3.4.2 求距離 講義-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版(2020)選擇性必修第一冊(cè)

學(xué)生版第3章空間向量及其應(yīng)用3.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用3.4.2求距離本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識(shí)是平面向量知識(shí)的延伸與拓展，從概念理解到問(wèn)題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對(duì)平面向量的理論進(jìn)行類(lèi)比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問(wèn)題來(lái)處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問(wèn)題，學(xué)生對(duì)向量這一化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會(huì)還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問(wèn)題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問(wèn)題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問(wèn)題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問(wèn)題，體會(huì)向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問(wèn)題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、掌握向量長(zhǎng)度計(jì)算公式．(重點(diǎn))2、會(huì)用向量方法求兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到平面的距離、線(xiàn)面距和面到面的距離．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1、邏輯推理：空間距離的求解；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間距離的求解；【自主學(xué)習(xí)】問(wèn)題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P109－P111的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1、平面、空間的距離概念及其等價(jià)；2、利用向量求點(diǎn)到平面的距離的方法與公式；【知識(shí)梳理】1、距離的概念一個(gè)圖形內(nèi)的任一點(diǎn)與另一圖形內(nèi)的任一點(diǎn)的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離；2、點(diǎn)到平面的距離（1）連接平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，最短；（2）一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的距離，叫做點(diǎn)到這個(gè)平面的距離；3、直線(xiàn)與它的平行平面的距離（1）如果一條直線(xiàn)平行于平面α，則直線(xiàn)上的各點(diǎn)到平面α所作的垂線(xiàn)段相等，即各點(diǎn)到α的距離相等；（2）一條直線(xiàn)上的任一點(diǎn)，與它平行的平面的距離，叫做直線(xiàn)與這個(gè)平面的距離；4、兩個(gè)平行平面的距離（1）和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線(xiàn)，叫做兩個(gè)平面的公垂線(xiàn)，公垂線(xiàn)夾在平行平面間的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線(xiàn)段；（2）兩平行平面的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做兩平行平面的距離；5、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及其求法圖示計(jì)算公式點(diǎn)到直線(xiàn)的距離(是l的單位方向向量)利用向量求點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離步驟：（1）找到直線(xiàn)l的方向向量，并求；（2）在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)；（3）計(jì)算點(diǎn)到點(diǎn)的距離；（4）計(jì)算在向量上的投影；（或）；（5）計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離；6、點(diǎn)到平面的距離及其求法圖示計(jì)算公式點(diǎn)到平面的距離是的單位向量（稱(chēng)為平面的單位法向量）利用向量求點(diǎn)到平面的距離步驟：（1）找到平面的法向量；（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)；（3）計(jì)算在向量上的投影·n0；（4）計(jì)算點(diǎn)到平面的距離；【思考】1、線(xiàn)面距、面面距與點(diǎn)面距有什么關(guān)系？【提示】如圖，P是平面α外一點(diǎn)，PO⊥α于O，PA，PB是α的兩條斜線(xiàn)段.eq\o(PA,\s\up8(→))與eq\o(PB,\s\up8(→))在eq\o(PO,\s\up8(→))上的投影大小相等嗎？如果相等都等于什么？【提示】．【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①平面α外一點(diǎn)A到平面α的距離，就是點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B所成向量eq\o(AB,\s\up8(→))的長(zhǎng)度；（）②直線(xiàn)l∥平面α，則直線(xiàn)l到平面α的距離就是直線(xiàn)l上的點(diǎn)到平面α的距離；（）③若平面α∥β，則兩平面α，β的距離可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某條直線(xiàn)到平面β的距離，也可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某點(diǎn)到平面β的距離；（）④可以用：|eq\o(AB,\s\up8(→))|2=eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))，求空間兩點(diǎn)A、B的距離；（）⑤設(shè)是平面α的法向量，AB是平面α的一條斜線(xiàn)，則點(diǎn)B到α的距離為； ()【提示】；【答案】；【解析】【說(shuō)明】本題主要考查各種距離的幾何特征與對(duì)應(yīng)向量的運(yùn)算；2、已知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)A(2，3，1)，且方向向量為＝(0，1，1)，則點(diǎn)P(4，3，2)到l的距離為()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(10),2) D．