3.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)（十大題型）（解析版）

3．1．2橢圓的幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能說出橢圓的簡單幾何性質(zhì)，并能證明性質(zhì)，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想．1、根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形．2、根據(jù)幾何條件求出曲線方程，利用曲線的方程研究它的性質(zhì)，并能畫出相應(yīng)的曲線．知識點一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)我們根據(jù)橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的范圍橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足，．橢圓的對稱性對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，把換成，或把換成，或把、同時換成、，方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心．橢圓的頂點①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點．②橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為，，，．③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，，．和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．橢圓的離心率①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作．②因為，所以的取值范圍是．越接近1，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)時，，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為．知識點詮釋：橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3），，；【即學(xué)即練1】（多選題）（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓C上的動點（P不在x軸上），則（

）A．橢圓C的焦點在x軸上 B．△的周長為C．的取值范圍為 D．橢圓的離心率為【答案】ABD【解析】A：由橢圓方程知：，故橢圓C的焦點在x軸上，正確；B：由，且△的周長為，正確；C：由P為橢圓C上的動點且不在x軸上，則，錯誤；D：橢圓的離心率為，正確.故選：ABD知識點二：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a、b、c的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，，且．可借助下圖幫助記憶：a、b、c恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊．和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點三角形有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算與解題，將有關(guān)線段、、，有關(guān)角（）結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系．【即學(xué)即練2】（多選題）（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知，為橢圓的左、右焦點，點為橢圓上一點，且，下列說法正確的是（

）A． B．離心率范圍C．當(dāng)點為短軸端點時，為等腰直角三角形 D．若，則【答案】ABD【解析】∵，∴，又，∴，∴，故A正確；∵，，∴，即，∴，故B正確；當(dāng)點為短軸端點時，∵，，∴為等邊三角形，故C錯誤；若，又∴，∴，不妨設(shè)為銳角，則為鈍角，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，故D正確.故選：ABD知識點三：橢圓兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點，，軸長軸長=，短軸長=離心率知識點詮釋：橢圓，的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不相同；橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看、的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上．【即學(xué)即練3】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考階段練習(xí)）已知曲線的方程為，則下列說法正確的是.①曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；②的取值范圍是；③曲線是一個橢圓；④曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.【答案】①【解析】對于①，若點滿足曲線的方程，則點也一定滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，故①正確；對于②，，所以，故②錯誤；對于③，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，所以曲線由兩個拋物線的部分組成的，不是橢圓，故③錯誤；對于④，因為橢圓的面積與橢圓的面積相等，作出曲線與橢圓，由圖可知，曲線圍成區(qū)域的面積大于橢圓圍成區(qū)域的面積，所以曲線圍成區(qū)域的面積大于橢圓圍成區(qū)域的面積，故④錯誤.故答案為：①.知識點四：直線與橢圓的位置關(guān)系平面內(nèi)點與橢圓的位置關(guān)系橢圓將平面分成三部分：橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，因此，平面上的點與橢圓的位置關(guān)系有三種，任給一點，若點在橢圓上，則有；若點在橢圓內(nèi)，則有；若點在橢圓外，則有．直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點（或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點（或一個公共點）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．直線與橢圓的相交弦設(shè)直線交橢圓于點，兩點，則同理可得這里，的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：【即學(xué)即練4】（2023·全國·高二課堂例題）過橢圓的左焦點引直線交橢圓于A，B兩點，且，則直線方程為．【答案】或【解析】橢圓，即，則，，，左焦點為，設(shè)直線為，，由，得，整理得，因為，所以，所以，，解得，所以直線為，即或．故答案為：或知識點五：解決橢圓中點弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決；2、點差法：利用交點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線（不平行于軸）過橢圓（）上兩點、，其中中點為，則有．【即學(xué)即練5】（2023·江西宜春·高二上高二中校考階段練習(xí)）已知橢圓，過點的直線交橢圓于、兩點，若為的中點，則直線的方程為【答案】【解析】設(shè)點、，由中點坐標(biāo)公式可得，所以，因為，兩式作差得，即，即，所以，，因此，直線的方程為，即.故答案為：.題型一：橢圓的幾何性質(zhì)例1．（多選題）（2023·遼寧大連·高二大連市第二十三中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)橢圓C：的左?右焦點分別為?，上?下頂點分別為?，點P是C上異于?的一點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若C的離心率為，則直線與的斜率之積為B．若，則的面積為C．若C上存在四個點P使得，則C的離心率的范圍是D．若恒成立，則C的離心率的范圍是【答案】BD【解析】A.設(shè)，所以，因為，所以.所以，所以該選項錯誤；B.若，則所以則的面積為所以該選項正確；C.若C上存在四個點P使得，即C上存在四個點P使得的面積為，所以，所以該選項錯誤；D.若恒成立，所以，所以，所以該選項正確.故選：BD例2．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，把橢圓的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=.

