江蘇省蘇州市部分學(xué)校2025屆高三7月適應(yīng)性模擬演練數(shù)學(xué)試題（解析）

高三年級(jí)適應(yīng)性模擬演練試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求解．【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，所以，故選：B．2.復(fù)數(shù)滿足若，則=（）A. B.1 C.22 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：D3.若向量，若與夾角為鈍角，則的可能取值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，求得當(dāng)與共線時(shí)，根據(jù)向量與向量的夾角為鈍角,列出相應(yīng)的不等式，求得答案.【詳解】因?yàn)椋峙c的夾角為鈍角，當(dāng)與共線時(shí)，，則，此時(shí)共線反方向，所以且與的不共線，即且，則且，故選：D．4.隨機(jī)變量ξ的取值集合為且則（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)CD，利用裂項(xiàng)求和法即可得到即可判斷，對(duì)A，根據(jù)，則進(jìn)行放縮得，對(duì)B，根據(jù)方差公式計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)CD，，故CD錯(cuò)誤；對(duì)A，易知，，證明如下：令，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，則，則，，則，故A錯(cuò)誤.對(duì)B，.故.方法一：.，故.則，方法二：易知，，則,故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用裂項(xiàng)求和法求出相關(guān)無(wú)窮級(jí)數(shù)求和的值，并結(jié)合常用不等式進(jìn)行放縮.5.已知若正實(shí)數(shù)滿足則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】因?yàn)樗?，由可得，所以，兩邊取?為底的對(duì)數(shù)可得，即，所以，所以，故選：A6.如圖，四棱錐截取自邊長(zhǎng)為1的正方體.其中平面且是線段上靠近的三等分點(diǎn)，是線段上最靠近B的四等分點(diǎn)，M，N分別是棱和上的動(dòng)點(diǎn)且恒有，垂足為H，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖結(jié)合面積公式求出距離和的最小值.【詳解】先把及展開(kāi)在一個(gè)平面上，當(dāng)過(guò)點(diǎn)做的垂線垂足為,，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)即得的最小值，因?yàn)槭侨∽赃呴L(zhǎng)為1的正方體，易知，且面，面，所以，，，，在，等面積法得，因?yàn)槭强拷娜确贮c(diǎn)，所以，所以.故選：C.7.已知角滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將展開(kāi)，結(jié)合輔助角公式得到，再結(jié)合有界性即可求解.【詳解】因?yàn)樗杂奢o助角公式可得：，其中，所以所以解得故選:A8.表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù)，且滿足：對(duì)有，則的可能取值是（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得在上單調(diào)遞減，結(jié)合題意得出當(dāng)時(shí)，要單調(diào)遞減，且，分別代入的值進(jìn)行判斷即可．【詳解】由得在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，要遞減，且，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，符合題意，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不合題意，故D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于定義表示大于或者等于的最小整數(shù)，應(yīng)用與函數(shù)中，函數(shù)圖象不易判斷，可將選項(xiàng)中的值代入進(jìn)行判斷可簡(jiǎn)化問(wèn)題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)和，下列說(shuō)法正確的是（）A.和均為周期函數(shù)，且是、周期之一B.和均為周期函數(shù)，且是、的周期之一C.的值域?yàn)镈.對(duì)恒成立【答案】CD【解析】【分析】由周期函數(shù)的定義得出不是周期函數(shù)，即可判斷AB；由周期函數(shù)的定義得出是周期為的周期函數(shù)，分別求出和時(shí)的值域，即可判斷C；由正弦和余弦函數(shù)的圖象及誘導(dǎo)公式即可判斷D．【詳解】對(duì)于AB，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，但不是周期函數(shù)，所以不是周期函數(shù)，例如，，故AB錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，周期為，周期為，所以是周期為的周期函?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，即，故D正確；故選：CD．10.對(duì)于拋物線F是它的焦點(diǎn)，γ的準(zhǔn)線與軸交于T，過(guò)點(diǎn)T作斜率為的直線與γ依次交于B、A兩點(diǎn)，使得恰有，下列說(shuō)法正確的是（）A.是定值，不是定值B.不是定值，也不是定值C.兩點(diǎn)橫坐標(biāo)乘積為定值D.記AB中點(diǎn)為M，則M和A橫坐標(biāo)之比為定值【答案】AD【解析】【分析】由題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，再由，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線AB的斜率，判斷出AB的真假，由兩根之積可得A，B的橫坐標(biāo)之積，判斷出C的真假，由C選項(xiàng)分析，可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，及A，B的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，可得M和A的橫坐標(biāo)之比，判斷出D的真假.