eq\r(2)3、已知平面α的一個(gè)法向量＝(－2，－2，1)，點(diǎn)A(－1，3，0)在α內(nèi)，則P(－2，1，4)到α的距離為4、已知直線(xiàn)AB∥平面α，平面α的法向量＝(1，0，1)，平面α內(nèi)一點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0，1)，直線(xiàn)AB上點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2，1)，則直線(xiàn)AB到平面α的距離為_(kāi)_______．【題型探究】題型一、利用向量求空間兩點(diǎn)間的距離例1、如圖所示，正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．（1）求MN的長(zhǎng)；（2）a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小？【說(shuō)明】計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法（1）利用，通過(guò)向量運(yùn)算求||，如求A，B兩點(diǎn)間的距離，一般用|AB|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up15(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up15(→))·\o(AB,\s\up15(→))))求解．（2）用坐標(biāo)法求向量的長(zhǎng)度(或兩點(diǎn)間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)．題型二、利用向量求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離例2、如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求點(diǎn)A1到下列直線(xiàn)的距離：（1）直線(xiàn)AC；（2）直線(xiàn)BD..【說(shuō)明】1、本題(1)利用基本定義直接求解距離．2、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的算法框圖空間一點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離的算法框圖，如圖．題型三、利用向量求點(diǎn)到平面的距離例3、如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a；求點(diǎn)A到平面A1BD的距離；【說(shuō)明】用向量法求點(diǎn)面距的方法與步驟1、建坐標(biāo)系：結(jié)合圖形的特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；2、求向量：在坐標(biāo)系中求出點(diǎn)到平面內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AB,\s\up15(→))；3、求法向量：設(shè)出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為求解方程組，求出法向量n；4、得答案：代入公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|)求得答案.提醒：用向量法求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是確定平面的法向量；題型四、利用向量求線(xiàn)面距離與面面距離例4、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為()A．eq\r(2)aB．eq\r(3)aC．eq\f(\r(2),3)aD．eq\f(\r(3),3)a【說(shuō)明】1、求直線(xiàn)與平面的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡(jiǎn)單為準(zhǔn)則，求直線(xiàn)到平面的距離的題目不多，因線(xiàn)面距可用點(diǎn)面距求解，但在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)有時(shí)用直線(xiàn)到平面的距離過(guò)渡；2、求兩個(gè)平行平面間的距離也可以轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)與平面間的距離或點(diǎn)到平面的距離；【素養(yǎng)提升】1、用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：（1）不必找點(diǎn)在直線(xiàn)上的垂足以及垂線(xiàn)段；（2）在直線(xiàn)上可以任意選點(diǎn)，但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)；（3）直線(xiàn)的方向向量可以任取，但必須保證計(jì)算的準(zhǔn)確性；2、用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：（1）不必找點(diǎn)在直線(xiàn)上的垂足以及垂線(xiàn)段；（2）在直線(xiàn)上可以任意選點(diǎn)，但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)；（3）直線(xiàn)的方向向量可以任取，但必須保證計(jì)算的準(zhǔn)確性.【理解】1、如何理解與認(rèn)識(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離？[提示]點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，由于直線(xiàn)與直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以空間點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為空間某一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題．(1)點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為0.(2)點(diǎn)在直線(xiàn)外時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為此點(diǎn)與過(guò)此點(diǎn)向直線(xiàn)作垂線(xiàn)的垂足間的距離．即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離．