【答案】28【解析】根據(jù)題意，把橢圓的長軸AB分成8等份，設(shè)另一焦點為F2，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則根據(jù)橢圓的對稱性知，|P1F|+|P7F|=|P7F2|+|P7F|=2a，同理，其余兩對的和也是2a，又|P4F|=a，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=28.故答案為：28.例3．（2023·貴州黔西·高二?？计谥校┮阎獧E圓的焦點在x軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則．【答案】4【解析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，所以長軸長為2，短軸長為，由題意得，解得．故答案為：4變式1．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為.【答案】或【解析】因為橢圓的離心率為，易知，當(dāng)時，橢圓焦點在軸上，，，所以，解得，則，所以橢圓的長軸長為.當(dāng)時，橢圓焦點在軸上，，，所以，得，滿足題意，此時，所以橢圓的長軸長為.故答案為：或.變式2．（2023·上海浦東新·高二上海市進才中學(xué)校考期末）一個半徑為1的球置于水平地面上，受到與水平地面夾角為的太陽光線照射，球在地面的影子邊沿是一個橢圓，則橢圓的焦距等于.【答案】/【解析】如圖：在照射過程中，橢圓的短半軸長是圓的半徑，故，橢圓長軸長是，過向作垂線，垂足為，則，，所以，故焦距.故答案為：.題型二：根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值例4．（2023·湖北宜昌·高二當(dāng)陽一中?？茧A段練習(xí)）P點在橢圓上，B(0，3)，則BP長的最大值為.【答案】【解析】設(shè)，，，當(dāng)時，的最大值是.故答案為：例5．（2023·黑龍江大慶·高二大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）以為焦點的橢圓上有一動點M，則的最大值為.【答案】3【解析】因為為橢圓的焦點，所以，，所以由，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，如圖所示：因為為橢圓的左焦點，為橢圓上的動點，故當(dāng)處于右頂點時最大，且最大值為，故答案為：3.例6．（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點，點為橢圓上的動點，則.【答案】【解析】設(shè)，則，將代入上式中得：，∵，∴當(dāng)時，故答案為：變式3．（2023·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)點，分別為橢圓C：的左，右焦點，點是橢圓上任意一點，若使得成立的點恰好是4個，則實數(shù)的一個取值可以為.【答案】0（答案不唯一）【解析】因為點分別為橢圓的左、右焦點,,即.設(shè)，,由,可得,又因為在橢圓上,即,所以,要使得成立的點恰好是4個,則,解得,所以的值可以是任意一個值，故答案為：0(答案不唯一)變式4．（2023·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）若為橢圓上的一點，，分別是橢圓的左、右焦點，則的最大值為.【答案】/【解析】易知當(dāng)點為橢圓與軸的交點時，最大，因為橢圓方程為，所以，，此時，，滿足，所以為等腰直角三角形，所以．故答案為：變式5．（2023·高二課時練習(xí)）已知點M是橢圓上的一動點，點T的坐標(biāo)為，點N滿足，且∠MNT＝90°，則的最大值是．【答案】【解析】設(shè)點，則，即，，，當(dāng)時，，而，，因此，所以當(dāng)點時，取得最大值.故答案為：題型三：求離心率的值例7．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓為橢圓的對稱中心，為橢圓的一個焦點，為橢圓上一點，軸，與橢圓的另一個交點為點為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，不妨設(shè)，因為點在橢圓上，所以，解得，所以，又因為為等腰直角三角形，所以,即，即，所以，解得或（舍），故選:B.例8．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點四點．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線：，可得，設(shè)的中點為，連接OM，則，，因為，則，即為弦的中點，設(shè)，則，因為，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：D.例9．（2023·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為圓經(jīng)過點為，則，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，，則，因此，橢圓的離心率為.故選：A.變式6．（2023·北京·高二101中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B，C是橢圓上的三個點，直線AB經(jīng)過原點O，直線AC經(jīng)過橢圓的右焦點F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓左焦點為，連接，設(shè)，結(jié)合橢圓對稱性得，由橢圓定義得，則.因為，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，故，故選：C變式7．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）如圖，直線過橢圓的左焦點和一個頂點B，該橢圓的離心率為（）

