2024-2025學年高中數(shù)學第三章不等式測評課后習題含解析北師大版必修5

第三章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知a>b,則下列不等式①a2>b2,②1a<1b,③1A.0 B.1 C.2 D.3解析:取a=2,b=-4,可知①②③均不成立.答案:D2.不等式(x+3)2<1的解集是()A.{x|x>-2} B.{x|x<-4}C.{x|-4<x<-2} D.{x|-4≤x≤-2}解析:原不等式可化為x2+6x+8<0,解得-4<x<-2.答案:C3.若變量x,y滿意約束條件y≤1,x+y≥0,xA.4 B.3 C.2 D.1解析:畫出約束條件表示的可行域如圖陰影部分,當目標函數(shù)z=x-2y經(jīng)過x+y=0與x-y-2=0的交點A(1,-1)時,取到最大值3.故選B.答案:B4.已知關于x的不等式ax2+bx-2>0的解集是-∞,-12∪13,+A.24 B.6 C.14 D.-14解析:由已知得-ba=-12所以ab=24.答案:A5.設a>0,若關于x的不等式x+ax≥4在x∈(0,+∞)恒成立,則a的最小值為(A.4 B.2 C.16 D.1解析:因為x>0,a>0,所以x+ax≥2a因此要使不等式恒成立,應有2a≥4,所以a≥4,即a的最小值為4.答案:A6.不等式x2-x-6xA.{x|x<-2或x>3}B.{x|x<-2或1<x<3}C.{x|-2<x<1或x>3}D.{x|-2<x<1或1<x<3}解析:不等式可化為(x+2)(x-3)(x-1)>0,由穿針引線法(如圖)可得-2<x<1或x>3.答案:C7.已知當x∈(1,2)時,不等式x2+mx+4>0有解,則m的取值范圍為()A.m>-4 B.m<-4C.m>-5 D.m<-5解析:記f(x)=x2+mx+4,則由二次函數(shù)的圖像知,當f(1)>0或f(2)>0時,不等式x2+mx+4>0在(1,2)上肯定有解,即m+5>0或2m+8>0,解得m>-5.故選C.答案:C8.(2024浙江高考)若x,y滿意約束條件x≥0,x+y-3≥0,A.[0,6] B.[0,4]C.[6,+∞) D.[4,+∞)解析:畫出約束條件x≥0,由目標函數(shù)z=x+2y得直線l:y=-12x+12當l經(jīng)過點B(2,1)時,z取最小值,zmin=2+2×1=4.又z無最大值,所以z的取值范圍是[4,+∞),故選D.答案:D9.已知a2+14c2-3=0,則c+2a的最大值是(A.23 B.26C.27 D.33解析:解法一:由a2+c24-3=0,得4a2+c2所以(2a+c)2=4a2+c2+2×2ac≤4a2+c2+4a2+c2=24,當且僅當2a=c=6時取等號,則c+2a的最大值是26.解法二:由a2+14c2-3=0,可得13a2+112c令a=3cosα,c=23sinα,α∈R,可得c+2a=23sinα+23cosα=26sinα+π4答案:B10.若變量x,y滿意x+y+2≤0,x-y+4≥0,y≥aA.0 B.1 C.-1 D.2解析:畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖所示,令z=2x-y,則y=2x-z.因為2x-y的最大值為-1,所以2x-y=-1與陰影部分的交點為陰影區(qū)域的一個頂點,由圖像可知,當直線2x-y=-1經(jīng)過點C時,z取得最大值,由2x-y=-1答案:C11.已知在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是()A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]解析:矩形的一邊長為xm,則其鄰邊長為(40-x)m,故矩形面積S=x(40-x)=-x2+40x,由S≥300得-x2+40x≥300,即10≤x≤30.答案:C12.已知點P(x,y)的坐標滿意條件x≤1,y≤2,2x+y-2≥0.記yx+2的最大值為a,A.4 B.5C.7+43 D.8+43解析:線性約束條件表示的可行域為直線x=1,y=2,2x+y-2=0圍成的三角形及其內部,yx+2=y-0x+2可看作點(x,y),(-2,0)連線的斜率,視察圖形可知最大值a=1,x2+(y+3)2可看作兩點(x,y),(0,-3)間距離的平方,答案:B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知m,n為實數(shù),若關于x的不等式x2+mx+n<0的解集為(-1,3),則m+n的值為.

解析:由題意得,-1,3為方程x2+mx+n=0的兩根,因此-1+3=-m,-1×3=n?m=-2,n=-3,則m+n=-5.答案:-514.(2024江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是.