2、如何用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離？[提示]設(shè)l是過(guò)點(diǎn)P平行于向量s的直線(xiàn)，A是直線(xiàn)l外一定點(diǎn)，向量eq\o(PA,\s\up15(→))在向量s上的射影的大小為|eq\o(PA,\s\up15(→))·s0|，則點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離d＝eq\r(\o(|\o(PA,\s\up15(→))|2－|\o(PA,\s\up15(→))·s0|2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中s0＝\f(s,|s|))).3、線(xiàn)面距離與面面距離的求法1、求直線(xiàn)與平面的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡(jiǎn)單為準(zhǔn)則，求直線(xiàn)到平面的距離的題目不多，因線(xiàn)面距可用點(diǎn)面距求解，但在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)有時(shí)用直線(xiàn)到平面的距離過(guò)渡；2、求兩個(gè)平行平面間的距離也可以轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)與平面間的距離或點(diǎn)到平面的距離；【即時(shí)練習(xí)】A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練1、已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)BE的距離是()A．eq\f(6\r(5),5)B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)2、已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-EFGH，若點(diǎn)P在正方體內(nèi)部且滿(mǎn)足eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up15(→))，則點(diǎn)P到AB的距離為()A．eq\f(5,6)B．eq\f(\r(181),12)C．eq\f(10\r(30),6)D．eq\f(\r(5),6)3、已知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)P(4,3,2)到直線(xiàn)l的距離為4、已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱的棱長(zhǎng)都等于2，且兩兩夾角都是60°，則A，C1兩點(diǎn)間的距離是________．5、如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為_(kāi)_______．B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練6、如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段C1D，AC上，則線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值是()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(5),3)7、已知平面α的一個(gè)法向量＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(x,3,0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2,1,4)到平面α的距離為eq\f(10,3)，則x＝8、如圖所示，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為_(kāi)_______．9、已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離；10、如圖所示，已知△ABC是以∠B為直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分別是SC，AB，BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面SND的距離．【教師版】第3章空間向量及其應(yīng)用3.4空間向量在立體幾何中的應(yīng)用3.4.2求距離本章將要學(xué)習(xí)的空間向量是從幾何直觀角度講述向量的最高境界；空間向量知識(shí)是平面向量知識(shí)的延伸與拓展，從概念理解到問(wèn)題解決，或可直接化歸到平面向量，或可對(duì)平面向量的理論進(jìn)行類(lèi)比與提升；因此，本章的學(xué)習(xí)，特別要幫助學(xué)生在復(fù)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，理解空間向量的概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量理論上的一脈相承，掌握它們的共性和差異；特別注意，向量理論“可把有關(guān)的幾何問(wèn)題簡(jiǎn)便地轉(zhuǎn)化為相應(yīng)代數(shù)問(wèn)題來(lái)處理”；在“平面向量”一章，由于只能處理平面上的問(wèn)題，學(xué)生對(duì)向量這一化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題的神奇功能和強(qiáng)大威力可能體會(huì)還不深刻；本章中，向量將為處理立體幾何問(wèn)題展現(xiàn)新視角，把許多三維空間中的邏輯推理和度量問(wèn)題歸結(jié)到向量的計(jì)算，使向量方法成為研究幾何問(wèn)題的有效工具；因此，本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)要求是，使學(xué)生能運(yùn)用空間向量方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量問(wèn)題，體會(huì)向量方法和純幾何方法在研究立體幾何問(wèn)題中的共性與差異，進(jìn)一步發(fā)展空間想象能力和幾何直觀能力；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1、掌握向量長(zhǎng)度計(jì)算公式．(重點(diǎn))2、會(huì)用向量方法求兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到平面的距離、線(xiàn)面距和面到面的距離．