A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)橢圓的焦距為，則，因為直線的斜率，由題意可得，則，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D.變式8．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知橢圓E：與直線相交于A，B兩點，O是坐標(biāo)原點，如果是等邊三角形，那么橢圓E的離心率等于（）A． B．C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立方程，解得，不妨設(shè)點B在第一象限，則，由題意可知：OB的傾斜角是，則，所以橢圓的離心率.故選：C．變式9．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直線與橢圓分別相切，顯然直線與直線垂直，且交點為，由題意點在圓上，所以，所以，故橢圓的離心率．故選：A.變式10．（2023·高二校考期末）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，且，過P作的垂線交x軸于點A，若，記橢圓的離心率為e，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，,所以,可得.在中，.由橢圓的定義可得，故，所以，所以.故選:A.變式11．（2023·河南鶴壁·高二鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）已知點，分別是橢圓：的左、右焦點，點P是橢圓E上的一點，若的內(nèi)心是G，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點G到各邊的距離為，由，得，即，由橢圓定義知，，于是，所以橢圓E的離心率.故選：B變式12．（2023·云南昭通·高二?？计谥校┮阎獧E圓的一個焦點為，點是橢圓上的一個動點，的最小值為，且存在點，使得（點為坐標(biāo)原點）為正三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓的定義可得，要使（點為坐標(biāo)原點）為正三角形，不妨設(shè)點為右焦點，則存在，即，將代入橢圓的方程得將代入上式得，化簡得，則，代入，得，所以，代入，可得，所以.故選：D.題型四：求離心率的范圍例10．（2023·寧夏·高二寧夏育才中學(xué)校考期中）已知橢圓的離心率為e，，分別為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點使得是鈍角，則滿足條件的范圍【答案】【解析】如圖，當(dāng)動點在橢圓長軸端點處沿橢圓弧向短軸端點運動時，對兩個焦點的張角漸漸增大，當(dāng)且僅當(dāng)點位于短軸端點處時，張角達到最大值．橢圓上存在點使得是鈍角，中，，中，，，即，，可得，，，，故答案為：.例11．（2023·黑龍江綏化·高二綏化市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓上有一點，，是橢圓的左、右焦點，若使得為直角三角形的點有8個，則橢圓的離心率的范圍是．【答案】【解析】由橢圓的對稱性，為直角，共有4個位置，為直角，共有4個位置，于是以為直徑的圓與橢圓有4個交點.又離心率越大橢圓越扁，而當(dāng)點P在y軸上時，，于是，若要滿足題意，.故答案為：.例12．（2023·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知點是橢圓的左焦點，過原點作直線交橢圓于兩點，分別是的中點，若，則橢圓的離心率的范圍是．【答案】【解析】如圖，設(shè)橢圓的右焦點為,連接.因為,所以.同理.因為，所以.因為,所以四邊形是矩形.設(shè)，所以，所以，所以，所以.故答案為：變式13．（2023·天津?qū)幒印じ叨旖蚴袑幒訁^(qū)蘆臺第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點是橢圓的左焦點，過原點作斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點，分別是，的中點，若存在以為直徑的圓過原點，則橢圓的離心率的范圍是.【答案】【解析】如圖所示，當(dāng)點分別是、的中點時，是的兩條中位線，若以為直徑的圓過原點，則有,，設(shè)點，則點,又點，所以，，,則，又，所以，，得，即只需，整理得：解得，又，所以.故答案為：變式14．（2023·高二單元測試）已知橢圓的左右焦點分別為，且，若在橢圓上存在點，使得過點可作以為直徑的圓的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的范圍為.【答案】【解析】如圖所示，根據(jù)題意知為正方形，，故，解得答案.如圖所示，根據(jù)題意知：為正方形，故，故，故，解得，又，故，故.故答案為：.變式15．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓：的左，右焦點分別為，，焦距為，是橢圓上一點（不在坐標(biāo)軸上），是的平分線與軸的交點，若，則橢圓離心率的范圍是．【答案】【解析】∵，∴，，∵是的角平分線，∴，則，由，得，由，可得，由，∴橢圓離心率的范圍是．故答案為：變式16．（2023·江蘇南通·高二江蘇省西亭高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）、是橢圓的左、右焦點，在橢圓上存在點使得則離心率范圍．【答案】.【解析】分析：由橢圓定義可得，解得，由題意可得，解不等式求得離心率e的取值范圍.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，，則由橢圓定義可得，，由題意可得，.故答案為：.變式17．（2023·黑龍江·高二統(tǒng)考期末）已知是橢圓的兩焦點，為橢圓上一點，若，則離心率的范圍是.【答案】【解析】設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），||||在△中，由余弦定理可知，4c2＝m2+n2﹣2mncos60°．∵m+n＝2a，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4a2﹣2mn，∴4c2＝4a2﹣3mn．即3mn＝4a2﹣4c2．又mna2（當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號），∴4a2﹣4c2≤3a2，∴，即e．∴e的取值范圍是[，1）．故答案為變式18．（2023·四川眉山·高二四川省眉山第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，分別為橢圓的左、右焦點，若直線上存在點，使為等腰三角形，則橢圓離心率的范圍是．【答案】【解析】為等腰三角形，只可能即，又因為點在直線上，即又因為橢圓所以故填變式19．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓的左右焦點為，，以為直徑的圓與橢圓有四個交點，則橢圓離心率的范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因為以為直徑的圓與橢圓有四個交點，所以，即，，，所以，即，又因為，所以橢圓離心率的取值范圍為．故選：A．變式20．（2023·高二課時練習(xí)）已知點A、B為橢圓的長軸頂點，P為橢圓上一點，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得：，所以故選：A．變式21．（2023·安徽安慶·高二安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓（a＞b＞0）上存在一點P滿足，分別為橢圓的左右焦點，則橢圓的離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為橢圓（a＞b＞0）上存在一點P滿足，即，所以點P落在以為直徑的圓上，所以有解，即有解，所以.即，所以，所以，又橢圓的離心率，所以.故選：D變式22．（2023·四川成都·高二石室中學(xué)校考階段練習(xí)）已知P為橢圓上一點，為橢圓焦點，且，則橢圓離心率的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由P為橢圓上一點，.又，所以又，即.即，得，即故選：D題型五：點與橢圓的位置關(guān)系例13．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若點在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點不在橢圓上 B．點不在橢圓上C．點在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關(guān)系【答案】C【解析】點與點關(guān)于原點對稱，點與關(guān)于軸對稱，點與關(guān)于軸對稱，若點在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性，，，三點都在橢圓上，故選：C例14．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點和焦點在軸上的橢圓：，且過作橢圓的切線有兩條，則該橢圓半焦距的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，點在橢圓的外部.所以，，所以.又橢圓焦點在軸上，所以，所以.又，所以，所以.故選：C.例15．（2023·山東青島·高二山東省萊西市第一中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）若直線與圓沒有公共點，則過點的一條直線與橢圓的公共點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【解析】圓的圓心，半徑為，因為直線與圓沒有公共點，所以圓心到直線的距離大于半徑，得，即，所以，則點在橢圓內(nèi)部，所以過點的直線與橢圓必有2個公共點.故選：C.變式23．