解析:一年的總運費與總存儲費用之和為4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,當且僅當x=900x,答案:3015.若函數(shù)f(x)=2x2+2ax-a-1解析:依題意得2x2+2ax-a-1≥0恒成立,即x2+2ax-a≥0恒成立,因此Δ=4a2+4a≤0,答案:[-1,0]16.若變量x,y滿意2x-y≤0,x-3y+5≥0解析:依據(jù)約束條件作出可行域如圖.由z=log2(x-y+5),得2z=x-y+5,即y=x+5-2z,作直線l0:x-y=0,當直線l0過原點(0,0)時,2z最大,即2z=5,此時z最大,所以當x=y=0時,zmax=log25.答案:log25三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)設?(x)=16xx2+8(1)求?(x)的最大值.(2)證明:對隨意實數(shù)a,b,恒有?(a)<b2-3b+214(1)解f(x)=16xx2+8當且僅當x=8x,x>0,所以?(x)的最大值為22.(2)證明b2-3b+214=當b=32時,b2-3b+214由(1)得,?(a)有最大值22.又因為22<3,所以對隨意實數(shù)a,b都有?(a)<b2-3b+21418.(本小題滿分12分)已知實數(shù)x,y滿意約束條件x≥0,y≤x,2x+y-9≤0,設不等式組所表示的平面區(qū)域為D,解作出約束條件x≥0,y≤x,2x+y-9≤0所對應的可行域D(如圖陰影部分),直線y=a聯(lián)立y=x,2x由斜率公式可得kAB=3-結合圖像可得,要使直線y=a(x+1)與區(qū)域D有公共點,需使a≤34.所以a的取值范圍為-∞,19.導學號33194080(本小題滿分12分)一批救災物資隨26輛汽車以xkm/h的速度勻速開往400km處的地震災區(qū),為平安起見,每輛汽車的前后間距不得小于x202km,問這批物資全部到達災區(qū),最少要用多少小時解設這批物資全部到達災區(qū)需用yh,由題意可知,y相當于最終一輛車行駛25×x202+400km所用的時間,所以y=25×x202+400x=25x202所以這些汽車以80km/h的速度勻速行駛時,所需時間最少,最少時間為10h.20.導學號33194081(本小題滿分12分)已知不等式mx2+nx-1m<0的解集為xx(1)求m,n的值;(2)解關于x的不等式(2a-1-x)(x+m)>0,其中a是實數(shù).解(1)依題意得m解得m=-1,n=32(2)原不等式為(2a-1-x)(x-1)>0,即[x-(2a-1)](x-1)<0.①當2a-1<1,即a<1時,2a-1<x<1;②當2a-1=1,即a=1時,不等式的解不存在;③當2a-1>1,即a>1時,1<x<2a-1.綜上,當a<1時,原不等式的解集為{x|2a-1<x<1};當a=1時,原不等式的解集為?;當a>1時,原不等式的解集為{x|1<x<2a-1}.21.(本小題滿分12分)某投資人準備投資甲、乙兩個項目,依據(jù)預料,甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損率分別為30%和10%,投資人安排投資金額不超過10萬元.要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元,問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元,才能使可能的盈利最大?解設投資人用x萬元投資甲項目,用y萬元投資乙項目,盈利為z萬元.由題意知x目標函數(shù)z=x+0.5y.上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖,陰影部分(含邊界)即為可行域.作直線l0:x+0.5y=0,并作平行于直線l0的一組直線x+0.5y=z,z∈R,與可行域相交,其中有一條直線經(jīng)過可行域上的點M,且與直線x+0.5y=0的距離最大,點M是直線x+y=10和0.3x+0.1y=1.8的交點.解方程組x得x=4,y=6,此時zmax=4+0.5故當x=4,y=6時,z取得最大值.答:投資人用4萬元投資甲項目、6萬元投資乙項目,才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下,使可能的盈利最大.22.導學號33194082(本小題滿分12分)某廠家擬在新年實行大型的促銷活動,經(jīng)測算,當某產(chǎn)品促銷費用為x萬元時,銷售量t萬件滿意t=5-2x+1(其中0≤x≤a2-3a+3,且a>0).現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本(10+2t)萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為4+20t萬元(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù);(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大.解(1)由題意知,y=4+20t×t-(10+2t)又t=5-2x+1,代入化簡得y=20-4x+1+x(0≤x≤a2-3(2)當1≤a2-3a+3,即a≥2或0<a≤1時,y=21-4≤21-24x+1當且