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1、邏輯推理：空間距離的求解；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間距離的求解；【自主學(xué)習(xí)】問(wèn)題導(dǎo)學(xué)：預(yù)習(xí)教材P109－P111的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1、平面、空間的距離概念及其等價(jià)；2、利用向量求點(diǎn)到平面的距離的方法與公式；【知識(shí)梳理】1、距離的概念一個(gè)圖形內(nèi)的任一點(diǎn)與另一圖形內(nèi)的任一點(diǎn)的距離中的最小值，叫做圖形與圖形的距離；2、點(diǎn)到平面的距離（1）連接平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短；（2）一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)投影的距離，叫做點(diǎn)到這個(gè)平面的距離；3、直線(xiàn)與它的平行平面的距離（1）如果一條直線(xiàn)平行于平面α，則直線(xiàn)上的各點(diǎn)到平面α所作的垂線(xiàn)段相等，即各點(diǎn)到α的距離相等；（2）一條直線(xiàn)上的任一點(diǎn)，與它平行的平面的距離，叫做直線(xiàn)與這個(gè)平面的距離；4、兩個(gè)平行平面的距離（1）和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線(xiàn)，叫做兩個(gè)平面的公垂線(xiàn)，公垂線(xiàn)夾在平行平面間的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線(xiàn)段；（2）兩平行平面的公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做兩平行平面的距離；5、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及其求法圖示計(jì)算公式點(diǎn)到直線(xiàn)的距離(是l的單位方向向量)利用向量求點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離步驟：（1）找到直線(xiàn)l的方向向量，并求；（2）在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)；（3）計(jì)算點(diǎn)到點(diǎn)的距離；（4）計(jì)算在向量上的投影；（或）；（5）計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離；6、點(diǎn)到平面的距離及其求法圖示計(jì)算公式點(diǎn)到平面的距離是的單位向量（稱(chēng)為平面的單位法向量）利用向量求點(diǎn)到平面的距離步驟：（1）找到平面的法向量；（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)；（3）計(jì)算在向量上的投影·n0；（4）計(jì)算點(diǎn)到平面的距離；【思考】1、線(xiàn)面距、面面距與點(diǎn)面距有什么關(guān)系？【提示】都可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離；如圖，P是平面α外一點(diǎn)，PO⊥α于O，PA，PB是α的兩條斜線(xiàn)段.eq\o(PA,\s\up8(→))與eq\o(PB,\s\up8(→))在eq\o(PO,\s\up8(→))上的投影大小相等嗎？如果相等都等于什么？【提示】相等，都等于|eq\o(PO,\s\up8(→))|，即P到平面α的距離．【自我嘗試】1、判斷下列命題的真假（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”）①平面α外一點(diǎn)A到平面α的距離，就是點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B所成向量eq\o(AB,\s\up8(→))的長(zhǎng)度；（）②直線(xiàn)l∥平面α，則直線(xiàn)l到平面α的距離就是直線(xiàn)l上的點(diǎn)到平面α的距離；（）③若平面α∥β，則兩平面α，β的距離可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某條直線(xiàn)到平面β的距離，也可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某點(diǎn)到平面β的距離；（）④可以用：|eq\o(AB,\s\up8(→))|2=eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))，求空間兩點(diǎn)A、B的距離；（）⑤設(shè)是平面α的法向量，AB是平面α的一條斜線(xiàn)，則點(diǎn)B到α的距離為； ()【提示】理解距離的概念分類(lèi)與向量的關(guān)聯(lián)；【答案】①×；②√；③√；④√；⑤√；【解析】對(duì)于①，應(yīng)該是點(diǎn)A到平面α的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，所以，①是假命題； ()對(duì)于②，由線(xiàn)面平行性質(zhì)定理可以證明②是真命題；對(duì)于③，由面面平行性質(zhì)定理可以證明③是真命題；|eq\o(AB,\s\up8(→))|2=eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))對(duì)于④，由向量模的定義，④是真命題；對(duì)于⑤，由向量運(yùn)算，⑤是真命題【說(shuō)明】本題主要考查各種距離的幾何特征與對(duì)應(yīng)向量的運(yùn)算；2、已知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)A(2，3，1)，且方向向量為＝(0，1，1)，則點(diǎn)P(4，3，2)到l的距離為()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(10),2) D．eq\r(2)【答案】A；【解析】eq\o(PA,\s\up8(→))＝(－2，0，－1)，|eq\o(PA,\s\up8(→))|＝eq\r(5)，eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\f(n,|n|)＝eq\f(－1,\r(2))，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d＝eq\r(|\o(PA,\s\up8(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up8(→))·\f(n,|n|)))\s\up16(2))＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2)；3、已知平面α的一個(gè)法向量＝(－2，－2，1)，點(diǎn)A(－1，3，0)在α內(nèi)，則P(－2，1，4)到α的距離為【答案】eq\f(10,3)；【解析】∵A(－1，3，0)，P(－2，1，4)，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝(－1，－2，4)，∵n＝(－2，－2，1)，∴n0＝eq\f(n,|n|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(2,3)，\f(1,3)))，∴d＝|eq\o(AP,\s\up8(→))·n0|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（－1）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋（－2）×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＋4×\f(1,3)))＝eq\f(10,3)；4、已知直線(xiàn)AB∥平面α，平面α的法向量＝(1，0，1)，平面α內(nèi)一點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0，1)，直線(xiàn)AB上點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2，1)，則直線(xiàn)AB到平面α的距離為_(kāi)_______．