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓，則下列各點不在橢圓內(nèi)部的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由橢圓方程為，因為，所以點在橢圓內(nèi)部，A錯誤；因為，所以點在橢圓內(nèi)部，B錯誤；因為，所以點在橢圓外部，C正確；因為，所以點在橢圓內(nèi)部，D錯誤.故選：C.變式24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為點在橢圓的外部，所以,解得,故選：B.題型六：直線與橢圓的位置關(guān)系例16．（2023·高二課時練習(xí)）若直線與橢圓有唯一公共點，則實數(shù)．【答案】【解析】直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去，得①.方程①的判別式.因為直線l與橢圓C有唯一公共點．則，解得.故答案為：.例17．（2023·上海閔行·高二校考階段練習(xí)）直線與橢圓恒有兩個不同的交點，則a的取值范圍是．【答案】【解析】橢圓長半軸長為，由題意得，則若恒有兩個不同的交點，則，故答案為：.例18．（2023·上海閔行·高二閔行中學(xué)校考期中）直線與曲線的公共點的個數(shù)是.【答案】【解析】當(dāng)時，曲線可化為，表示橢圓的右半部分，因為直線過點，所以此時直線與曲線曲線有兩個交點，當(dāng)時，曲線可化為表示雙曲線的上支和下支的左半部分，此時直線與曲線沒有交點，綜上可知：直線與曲線的公共點的個數(shù)是.故答案為：.變式25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線和曲線的位置關(guān)系為.【答案】相交【解析】曲線為：可得直線恒過，由知定點在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交.題型七：弦長問題例19．（2023·高二課時練習(xí)）過橢圓的左焦點且斜率為的弦的長是．【答案】/【解析】設(shè)點、，在橢圓中，，，，所以，橢圓的左焦點坐標(biāo)為，則直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，.故答案為：.例20．（2023·高二課時練習(xí)）直線被橢圓所截得的弦長為，求實數(shù)的值．【解析】聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)直線與橢圓的交點為，可得，解得，且，由弦長公式可得，因為直線截橢圓所得的弦長為，所以，解得，即實數(shù)的值為或.例21．（2023·浙江臺州·高二校聯(lián)考期中）已知點與定點的距離和它到定直線的距離比是.(1)求點的軌跡方程；(2)若直線與軌跡交于兩點，為坐標(biāo)原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.【解析】（1）設(shè)點坐標(biāo)為，化解可得：.（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，AI消去可得：，所以，即，則，，，把韋達定理代入可得：，整理得，滿足，又，而點到直線的距離，所以，把代入，則，可得是定值1.變式26．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓C：，左，右焦點分別為，，橢圓C經(jīng)過，．(1)求橢圓C的方程；(2)若點P使得，求的面積．【解析】（1）因為橢圓C經(jīng)過，．則，解得，．所以橢圓C的方程為．（2）由（1）知，，假設(shè)橢圓C上存在點，使得，則，即，聯(lián)立，解得，．∴橢圓C上存在點P使得．∴．變式27．（2023·陜西商洛·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的下焦點、上焦點為，離心率為.過焦點且與軸不垂直的直線交橢圓于，兩點.(1)求的值；(2)求（為坐標(biāo)原點）面積的最大值.【解析】（1）由題意可得，，因為離心率，所以，又，所以，解得；（2）由（1）知，橢圓的上焦點為，設(shè)，直線，聯(lián)立，整理得：，則，且，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以面積的最大值為.題型八：中點弦問題例22．（2023·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內(nèi)一點引一條恰好被點平分的弦，則這條弦所在直線的方程是【答案】【解析】橢圓即，設(shè)弦的兩端點分別為,，,，則，則，，兩式作差可得：，．直線過點，這條弦所在直線的方程是，即．故答案為：．例23．（2023·上海黃浦·高二格致中學(xué)校考期末）設(shè)橢圓的右焦點為，點在橢圓外，、在橢圓上，且是線段的中點.若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率為.【答案】/【解析】如下圖所示：由題意可知，點為橢圓的左焦點，因為點、，易知點為線段的中點，又因為為的中點，所以，，取線段的中點，連接，則，所以，，所以，，故，設(shè)點、，則點，所以，，兩個等式作差可得，可得，所以，，所以，橢圓的離心率為.故答案為：.例24．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知過點的直線，與橢圓相交于A，B兩點，且線段AB以點M為中點，則直線AB的方程是.【答案】【解析】設(shè)，，根據(jù)中點坐標(biāo)公式，，，且，，兩式相減，化簡可得，所以，即直線的斜率為，根據(jù)點斜式，得到直線的方程為，即.故答案為：變式28．（2023·全國·高二專題練習(xí)）直線截橢圓所得弦的中點M與橢圓中心連線的斜率為．【答案】/【解析】設(shè)線與橢圓的交點坐標(biāo)為，則，可得，因為在橢圓上，則，兩式相減得，整理得，即所以.故答案為：.變式29．（2023·全國·高二專題練習(xí)）中心在原點，一個焦點為的橢圓被直線截得弦的中點的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為．【答案】【解析】由題意，在橢圓中，一個焦點為，設(shè)橢圓的方程為,∴，設(shè)直線與橢圓的交點為,弦中點為∵直線截得弦的中點的橫坐標(biāo)為，∴，，∴即∴.∴，解得：∴橢圓的方程為：，故答案為：.故答案為：.變式30．（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內(nèi)一點，且被這點平分的弦所在直線的方程是.【答案】【解析】設(shè)該直線與橢圓的兩個交點分別為，則又，，兩式相減得則，則，則所求直線方程為，即經(jīng)檢驗符合題意.故答案為：變式31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知焦點在軸上的橢圓被直線截得的弦的中點橫坐標(biāo)為，則正數(shù).【答案】【解析】由題意焦點在軸上的橢圓，把直線方程代入橢圓方程整理得．設(shè)弦的兩個端點為,，,，則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，橢圓被直線截得的弦的中點橫坐標(biāo)為，由中點坐標(biāo)公式可得，，，可得，．故答案為：．變式32．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知O為坐標(biāo)原點，直線與橢圓交于A，B兩點，P為的中點，直線的斜率為，若，則橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】．【解析】設(shè)，，則，所以，得.將A、B兩點坐標(biāo)代入橢圓方程，得，兩式相減，得，有，所以，由，得，即，由，得，即，解得，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故答案為：.變式33．（2023·四川成都·高二校考階段練習(xí)）已知斜率為k的直線與橢圓交于A、B兩點，弦AB的中垂線交軸于點，則的取值范圍是.【答案】【解析】當(dāng)時，弦AB的中垂線為軸，此時，當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組可得，消可得，，解得，，，設(shè)的中點為，則，，直線的方程為令，解得，，解得，且綜上故答案為：變式34．（2023·河北保定·高二河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(1)求的方程；(2)是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)動圓的半徑為，依題意得，所以為定值，且，所以動點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，，，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，設(shè)，，則，兩式相減得，得，即，由點斜式得直線方程為，即.所以存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點，且該直線方程為.變式35．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，記線段的中點為．(1)若，求直線的斜率；(2)記，探究：是否存在直線，使得，若存在，寫出滿足條件的直線的一個方程；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由題意，設(shè)，，點，均在橢圓上，，，兩式相減，可得，根據(jù)點坐標(biāo)為，可得，，則，則，即直線的斜率為；（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，由題意知直線的斜率存在且不為，故可設(shè)直線：，，聯(lián)立，消去得，則，解得，則，，則，故線段垂直平分線方程為：，若直線過點，則把點坐標(biāo)代入以上直線方程得：，聯(lián)立消去得，無解，故不存在直線，使得．變式36．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的離心率為e，且過點和．(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C上有兩個不同點A，B關(guān)于直線對稱，求．【解析】（1）由題意知：，∴，∴，所以橢圓；（2）法一

