北京市第四十三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

PAGEPAGE8北京市第四十三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題一、選擇題（共10小題；共40分）1.若集合，，則等于 A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于 A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限3.在等差數(shù)列中，若，，則公差 A. B. C. D.4.在等比數(shù)列中，首項，公比，，則項數(shù)為 A. B. C. D.5.已知向量，，與平行，則實數(shù)的值為 A. B. C. D.6.已知圓的方程是，則該圓的圓心坐標(biāo)及半徑分別為 A.與 B.與 C.與 D.與7.已知橢圓與雙曲線的焦點相同，且橢圓上隨意一點到兩焦點的距離之和為，那么橢圓的離心率等于 A. B. C. D.8.已知在支鉛筆中，有支正品，支次品，從中任取支，則在第一次抽的是次品的條件下，其次次抽的是正品的概率是 A. B. C. D.9.端午節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為，乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為，．假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少人回老家過節(jié)的概率為 A. B. C. D.10.數(shù)列，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項起先，每項等于其前相鄰兩項之和．即：．記該數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是 A. B. C. D.二、填空題（共5小題；共25分）11.設(shè)復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位），則

．12.在的二項綻開式中，項的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）．13.已知數(shù)列中，對成立，且，則

．14.已知等差數(shù)列的前項和為，，，則數(shù)列的前項和為

．15.已知數(shù)列的通項公式為，把中的各項依據(jù)肯定的依次排列成如圖所示的三角形數(shù)陣：（）數(shù)陣中第行全部項的和為

； （）在數(shù)陣中第行的第列，則

．三、解答題（共6小題；共85分）16.設(shè)等差數(shù)列當(dāng)滿意：，．（1）求的通項公式；（2）求的前項和及使得最大的序號的值．17.等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求的值．18.如圖，在正方體中，為的中點． （1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19.已知橢圓的離心率為，橢圓上隨意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點，點，且，求直線的方程．20.圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于表示空氣重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留天． （1）求此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率；（2）設(shè)是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）由圖推斷從哪天起先連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?（結(jié)論不要求證明）21.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿意，，數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（3）若對隨意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．答案第一部分1.D 2.A 3.B 【解析】在等差數(shù)列中，因為，，所以解得4.C 5.D 【解析】由已知，又，所以，解得：，故選：D．6.D 【解析】依據(jù)題意，圓的方程是，即，其圓心為，半徑．7.B 【解析】雙曲線的焦點為，即為，即有橢圓的，由橢圓的定義可得，可得，則橢圓的離心率為．8.C 【解析】記事務(wù)，分別表示“第一次，其次次抽得正品”，則表示“第一次抽得次品，其次次抽得正品”，故．9.B 【解析】“甲、乙、丙回老家過節(jié)”分別記為事務(wù)，，，則，，，所以，，．由題知，，為相互獨立事務(wù)，所以三人都不回老家過節(jié)的概率，所以至少有一人回老家過節(jié)的概率．10.D 【解析】因為所以．其次部分11.12.13.【解析】因為，所以．因為，所以．14.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解方程可得，，，由等差數(shù)列的通項公式可得：15.，【解析】（）第行的個數(shù)依次為，，，，，其和為．（）令，得，故是數(shù)列中的第項．又?jǐn)?shù)陣的前行共有個數(shù)，前行共有個數(shù)，故數(shù)列的第項在第行，即，又，故是第行的第個數(shù)，即．故計．第三部分16.（1）由及，得解得所以數(shù)列的通項公式為．

（2）由（1）知．因為，所以當(dāng)時，取得最大值．17.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得解得所以．

（2）由（）可得，所以18.（1）如下圖所示：在正方體中，且，且，所以且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為，，所以．

（2）以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，由得令，則，，則．．因此，直線與平面所成角的正弦值為．19.（1）由已知，，解得，，所以，所以橢圓的方程為

（2）由得，，直線與橢圓有兩個不同的交點，所以解得設(shè)，則，，計算所以，中點坐標(biāo)為，因為，所以，，所以解得，經(jīng)檢驗，符合題意，所以直線的方程為20.（1）設(shè)表示事務(wù)“此人于3月日到達該市”．依據(jù)題意，，且．設(shè)為事務(wù)“此人到達當(dāng)日空氣重度污染”，則，所以．

（2）由題意可知的全部可能取值為，，，且，所以的分布列為故的期望．

（3）從3月5日起先連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．21.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，所以，所