1.4 充分條件與必要條件-2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步練習(xí)和分類專題教案（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第一章集合與常用邏輯用語課時(shí)1.4充分條件與必要條件1.通過對(duì)典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解必要條件的意義,理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系;理解充分條件的意義,理解判定定理與充分條件的關(guān)系;理解充要條件的意義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.結(jié)合具體問題,利用集合等知識(shí),學(xué)會(huì)判斷充分條件、必要條件和充要條件.3.分清充分性與必要性,培養(yǎng)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.基礎(chǔ)過關(guān)練題組一充分條件、必要條件與充要條件的判定1.若a∈R,則“a=1”是“|a|=1”的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.王昌齡是盛唐時(shí)期著名的邊塞詩人,被譽(yù)為“七絕圣手”,其《從軍行》傳頌至今:“青海長(zhǎng)云暗雪山,孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還.”由此推斷,最后一句“攻破樓蘭”是“返還家鄉(xiāng)”的()A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知四邊形ABCD的兩條對(duì)角線分別為AC,BD,則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件4.設(shè)集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x<0或x>2},則“x∈(A∪B)”是“x∈C”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.設(shè)A,B是兩個(gè)非空集合,則“A∩B=A”是“A=B”的條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).

6.判斷下列命題中p是q的什么條件.(1)p:數(shù)a能被6整除,q:數(shù)a能被3整除;(2)p:x>1,q:x2>1;(3)p:△ABC有兩個(gè)角相等,q:△ABC是正三角形;(4)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.題組二充分條件、必要條件與充要條件的探究7.“x>y”的一個(gè)充分條件是()A.|x|>y B.x2>y2 C.|x|>|y| D.x>|y|8.以下選項(xiàng)中,p是q的充要條件的是()A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5B.p:a>2,b<2,q:a>bC.p:四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直平分,q:四邊形是正方形D.p:a≠0,q:關(guān)于x的方程ax=1有唯一解9.設(shè)a是實(shí)數(shù),則a<5成立的一個(gè)必要不充分條件是()A.a<6 B.a<4C.a2<25 D.1a>10.(多選)設(shè)全集為U,在下列選項(xiàng)中,是B?A的充要條件的有()A.A∪B=A B.(?UA)∩B=?C.(?UA)?(?UB) D.A∪(?UB)=U11.求證:一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件是b=0.題組三充分條件、必要條件與充要條件的應(yīng)用12.已知p:{x|x+2≥0且x-10≤0},q:{x|4-m≤x≤4+m,m>0}.若p是q的充要條件,則實(shí)數(shù)m的值為()A.4 B.5 C.6 D.713.若“x>2”是“x>a”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.{a|a<2} B.{a|a≤2}C.{a|a>2} D.{a|a≥2}14.已知a>0,設(shè)p:-a≤x≤3a;q:-1<x<6.若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.{a|1<a<2} B.{a|1≤a≤2} C.{a|0<a<1} D.{a|0<a≤2}能力提升練題組一充分條件、必要條件與充要條件的判定1.已知a∈R,則“a>1”是“1a<1”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,若p:x≠2或y≠3;q:x+y≠5,則p是q的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.南北朝時(shí)期的偉大數(shù)學(xué)家祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn),他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.其含義是:夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖,夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體的體積分別為V1,V2,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面截得的兩個(gè)截面的面積分別為S1,S2,則“V1,V2相等”是“S1,S2總相等”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.(多選)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,c,給出下列命題,其中真命題是()A.“a=b”是“ac=bc”的充要條件B.“a>b”是“a2>b2”的充分條件C.“a<5”是“a<3”的必要條件D.“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件5.“m<14”是“一元二次方程x2+x+m=0有實(shí)數(shù)解”的題組二充分條件、必要條件與充要條件的探究6.設(shè)x,y是兩個(gè)實(shí)數(shù),命題:“x,y中至少有一個(gè)數(shù)大于1”成立的充分不必要條件是()A.x+y=2 B.x+y>2C.x2+y2>2 D.xy>17.(多選)設(shè)計(jì)如圖所示的四個(gè)電路圖,若p:開關(guān)S閉合,q:燈泡L亮,則符合p是q的充要條件的電路圖是()8.若a,b都是實(shí)數(shù),試從①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中選出適合的條件,用序號(hào)填空:(1)“a,b都為0”的必要條件是;

(2)“a,b都不為0”的充分條件是;

(3)“a,b至少有一個(gè)為0”的充要條件是.