設(shè)及AB中點，由題意知，，以上兩式相減得：，可化為：即，故，又∵M在直線上，所以，解得：，即，直線，化簡為：聯(lián)立整理得：，由韋達定理知由弦長公式得：．法二

設(shè)直線，聯(lián)立，整理得：，則中點，滿足直線方程，解得所以AB：聯(lián)立整理得：，由韋達定理知由弦長公式得：．變式37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．(1)求C的方程；(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點關(guān)于l對稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q兩點關(guān)于l：對稱，設(shè)直線PQ與直線l的交點為N，則N為線段PQ的中點，連接ON∵，則，即由（1）可得，則，即直線聯(lián)立方程，解得即∵，則在橢圓C外∴假定不成立，不存在P，Q兩點關(guān)于l對稱變式38．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓過點，直線：與橢圓交于兩點，且線段的中點為，為坐標(biāo)原點，直線的斜率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓上存在兩點，使得關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的范圍．【解析】（1）設(shè)，則，即．因為A，B在橢圓C上，所以，兩式相減得，即，又，所以，即．又因為橢圓C過點，所以，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)的中點為，所以，因為P，Q關(guān)于直線l對稱，所以且點N在直線l上，即．又因為P，Q在橢圓C上，所以．兩式相減得．即，所以，即．聯(lián)立，解得，即．又因為點N在橢圓C內(nèi)，所以，所以所以實數(shù)的范圍為．題型九：橢圓的實際應(yīng)用例25．（2023·全國·高二專題練習(xí)）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星看作一個質(zhì)點，繞太陽的運動軌跡近似成曲線，行星在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離.若行星的近日點距離和遠日點距離之和是18（距離單位：億千米），近日點距離和遠日點距離之積是16，則（

