重慶市南開(kāi)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期9月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

重慶市南開(kāi)中學(xué)校20242025學(xué)年高一上學(xué)期9月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列各項(xiàng)中，不可以組成集合的是A.所有的正數(shù) B.等于2的數(shù) C.接近于0的數(shù) D.不等于0的偶數(shù)【答案】C【解析】【詳解】試題分析：集合中的元素滿足三要素：確定性、互異性、無(wú)序性；“接近于0的數(shù)”是不確定的元素故接近于0的數(shù)不能組成集合故選C．考點(diǎn)：集合的含義．2.已知命題，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱量詞命題與存在性量詞命題關(guān)系，準(zhǔn)確改寫(xiě)，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題與存在性量詞命題的關(guān)系，可得：命題的否定是．故選：D3.，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】?jī)蓚€(gè)集合相等，則元素相同，據(jù)此分類討論求解即可.【詳解】由題意，或，∴或，由集合元素互異性可知，則實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：A.4.滿足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M的個(gè)數(shù)是（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，列舉出滿足條件的集合，即可求解.【詳解】由題意可知，,,,,,，共有6個(gè)集合滿足條件.故選：C5.如圖，是全集，是的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)陰影部分的位置得答案.【詳解】圖中陰影部分不在集合中，在集合中，故陰影部分所表示的集合是.故選：C.6.設(shè)常數(shù)a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，則a的取值范圍為（）A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2] C.（2，+∞） D.[2，+∞）【答案】B【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的取值范圍為，故選B.考點(diǎn)：集合的關(guān)系7.若、、為三個(gè)集合，，則一定有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知等式可推導(dǎo)得到，由此可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，，所?所以，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，滿足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，故D錯(cuò)誤.故選：A.8.設(shè)集合，都是的含兩個(gè)元素的子集，且滿足：對(duì)任意的，（i≠，），都有（表示兩個(gè)數(shù)中的較小者），則的最大值是（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，首先分析出的所有含2個(gè)元素的子集數(shù)目，進(jìn)而對(duì)其特殊的子集分析排除，注意對(duì)表示兩個(gè)數(shù)、中的較小者）的把握，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，對(duì)于，含2個(gè)元素的子集有15個(gè)，但，、，、，只能取一個(gè)；，、，只能取一個(gè)；，、，只能取一個(gè)，故滿足條件的兩個(gè)元素的集合有11個(gè)；故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.已知“”是“”的充分不必要條件，則的值可能為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】BCD【解析】【分析】由充分不必要條件求出的范圍即可找到選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以.故選：BCD10.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用數(shù)的特征及元素與集合的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，而，即A錯(cuò)誤，C正確；，即B正確；，即D正確.故選：BCD.11.集合，且若，則，那么下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則 B.，則C. D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)集合的定義，由，，得到，，即，，然后利用一元二次不等式的解法化簡(jiǎn)后逐項(xiàng)判斷.【詳解】∵非空集合滿足：當(dāng)時(shí)，有∴，，.則，，且，.即或，且，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，有，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榛颍蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，可知或，故D錯(cuò)誤.故選：AB第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題3個(gè)小題，每小題5分，共15分.各題答案必須填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)位置（只填結(jié)果，不寫(xiě)過(guò)程）.12.設(shè)全集，集合，，則_________．【答案】【解析】【分析】由全集，可得，然后根據(jù)集合混合運(yùn)算的法則即可求解．詳解】，，，，，故答案為：．13.南開(kāi)中學(xué)高一某班報(bào)名數(shù)學(xué)、物理競(jìng)賽班，兩科都不參加的占全班的，只參加數(shù)學(xué)的占全班的，參加物理的比參加數(shù)學(xué)的少11人，兩門(mén)都參加的有5人，則全班有______人.