【答案】eq\f(\r(2),2)；【解析】eq\o(CA,\s\up8(→))＝(1，2，0)，直線(xiàn)AB到平面α的距離d＝|eq\o(CA,\s\up8(→))·n0|＝eq\f(\r(2),2)；【題型探究】題型一、利用向量求空間兩點(diǎn)間的距離例1、如圖所示，正方形ABCD，ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．（1）求MN的長(zhǎng)；（2）a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小？【提示】建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解；【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，C(0,0,1)．因?yàn)镃M＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，且四邊形ABCD，ABEF為正方形，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0))，所以eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a－1))，所以|eq\o(MN,\s\up15(→))|＝eq\r(a2－\r(2)a＋1).（2）由(1)知MN＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))，所以，當(dāng)a＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，MN＝eq\f(\r(2),2).即當(dāng)a＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小值為eq\f(\r(2),2)；【說(shuō)明】計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法（1）利用，通過(guò)向量運(yùn)算求||，如求A，B兩點(diǎn)間的距離，一般用|AB|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up15(→))|2))＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up15(→))·\o(AB,\s\up15(→))))求解．（2）用坐標(biāo)法求向量的長(zhǎng)度(或兩點(diǎn)間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)．題型二、利用向量求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離例2、如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求點(diǎn)A1到下列直線(xiàn)的距離：（1）直線(xiàn)AC；（2）直線(xiàn)BD.【提示】注意點(diǎn)到直線(xiàn)距離的幾何特征與對(duì)應(yīng)向量的表示；【解析】（1）在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，顯然AA1⊥AC，所以AA1＝5即為所求點(diǎn)A1到直線(xiàn)AC的距離．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有B(4，3，0)，A1(4，0，5)．eq\o(DB,\s\up8(→))＝(4，3，0)，eq\o(DA1,\s\up8(→))＝(4，0，5)，eq\f(\o(DA1,\s\up8(→))·\o(DB,\s\up8(→)),|\o(DB,\s\up8(→))|)＝eq\f(16,5)，設(shè)點(diǎn)A1到直線(xiàn)BD的距離為d，所以，d＝eq\r(|\o(DA1,\s\up8(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(DA1,\s\up8(→))·\o(DB,\s\up8(→)),|\o(DB,\s\up8(→))|)))\s\up16(2))＝eq\r(41－\f(256,25))＝eq\f(\r(769),5).【說(shuō)明】1、本題(1)利用基本定義直接求解距離．2、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的算法框圖空間一點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離的算法框圖，如圖．題型三、利用向量求點(diǎn)到平面的距離例3、如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a；求點(diǎn)A到平面A1BD的距離；【提示】本題可以利用等體積法求解，也可以通過(guò)建系利用向量法求解；【解析】方法1、設(shè)點(diǎn)A到平面A1BD的距離為h，則VB-AA1D＝eq\f(1,3)×a×eq\f(1,2)×a×a＝eq\f(1,6)a3，VA-A1BD＝eq\f(1,3)×h×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝eq\f(\r(3),6)a2h，∵VA-A1BD＝VB-AA1D，∴h＝eq\f(\r(3),3)a，∴點(diǎn)A到平面A1BD的距離為eq\f(\r(3),3)a.方法2、如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系B1xyz，則A1(a,0,0)，A(a,0，a)，D(a，a，a)，B(0,0，a)，則eq\o(BD,\s\up15(→))＝(a，a,0)，eq\o(A1D,\s\up15(→))＝(0，a，a)，eq\o(AB,\s\up15(→))＝(－a,0,0)．設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BD,\s\up15(→))＝0，,n·\o(A1D,\s\up15(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋ay＝0，,ay＋az＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,y＋z＝0.))令y＝－1，則x＝z＝1，∴n＝(1，－1,1)．∴eq\o(AB,\s\up15(→))·n＝(－a,0,0)·(1，－1,1)＝－a.