題組三充分條件、必要條件與充要條件的應(yīng)用9.已知p:-1<x<3,若-a<x-1<a(a>0)是p的一個(gè)必要條件,則使a>b恒成立的實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

10.求關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)元素的充要條件.11.已知集合A={x∈R|0<ax+1≤3}(a≠0),集合B={x∈R|-1<x≤2}.若命題p:x∈A,命題q:x∈B,且p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)練1.A當(dāng)a=1時(shí),|a|=1成立,因此“a=1”是“|a|=1”的充分條件;當(dāng)|a|=1時(shí),a=±1,所以a=1不一定成立,因此“a=1”不是“|a|=1”的必要條件.所以“a=1”是“|a|=1”的充分條件,故選A.2.B由題意知“返還家鄉(xiāng)”可推出“攻破樓蘭”,所以“攻破樓蘭”是“返還家鄉(xiāng)”的必要條件.3.A若四邊形ABCD為菱形,則AC⊥BD;反之,若AC⊥BD,則四邊形ABCD不一定是菱形.故選A.4.CA∪B={x∈R|x<0或x>2},C={x∈R|x<0或x>2},∴A∪B=C,∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要條件.思維拓展從集合角度理解充分、必要條件:記命題p,q對(duì)應(yīng)的集合分別為A,B,則有(i)A?B,p是q的充分不必要條件;(ii)A?B,p是q的必要不充分條件;(iii)A=B,p是q的充要條件;(iv)A?B,且A?B,p是q的既不充分也不必要條件.5.答案必要不充分解析由A∩B=A,得A?B,但推不出A=B,因此“A∩B=A”不是“A=B”的充分條件;反過來,由A=B,得A?B,能推出A∩B=A,因此“A∩B=A”是“A=B”的必要條件,故“A∩B=A”是“A=B”的必要不充分條件.6.解析(1)因?yàn)椤皵?shù)a能被6整除”能推出“數(shù)a能被3整除”,即p?q,但“數(shù)a能被3整除”推不出“數(shù)a能被6整除”,如a=9,即q?/p,所以p是q的充分不必要條件.(2)因?yàn)椤皒>1”能推出“x2>1”,即p?q,但當(dāng)“x2>1”時(shí),如x=-2,推不出“x>1”,即q?/p,所以p是q的充分不必要條件.(3)因?yàn)椤啊鰽BC有兩個(gè)角相等”推不出“△ABC是正三角形”,即p?/q,但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有兩個(gè)角相等”,即q?p,所以p是q的必要不充分條件.(4)若“a2+b2=0”,則“a=b=0”,即p?q;若“a=b=0”,則“a2+b2=0”,即q?p,故p?q,所以p是q的充要條件.7.D取x=-2,y=1,適合選項(xiàng)A,B,C,但推不出“x>y”,即選項(xiàng)A,B,C錯(cuò)誤;由x>|y|≥y知,“x>|y|”是“x>y”的一個(gè)充分條件,故選D.8.D對(duì)于A,p:x>1,q:x<1,p?/q且q?/p,所以p是q的既不充分也不必要條件;對(duì)于B,p?q,但q?/p,所以p是q的充分不必要條件;對(duì)于C,p?/q,但q?p,所以p是q的必要不充分條件;對(duì)于D,顯然q?p,所以p是q的充要條件.故選D.9.A∵a<5?a<6,a<6?/a<5,∴a<6是a<5成立的一個(gè)必要不充分條件.故選A.10.ABCD由Venn圖可知,A,B,C,D都是B?A的充要條件,故選ABCD.11.證明①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0).當(dāng)x=0時(shí),y=0,所以一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).②必要性:因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),所以當(dāng)x=0時(shí),y=0,即k×0+b=0,所以b=0.