【答案】45【解析】【分析】引入?yún)?shù)，只參加數(shù)學(xué)占參加了競(jìng)賽班的比例列方程即可求解.【詳解】設(shè)只參加物理的有個(gè)人，則只參加數(shù)學(xué)的有個(gè)人，因?yàn)閮煽贫疾粎⒓拥恼既嗟?，所以參加了?jìng)賽班的占全班的，所以只參加數(shù)學(xué)的占參加了競(jìng)賽班的，解得，所以全班有人.故答案：45.14.已知集合，，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】首先用列舉法表示集合、，從而得到，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，，所以中元素的共個(gè).故答案為：四、解答題15.（1）若集中有且僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)所有取值.（2）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1），；（2），，.【解析】【分析】（1）分是否等于0兩種情況討論即可；（2）分是否等于0兩種情況討論即可.【詳解】（1）情形一：若，則中只有這一個(gè)元素，故符合題意；情形二：若，且集合中只有一個(gè)元素，這意味著當(dāng)且僅當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，從而，解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的所有取值可能為：，；（2），情形一：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足，故符合題意；情形二：當(dāng)時(shí)，，若要，則當(dāng)且僅當(dāng)或，解得或；綜上所述，實(shí)數(shù)的值可能是：，，.16.設(shè)集合.（1）求（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先解不等式求出集合，再利用交集、補(bǔ)集的概念計(jì)算即可；（2）先求出并集的補(bǔ)集，再根據(jù)集合間的基本關(guān)系計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由得，由得或，即{xx>2或}，所以，故；【小問(wèn)2詳解】由上知{xx>?2或}，所以，而，則，解之得，即的取值范圍為.17.已知全集，集合．（1）若b＝4時(shí)，存在集合M使得AMB，求出所有這樣的集合M；（2）集合A，B能否滿足？若能，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）能，.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由，得到，求得，結(jié)合條件即可求解；（2）由，得到，分和，兩種情況討論，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?，所以，又由，又因?yàn)锳MB，所以這樣的集合M共有如下6個(gè)：.【小問(wèn)2詳解】解：能；由，可得，若時(shí)，此時(shí)滿足是的一個(gè)子集，此時(shí)，解得；若時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)不是的一個(gè)子集；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)是的一個(gè)子集；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)是的一個(gè)子集，綜上可得，當(dāng)或時(shí)，滿足，此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由交集為空集得到一元二次方程無(wú)解，再由判別式小于等于零可解出；（2）分和時(shí)，分別求出的范圍，注意時(shí)中的點(diǎn)都在集合中，即可解出；【小問(wèn)1詳解】由得，①因?yàn)?，所以①的，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為，【小問(wèn)2詳解】①若，由（1）可得，②若，且其中的點(diǎn)都在集合中，也符合題意，此時(shí)，聯(lián)立，得，且，解得，將代入中，整理可得，令，整理得，解得，同理，把代入，得，令，整理并化簡(jiǎn)可得，所以，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或.19.設(shè)集合），若是的子集，把中所有元素的和稱為的"容量"（規(guī)定空集的容量為0），若的容量為奇（偶）數(shù)，則稱為的奇（偶）子集.（1）寫(xiě)出的所有奇子集;（2）求證：的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；（3）求證：當(dāng)時(shí)，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.【答案】（1）、、,、,、,、,、,2,、,3,；（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分析的子集，對(duì)應(yīng)奇子集的定義，即可得的所有奇子集；（2）設(shè)為的奇子集，根據(jù)奇子集和偶子集的定義，按1是否屬于進(jìn)行分類，則得到奇子集和偶子集之間的關(guān)系，分析即可證得結(jié)論；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，計(jì)算奇子集容量之和時(shí)，元素的貢獻(xiàn)是，即可求得奇子集的容量之和，從而得到偶子集的容量之和，即可得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，2，3，，的容量為奇數(shù)，則為的奇子集，所有的奇子集應(yīng)為、、,、,、,、,、,2,、,3,；【小問(wèn)2詳解】設(shè)奇數(shù)，對(duì)于的每個(gè)奇子集，當(dāng)時(shí)，取且．當(dāng)時(shí)，取，則為的偶子集．反之，亦然．所以，的奇子集與偶子集是一一對(duì)應(yīng)的．所以，的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等．【小問(wèn)3詳解】對(duì)任一，含的子集共有個(gè)，用上面的對(duì)應(yīng)方法可知，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，從而對(duì)