∴點(diǎn)A到平面A1BD的距離d＝eq\f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq\f(|－a|,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a.【說(shuō)明】用向量法求點(diǎn)面距的方法與步驟1、建坐標(biāo)系：結(jié)合圖形的特點(diǎn)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；2、求向量：在坐標(biāo)系中求出點(diǎn)到平面內(nèi)任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AB,\s\up15(→))；3、求法向量：設(shè)出平面的法向量，利用向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為求解方程組，求出法向量n；4、得答案：代入公式d＝eq\f(|\o(AB,\s\up15(→))·n|,|n|)求得答案.提醒：用向量法求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是確定平面的法向量；題型四、利用向量求線(xiàn)面距離與面面距離例4、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為()A．eq\r(2)aB．eq\r(3)aC．eq\f(\r(2),3)aD．eq\f(\r(3),3)a【提示】注意面面距離與點(diǎn)面距離的轉(zhuǎn)化【答案】D【解析】由正方體的性質(zhì)，易得平面AB1D1∥平面BDC1，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面AB1D1的距離．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，eq\o(CA1,\s\up15(→))＝(a，－a，a)，eq\o(BA,\s\up15(→))＝(0，－a,0)，連接A1C，由A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一個(gè)法向量為n＝(1，－1,1)，則兩平面間的距離d＝|eq\o(BA,\s\up15(→))·eq\f(n,|n|)|＝eq\f(a,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)a.；【說(shuō)明】1、求直線(xiàn)與平面的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡(jiǎn)單為準(zhǔn)則，求直線(xiàn)到平面的距離的題目不多，因線(xiàn)面距可用點(diǎn)面距求解，但在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)有時(shí)用直線(xiàn)到平面的距離過(guò)渡；2、求兩個(gè)平行平面間的距離也可以轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)與平面間的距離或點(diǎn)到平面的距離；【素養(yǎng)提升】1、用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：（1）不必找點(diǎn)在直線(xiàn)上的垂足以及垂線(xiàn)段；（2）在直線(xiàn)上可以任意選點(diǎn)，但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)；（3）直線(xiàn)的方向向量可以任取，但必須保證計(jì)算的準(zhǔn)確性；2、用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn)：（1）不必找點(diǎn)在直線(xiàn)上的垂足以及垂線(xiàn)段；（2）在直線(xiàn)上可以任意選點(diǎn)，但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)；（3）直線(xiàn)的方向向量可以任取，但必須保證計(jì)算的準(zhǔn)確性.【理解】1、如何理解與認(rèn)識(shí)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離？[提示]點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，由于直線(xiàn)與直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以空間點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為空間某一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題．(1)點(diǎn)在直線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為0.(2)點(diǎn)在直線(xiàn)外時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為此點(diǎn)與過(guò)此點(diǎn)向直線(xiàn)作垂線(xiàn)的垂足間的距離．即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離．2、如何用向量法求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離？[提示]設(shè)l是過(guò)點(diǎn)P平行于向量s的直線(xiàn)，A是直線(xiàn)l外一定點(diǎn)，向量eq\o(PA,\s\up15(→))在向量s上的射影的大小為|eq\o(PA,\s\up15(→))·s0|，則點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離d＝eq\r(\o(|\o(PA,\s\up15(→))|2－|\o(PA,\s\up15(→))·s0|2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中s0＝\f(s,|s|))).3、線(xiàn)面距離與面面距離的求法1、求直線(xiàn)與平面的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡(jiǎn)單為準(zhǔn)則，求直線(xiàn)到平面的距離的題目不多，因線(xiàn)面距可用點(diǎn)面距求解，但在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)有時(shí)用直線(xiàn)到平面的距離過(guò)渡；2、求兩個(gè)平行平面間的距離也可以轉(zhuǎn)化為求直線(xiàn)與平面間的距離或點(diǎn)到平面的距離；【即時(shí)練習(xí)】A級(jí)：“四基”鞏固訓(xùn)練1、已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)BE的距離是()A．