）A．39 B．52 C．86 D．97【答案】D【解析】根據(jù)橢圓方程，得長半軸，半焦距，近日點距離為，遠日點距離為，近日點距離和遠日點距離之和是，近日點距離和遠日點距離之積是，解得，則.故選：D.例26．（2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）運用微積分的方法，可以推導(dǎo)得橢圓（）的面積為．現(xiàn)學(xué)校附近停車場有一輛車，車上有一個長為的儲油罐，它的橫截面外輪廓是一個橢圓，橢圓的長軸長為，短軸長為，則該儲油罐的容積約為（）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，橢圓的長軸長為，短軸長為，所以所以橢圓面積為.因為儲油罐為一個柱體，所以體積為.故選：B例27．（2023·河北石家莊·高二河北新樂市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人連地球衛(wèi)星“東方紅一號”，從此我國開向了人造衛(wèi)層的新篇章.人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普物行星運動定律；衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，如圖建系，設(shè)橢圓道的長軸長，短軸長，焦距分別為2a，2b，2c，下列結(jié)論正確的是（

）A．衛(wèi)星向徑的最大值為2aB．衛(wèi)星向徑的最小值為2bC．衛(wèi)星繞行一周時在第三象阻內(nèi)運動的時間小于在第四象限內(nèi)運動的時間D．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越圓【答案】D【解析】由題意得：向徑為衛(wèi)星與地球的連線，即橢圓上的點與焦點的連線的距離，由橢圓的幾何性質(zhì)可知衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c，故AB錯誤；由開普勒行星運動定律衛(wèi)星的向徑在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，在第二象限運動時掃過的面積大于在第一象限運動時掃過的面積，故衛(wèi)星在第二象限內(nèi)運動的時間大于在第一象限運動時掃過的時間，由橢圓的對稱性可知，衛(wèi)星繞行一周時在第三象限內(nèi)運動的時間大于在第四象限運動的時間，故C錯誤；當(dāng)衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大時，由，可得e越小，橢圓越圓，故D正確，故選：D變式39．（2023·高二課時練習(xí)）在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個大小不同、扁平程度相同的橢圓．已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為cm.【答案】【解析】設(shè)小橢圓的長半軸長為，，依題意，，則，解得，所以小橢圓的長軸長為.故答案為：變式40．（2023·高二課時練習(xí)）某操場的正前方有兩根高度均為6m、相距10m的旗桿（都與地面垂直）.有一條26m長的繩子，兩端系在兩根旗桿的頂部，并按如圖所示的方式繃緊，使得繩子和兩根旗桿處在同一個平面內(nèi).假定這條繩子在系到旗桿上時長度沒有改變，求繩子與地面（水平面）的接觸點到兩根旗桿的距離各是多少.