綜上,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的充要條件是b=0.思維拓展對(duì)于充要條件的證明問題,可分別證明充分性與必要性,此時(shí)應(yīng)注意分清楚誰是條件,誰是結(jié)論,充分性是由條件成立來證明結(jié)論成立,而必要性則是由結(jié)論成立證明條件成立;也可進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,此時(shí)應(yīng)注意每一步得出的結(jié)論均必須能反推出得到這個(gè)結(jié)論的所有條件.12.C由已知得p:{x|-2≤x≤10}.由p是q的充要條件得{x|-2≤x≤10}={x|4-m≤x≤4+m,m>0},因此m>13.C由“x>2”是“x>a”的必要不充分條件知,{x|x>a}是{x|x>2}的真子集,將這兩個(gè)集合表示在數(shù)軸上(如圖).由數(shù)軸知a>2,故選C.14.C因?yàn)閜是q的充分不必要條件,所以-a能力提升練1.A由a>1知,a是正數(shù),因此1a<11=1,充分性成立;反之,取a=-1,適合“2.A充分性:x=1,y=4滿足“x≠2或y≠3”,但有x+y=5,故充分性不成立.必要性:當(dāng)x+y≠5成立時(shí),若x=2,則y≠3;若x≠2,則y可能取3也可能不取3.兩種情況都滿足“x≠2或y≠3”,所以必要性成立,即p是q的必要不充分條件.故選A.3.B由祖暅原理知,若S1,S2總相等,則V1,V2相等成立,即必要性成立;若V1,V2相等,則S1,S2不一定相等,即充分性不成立.所以“V1,V2相等”是“S1,S2總相等”的必要不充分條件,故選B.4.CDA中,由a=b可以推出ac=bc,充分性成立,由ac=bc不能推出a=b,例如c=0,a=1,b=2時(shí),1×0=2×0,1≠2,所以必要性不成立,A是假命題;B中,當(dāng)a=0,b=-1時(shí),02<(-1)2,不能推出a2>b2,充分性不成立,B為假命題;C中,由a<3能推出a<5,所以“a<5”是“a<3”的必要條件,C是真命題;D中,由a+5是無理數(shù)可推出a是無理數(shù),所以充分性成立,由a是無理數(shù)也可推出a+5是無理數(shù),所以必要性成立,D為真命題.故選CD.5.答案充分不必要解析一元二次方程x2+x+m=0有實(shí)數(shù)解等價(jià)于Δ=1-4m≥0,解得m≤14.由條件“m<14”可以推出結(jié)論“m≤14”;反過來,由結(jié)論“m≤14”推不出條件“m<146.B對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)x=1,y=1時(shí),滿足x+y=2,但命題不成立;對(duì)于選項(xiàng)C,D,當(dāng)x=-2,y=-3時(shí),滿足x2+y2>2,xy>1,但命題不成立,也不符合題意.故選B.7.BDA中電路圖,開關(guān)S閉合則燈泡L亮,而燈泡L亮?xí)r開關(guān)S不一定閉合,故A中p是q的充分不必要條件;B中電路圖,開關(guān)S閉合則燈泡L亮,燈泡L亮則開關(guān)S一定閉合,故B中p是q的充要條件;C中電路圖,開關(guān)S閉合時(shí)燈泡L不一定亮,燈泡L亮則開關(guān)S一定閉合,故C中p是q的必要不充分條件;D中電路圖,開關(guān)S閉合則燈泡L亮,燈泡L亮則開關(guān)S一定閉合,故D中p是q的充要條件.故選BD.8.答案(1)①②③(2)④(3)①解析①ab=0?a=0或b=0,即a,b中至少有一個(gè)為0;②a+b=0?a,b互為相反數(shù),則a,b可能均為0,也可能一正一負(fù);③a(a2+b2)=0?a=0或a④ab>0?a>0,9.答案{b|b<2}解析∵-a<x-1<a?1-a<x<1+a,∴{x|-1<x<3}?{x|1-a<x<1+a},∴1?a又a>b恒成立,因此b<2,故實(shí)數(shù)b的取值范圍是{b|b<2}.10.解析由方程ax2+2x+1=0的解集中有且最多有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的元素,得若a=0,則x=-12若a≠0,方程ax2+2x+1=0有實(shí)數(shù)根,則