eq\f(6\r(5),5)B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)【答案】B；【解析】如圖所示，eq\o(BA,\s\up8(→))＝(2，0，0)，eq\o(BE,\s\up8(→))＝(1，0，2)，eq\f(\o(BA,\s\up8(→))·\o(BE,\s\up8(→)),|\o(BE,\s\up8(→))|)＝eq\f(2\r(5),5)A到直線(xiàn)BE的距離d＝eq\r(|\o(BA,\s\up8(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BA,\s\up8(→))·\o(BE,\s\up8(→)),|\o(BE,\s\up8(→))|)))\s\up16(2))＝eq\r(4－\f(4,5))＝eq\f(4\r(5),5).]2、已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-EFGH，若點(diǎn)P在正方體內(nèi)部且滿(mǎn)足eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up15(→))，則點(diǎn)P到AB的距離為()A．eq\f(5,6)B．eq\f(\r(181),12)C．eq\f(10\r(30),6)D．eq\f(\r(5),6)【答案】A；【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(3,4)(1,0,0)＋eq\f(1,2)(0,1,0)＋eq\f(2,3)(0,0,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).又eq\o(AB,\s\up15(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(AP,\s\up15(→))在eq\o(AB,\s\up15(→))上的投影為eq\f(\o(AP,\s\up15(→))·\o(AB,\s\up15(→)),|\o(AB,\s\up15(→))|)＝eq\f(3,4)，∴點(diǎn)P到AB的距離為eq\r(\o(|\o(AP,\s\up15(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AP,\s\up15(→))·\o(AB,\s\up15(→)),|\o(AB,\s\up15(→))|)))2))＝eq\f(5,6).]3、已知直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)P(4,3,2)到直線(xiàn)l的距離為【答案】eq\f(3\r(2),2)；【解析】eq\o(PA,\s\up15(→))＝(－2,0，－1)，|eq\o(PA,\s\up15(→))|＝eq\r(5)，eq\f(|\o(PA,\s\up15(→))·n|,|n|)＝eq\f(\r(2),2)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離d＝eq\r(\o(|\o(PA,\s\up15(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PA,\s\up15(→))·n,|n|)))2))＝eq\r(5－\f(1,2))＝eq\f(3\r(2),2)；4、已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱的棱長(zhǎng)都等于2，且兩兩夾角都是60°，則A，C1兩點(diǎn)間的距離是________．【答案】2eq\r(6)；【解析】設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up15(→))＝c，易得eq\o(AC1,\s\up15(→))＝a＋b＋c，則|eq\o(AC1,\s\up15(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up15(→))·eq\o(AC1,\s\up15(→))＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以|eq\o(AC1,\s\up15(→))|＝2eq\r(6)；5、如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為_(kāi)_______．【答案】eq\f(\r(21),7)；【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，B(0,1,0)，B1(0，1,1)，C1(0,0,1)，則eq\o(C1A,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，eq\o(C1B1,\s\up15(→))＝(0,1,0)，eq\o(C1B,\s\up15(→))＝(0,1，－1)．設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(C1A,\s\up15(→))·n＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y－1＝0，,\o(C1B,\s\up15(→))·n＝y(tǒng)－1＝0，))解得＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1，1))，則所求距離為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(C1B1,\s\up15(→))·n,|n|)))＝eq\f(1,\r(\f(1,3)＋1＋1))＝eq\f(\r(21),7)；B級(jí)：“四能”提升訓(xùn)練6、如圖所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線(xiàn)段C1D，AC上，則線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最小值是()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(\r(5),3)【答案】C；【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)．根據(jù)題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，則PQ＝eq\r(1－μ2＋μ－λ2＋4λ2)＝eq\r(2μ2＋5λ2－2λμ－2μ＋1)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,5)μ))2＋\f(9,5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(5,9)))2＋\f(4,9))，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝eq\f(1,9)，μ＝eq\f(5,9)時(shí)，線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)度取得最小值eq\f(2,3).]7、已知平面α的一個(gè)法向量＝(－2，－2,1)，點(diǎn)A(x,3,0)在平面α內(nèi)，則點(diǎn)P(－2,1,4)到平面α的距離為eq\f(10,3)，則x＝【答案】－1或－11；【解析】eq\o(PA,\s\up15(→))＝(x＋2,2，－4)，而d＝eq\b\