故答案為：①②44．【解析】【分析】利用差比較法確定正確答案