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：因為，所以點是以為焦點的橢圓上，設(shè)方程為，顯然，所以方程為，因為旗桿的高度為6m，所以有，所以繩子與地面（水平面）的接觸點到兩根旗桿的距離各是.變式41．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，賽馬場的形狀是長100m，寬50m的橢圓.求距離頂點10m的寬度是多少.

【解析】以橢圓橫向?qū)ΨQ軸為直角坐標(biāo)系的橫軸，以橢圓縱向?qū)ΨQ軸為直角坐標(biāo)系的縱軸，兩條對稱軸的交點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意可知：，因此，所以該橢圓方程為，當(dāng)時，，因此所以距離頂點10m的寬度是.變式42．（2023·高二課時練習(xí)）水星運轉(zhuǎn)的軌道是以太陽的中心為一個焦點的橢圓，軌道上離太陽中心最近的距離約為，最遠的距離約為.假設(shè)以這個軌道的中心為原點，以太陽中心及軌道中心所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求水星軌道的方程.【解析】設(shè)太陽中心為，軌道中心為，，由題意，水星軌道是以太陽的中心為一個焦點的橢圓，且軌道的中心為原點，焦點在x軸，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，已知軌道上離太陽中心最近的距離約為，最遠的距離約為，則，解得，故，故所求水星軌道的方程為，即.變式43．（2023·高二課時練習(xí)）2016年8月16日，中國自主研制的世界首顆量子科學(xué)實驗衛(wèi)星“墨子號”成功發(fā)射升空，已知它的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，近地點A距地面498km、遠地點B距地面503km，地球半徑為6371km，求“墨子號”衛(wèi)星的軌道方程（結(jié)果保留整數(shù)）.

【解析】如圖所示：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題決可知：，，解得：，所以“墨子號”衛(wèi)星的軌道方程為：.變式44．（2023·高二課時練習(xí)）某顆小行星的運行軌道是一個橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點處.如圖所示，小行星離太陽的最近距離是1.486天文單位，最遠距離是5.563天文單位（1天文單位是指太陽與地球之間的平均距離，約為，是天文學(xué)的一種長度單位）.求橢圓軌道的長半軸和短半軸之長各是多少個天文單位（參考數(shù)據(jù)）.

【解析】如圖，設(shè)橢圓的焦點為，，焦距為，太陽位于焦點處，小行星位置到兩焦點的距離之和等于一個固定值.要使最大，必須距離之差最大，但，僅當(dāng)，，成一條直線且在和之間時，達到最大值，達到最大值.而僅當(dāng)達到最大值時，達到最小值，可見，解得，，因此，故橢圓的長半軸長為天文單位，短半軸長為天文單位.題型十：定點定值問題例28．（2023·江蘇南通·高二江蘇省如皋中學(xué)校考開學(xué)考試）已知橢圓C：的左頂點為A，橢圓C的離心率為且與直線相切．(1)求橢圓C的方程；(2)斜率存在且不為0的直線l交橢圓C于M，N兩點（異于點A），且．則直線l是否恒過定點，如果過定點求出該定點坐標(biāo)，若不過定點請說明理由．【解析】（1）橢圓C的離心率為，可得，所以，所以橢圓方程為，由可得，由題意可得，解得，，所以橢圓方程為；（2）直線l恒過定點，理由如下：由（1）得，設(shè)直線的方程為，，由聯(lián)立得，由得，且，由得，即,可得,整理得，解得，或舍去，即時，不論為何值時都符合，此時直線的方程為，則直線恒過定點.例29．（2023·貴州貴陽·高二清華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知中心在原點的橢圓右焦點，點為橢圓上一點．(1)求的方程；(2)過點的兩條直線分別交橢圓于、兩點，且滿足，問：直線是否過定點，如果過定點，請求出定點坐標(biāo)，如果不過定點，請說明理由．【解析】（1）因為中心在原點的橢圓右焦點，點為橢圓上一點,不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，可得，由韋達定理可得，，，同理可得，由題意可得，整理可得，當(dāng)時，直線的方程為，直線過點，不合乎題意；當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點；②當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)點，則，則，且，，，所以，，即，解得（舍）或，此時，直線過點.綜上所述，直線過定點.例30．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，A、B分別是橢圓的左、右頂點，為橢圓的上頂點，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點，，點，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過定點.【解析】（1）由題知，，，，由的面積為，得，又，代入可得，，∴橢圓的方程為.（2）聯(lián)立得，設(shè)，，可得，，由題知，即，即，解得，∴直線的方程為，故直線恒過定點.變式45．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)若經(jīng)過點，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.【解析】（1）由題意可知：，又，解得，所以橢圓方程為（2）證明：由題意可知直線有斜率，由于與點的連線的斜率為，且的橫縱坐標(biāo)恰好與相反，因此直線有斜率滿足且，直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程：，設(shè)，則，，將代入可得故直線AP與AQ的斜率之和為1，即為定值，得證.變式46．（2023·高二課時練習(xí)）如圖，過原點O的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長，交橢圓于另一點B，求證：kPA·kPB為定值．【解析】證明設(shè)P(x1，y1)，B(x2，y2)，則A(－x1，－y1)，C(x1，0)，可得kAB·kPB＝·－.又kAC＝，kPA＝，所以kPA＝2kAC，從而kPA·kPB＝－1，為定值．變式47．（2023·高二課時練習(xí)）已知橢圓：，其長軸的兩個端點分別為，，點為橢圓上任意一點（除，外），(1)設(shè)直線，的斜率分別為，，求的值；(2)若直線，分別與軸交于，兩點，為坐標(biāo)原點.試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【解析】（1）由題意知：，設(shè)，則,在橢圓上，即.（2）由(1)可知直線，的方程分別為，則.所以為定值，該定值為3.變式48．（2023·四川涼山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，上頂點，M、N為橢圓上異于點P且關(guān)于原點對稱的兩點．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證為定值．【解析】（1）由題意知，，根據(jù)得：，故：橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）依據(jù)題意可設(shè)，，則，．因此，又因為在橢圓C上，滿足，即，所以：，得證．一、單選題1．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，若是該橢圓上的一個動點，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】在橢圓中，，，，則，，設(shè)點，則，且，則，所以，，，所以，，所以當(dāng)時，取最小值，故選：D2．（2023·高二課時練習(xí)）若橢圓的弦被點平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】若直線軸，則點、關(guān)于軸對稱，則直線的中點在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)點、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.故選：B.3．（2023·貴州貴陽·高二清華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知離心率為的橢圓的左、右頂點分別為、，點為該橢圓上位于軸上方一點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，若，則直線的斜率為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由，得，則、，設(shè)，則，設(shè)，則，直線的方程為，則的坐標(biāo)為，直線的方程為，則的坐標(biāo)為，所以，解得或．故選：C.4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點四點．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線：，可得，設(shè)的中點為，連接OM，則，，因為，則，即為弦的中點，設(shè)，則，因為，可得，兩式相減得，整理得，可得，即，可得，所以橢圓的離心率為.故選：D.5．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）開普勒第一定律也稱橢圓定律?軌道定律，其內(nèi)容如下：每一行星沿各自的橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.將某行星H看作一個質(zhì)點，H繞太陽的運動軌跡近似成曲線，行星P在運動過程中距離太陽最近的距離稱為近日點距離，距離太陽最遠的距離稱為遠日點距離.若行星C的近日點距離和遠日點距離之和是20（距離單位：億千米），近日點距離和遠日點距離之積是81，則（

