3.1 不等式的基本性質(zhì)（六大題型）（原卷版）

3．1不等式的基本性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過具體情景，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量不等關(guān)系．掌握不等式的性質(zhì)；2、會(huì)用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式．3、培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、辨析、運(yùn)用的綜合思維能力，體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力1、邏輯推理：運(yùn)用不等式的性質(zhì)證明不等式；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用不等式的性質(zhì)求解證明不等式；3、直觀想象：在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不等式；4、數(shù)學(xué)建模：能夠在實(shí)際問題中構(gòu)建不等關(guān)系，解決問題．知識(shí)點(diǎn)01符號(hào)法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號(hào)：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立．兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變符號(hào)語言：；②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號(hào)語言：；③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號(hào)語言：④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號(hào)語言：，．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、①；②；③．對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立．知識(shí)點(diǎn)詮釋：這三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系．它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)．【即學(xué)即練1】（2023·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知：，則大小關(guān)系是．知識(shí)點(diǎn)02不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：（1）對(duì)稱性：（2）傳遞性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：（1）可加法則：（2）可乘法則：知識(shí)點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)．【即學(xué)即練2】（多選題）（2023·福建廈門·高一廈門市海滄中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則知識(shí)點(diǎn)03比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。?；②；③．作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。伲虎?；③．中間量法：若且，則（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）．一般選擇0或1為中間量．【即學(xué)即練3】（1）設(shè)，，.試比較P與Q的大小.（2）已知，，.求證：；題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”C．某變量x至少為a可表示為“x>a”D．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工人，瓦工人，則請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)100米以外（含100米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A． B． C． D．變式2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的為（

）A．與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示為“”B．小明的身高為，小華的身高為，則小明比小華矮可表示為“”C．的兩邊之和大于第三邊，記三邊分別為，，，則可表示為“且且”D．若某天的最低溫度為7℃，最高溫度為13℃，則這天的溫度可表示為“7℃13℃”【方法技巧與總結(jié)】將不等關(guān)系表示成不等式（組）的思路（1）讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量．（2）用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接．（3）多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示．題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)、為實(shí)數(shù)，比較兩式的值的大?。海ㄓ梅?hào)或=填入劃線部分）．例5．（2023·廣西桂林·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則與的大小關(guān)系為：（用“”、“”、“”填寫）.例6．（2023·河南洛陽·高一宜陽縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，則(填“”、“”、“”或“”).變式3．（2023·青海海南·高一海南藏族自治州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，則.（填“＞”、“＜”、“≥”、“≤”）變式4．（2023·天津津南·高一?？茧A段練習(xí)）若，，則與的大小關(guān)系是．【方法技巧與總結(jié)】作差法比較大小的步驟題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例7．（多選題）（2023·福建莆田·高三?？奸_學(xué)考試）如果，則下列選項(xiàng)不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例8．（多選題）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果，那么下列不等式不正確的是(

)A． B．C． D．例9．（多選題）（2023·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知為實(shí)數(shù)，若，則下列不等關(guān)系一定正確的是（

）A． B． C． D．變式5．（多選題）（2023·云南昆明·高一?？计谥校?duì)于任意實(shí)數(shù)，，，，以下四個(gè)命題中正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，則變式6．（多選題）（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．變式7．（多選題）（2023·江西九江·高二統(tǒng)考期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．（2）解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算．題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式例10．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知，求證：；（2）若.求證：.例11．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)不等式：①；②；③.以其中兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，能組成哪幾個(gè)正確的不等式？例12．（2023·全國·高一假期作業(yè)）用綜合法證明:如果，那么變式8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）閱讀材料：（1）若，且，則有（2）若，則有．請(qǐng)依據(jù)以上材料解答問題：已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．變式9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）比較與的大?。?）已知，求證：；變式10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，，求證：.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說明（1）不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b有；；．這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ)．（2）利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對(duì)性質(zhì)正確理解和運(yùn)用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的加強(qiáng)和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系．（3）比較法是證明不等式的基本方法之一，是實(shí)數(shù)大小比較和實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用．題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小例13．（2023·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知，，判斷a，b大小關(guān)系.（填“>、=、<”）例14．（2023·北京西城·高一北京市第六十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有外表一樣，質(zhì)量不同的四個(gè)小球，它們的質(zhì)量分別是．已知，，，則這四個(gè)小球由重到輕的排列順序是.例15．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）比大?。海兪?1．（2023·湖南·高一湖南省東安縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如果，那么（填“>”或“”）.變式12．（2023·上海靜安·高一?？计谥校┮阎?，，則，，由小到大依次排列是．變式13．（2023·高一單元測(cè)試）下列不等式中，不成立的是．（填序號(hào)）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則；⑤若，若；⑥若，則；⑦若，，則；⑧若，，則．變式14．（2023·高一單元測(cè)試）若，，則0．（填“”、“”或“”）變式15．（2023·青海玉樹·高一校聯(lián)考期末）已知，則．（填“＞”“＜”或“＝”）變式16．（2023·北京房山·高一統(tǒng)考期中）若a，b同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①；②．請(qǐng)寫出一組a，b的值．變式17．（2023·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）若，，，則，的大小關(guān)系是.【方法技巧與總結(jié)】注意點(diǎn)：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍例16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則的取值范圍為．例17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是．例18．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，且，則的取值范圍是．變式18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，求的取值范圍．變式19．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若,,則的取值范圍是.變式20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，的取值范圍是變式21．（2023·江西贛州·高一上猶中學(xué)?？贾軠y(cè)）若α，β滿足，則的取值范圍是變式22．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍是.變式23．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，則的取值范圍是.變式24．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為．變式25．（2023·遼寧營口·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知，求與的取值范圍；（2）已知，試求的取值范圍變式26．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？茧A段練習(xí)）已知，.(1)求的取值范圍；(2)求的取值范圍；(3)求的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．如已知，要求的范圍，不能分別求出的范圍，再求的范圍，應(yīng)把已知的“”“”視為整體，即，所以需分別求出的范圍，兩范圍相加可得的范圍．“范圍”必須對(duì)應(yīng)某個(gè)字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求．注意同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則（

）A． B．C． D．2．（2023·福建福州·高一福建省福州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了加強(qiáng)家校聯(lián)系，王老師組建了一個(gè)由學(xué)生?家長和教師組成的QQ群.已知該群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該QQ群人數(shù)的最小值為（

）A．20 B．22 C．26 D．283．（2023·河北滄州·高一滄州市一中?？茧A段練習(xí)）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023·河南商丘·高一校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023·高一單元測(cè)試）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）王老師是高三的班主任，為了在新型冠狀病毒疫情期間更好地督促班上的學(xué)生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個(gè)學(xué)習(xí)小組的釘釘群，群的成員由學(xué)生?家長?老師共同組成.已知該釘釘群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該釘釘群人數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2023·高一單元測(cè)試）若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z=x+2y的取值范圍是（

）A．(-∞,5] B．(-∞,7] C．[7,+∞) D．[5,+∞)8．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，滿足的解集為集合，則下列命題為真命題的是（

）A．， B．，C．， D．，二、多選題9．（2023·湖北十堰·高一?？计谥校┤粽龜?shù)滿足，則的值可能為（

）A．10 B．12 C． D．10．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列說法正確的有（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是11．（2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則（

）A． B． C． D．12．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，，則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．a(chǎn)b的取值范圍為 D．的取值范圍為三、填空題13．（2023·新疆喀什·高一莎車縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿足且，則的取值范圍是.14．（2023·山西太原·高一山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的取值范圍是.15．（2023·浙江溫州·高一校考階段練習(xí)）若，則的取值范圍是.16．（202