）A．181 B．97 C．52 D．19【答案】A【解析】設(shè)某行星運行軌道（橢圓）的長半軸長和短半軸長分別為，則半焦距為，所以行星C的近日點距離為，遠日點距離為，由題意，解得，所以.故選：A6．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）在橢圓上求一點，使點到直線的距離最大時，點的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：根據(jù)題意可知，當(dāng)點在第三象限且橢圓在點處的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最大值，可設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消去整理可得，，因為，解得，所以，橢圓在點處的切線方程為，因此，點到直線的距離的最大值為,聯(lián)立，可得點的坐標(biāo)為.故選：B.7．（2023·北京·高二101中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B，C是橢圓上的三個點，直線AB經(jīng)過原點O，直線AC經(jīng)過橢圓的右焦點F，若，且，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)橢圓左焦點為，連接，設(shè)，結(jié)合橢圓對稱性得，由橢圓定義得，則.因為，則四邊形為平行四邊形，則，而，故，則，即，整理得，在中，，即，即，故，故選：C8．（2023·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓的焦點為為橢圓上的任意一點，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，，設(shè)，因為，所以，又，，所以，因為，則，當(dāng)時，取得最小值，即，即，所以，即橢圓的離心率為.故選：D.二、多選題9．（2023·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半粗圓組成的“曲圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半圓的圓心在坐標(biāo)原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與軸交于點．若過原點的直線與上半橢圓交于點，與下半圓交于點，則下列說法正確的有（

）

A．橢圓的長軸長為B．線段長度的取值范圍是C．面積的最小值是4D．的周長為【答案】ABD【解析】對于A，∵半圓所在圓過點，∴半圓的半徑，又橢圓短軸為半圓的直徑，∴，即，又，∴，即，∴橢圓長軸長為，故A正確；對于B，∵，，∴，故B正確；對于C，設(shè)，則，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，由題意知：，則為橢圓的下焦點，由橢圓定義知：，又，∴的周長為，故D正確.故選：ABD.10．（2023·江蘇·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖所示，“嫦娥五號”月球探測器飛行到月球附近時，首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，然后在P點處變軌進入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月球飛行，最后在Q點處變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月球飛行，設(shè)圓形軌道Ⅰ的半