【詳解】如圖，由題意得，設(shè)，設(shè)直線的方程為（不等于0），聯(lián)立，可得，所以對(duì)于A，由，即，可得，即，解得，由，則，可得，可得的橫坐標(biāo)，即，可得為定值，故A正確B錯(cuò)誤；對(duì)C，兩點(diǎn)橫坐標(biāo)乘積為，不是定值，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，由題意，的橫坐標(biāo)為，由C選項(xiàng)分析可得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，所以為定值，故D正確.故選：AD11.表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．設(shè)為的單調(diào)遞增數(shù)列，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.至多有種取值可能C. D.【答案】AC【解析】【分析】由條件得是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，即，即可判斷AB；由不等式放縮得即可判斷C；由定義及函數(shù)單調(diào)性即可判斷D．【詳解】由已知得，，所以，因?yàn)闉榈膯握{(diào)遞增數(shù)列，所以，即，所以，或（不合題意舍），所以是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，即，所以，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)時(shí)，根據(jù)不等式放縮得，是解題的關(guān)鍵；同時(shí)解答本題時(shí)需要運(yùn)用極限思想．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，將已知式子表示為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得在0,1的最小值，即可求解．【詳解】設(shè)，則，則，設(shè)，根據(jù)得，x∈0,1，則，當(dāng)時(shí)，有最小值，則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故答案為：13.高三開(kāi)學(xué)，學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，女子啦啦隊(duì)排成一排坐在跑道外側(cè).因烈日暴曬，每個(gè)班的啦啦隊(duì)兩側(cè)已經(jīng)擺好了兩個(gè)遮陽(yáng)傘，但每個(gè)遮陽(yáng)傘的蔭蔽半徑僅為一名同學(xué)，為了效益最佳，遮陽(yáng)傘的擺放遵循傘與傘之間至少要有一名同學(xué)的規(guī)則.高三(一)班共有七名女生現(xiàn)在正坐成一排，因兩邊的遮陽(yáng)傘蔭蔽范圍太小，現(xiàn)在考慮在她們中間添置三個(gè)遮陽(yáng)傘.則添置遮陽(yáng)傘后，曬黑女生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)__________【答案】1【解析】【分析】設(shè)曬黑女生人數(shù)為X，確定X可能取值為0，1，2，求出每個(gè)值相應(yīng)的概率，即可求得答案.【詳解】由題意可設(shè)高三(一)班共有七名女生坐成一排依次為，由于兩側(cè)已經(jīng)擺好了兩個(gè)遮陽(yáng)傘，則1，7一定曬不到，現(xiàn)在考慮在她們中間添置三個(gè)遮陽(yáng)傘，即在7位同學(xué)之間形成的空中選3個(gè)放置，共有種放法；設(shè)曬黑女生人數(shù)為X，則X可能取值為0，1，2，時(shí)，若12之間放一把傘，則另外2把分別放在34，56之間，若23之間放一把傘，則另外1把分別放在56之間，第三把放在34或45之間，若67之間放一把傘，則另外2把分別放在23，45之間，則；時(shí)，被曬的人若是2，則23之間沒(méi)有傘，34之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法，同理被曬的人若是6，則67之間沒(méi)有傘，45之間必有一把傘，其余2把傘有3種放法，被曬的人若是3或4或5，此時(shí)3把傘均有2種放法，故，，故曬黑女生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為,故答案為：114.若a>0且關(guān)于的不等式在0,+∞上恒成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，由a>0得在0,+∞單調(diào)遞增，將題目中不等式轉(zhuǎn)化為，由單調(diào)性得出，再構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍即可．【詳解】由，所以，設(shè)，由a>0得在0,+∞單調(diào)遞增，所以，設(shè)，則，顯然單調(diào)遞增，令，得，①當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在時(shí)，，則在單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，不合題意；②當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，在0,+∞單調(diào)遞增，所以，令得，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意；綜上所述，，故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造，將轉(zhuǎn)化為，簡(jiǎn)化運(yùn)算進(jìn)而求解．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.野餐用的三腳架三只腳長(zhǎng)度均為r，露營(yíng)結(jié)束后三腳架落在森林里，有白蟻聚集到其中一只腳啃食．（1）求證：啃食過(guò)程中三腳架頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓?。唬?）啃食完畢后腳長(zhǎng)變?yōu)?，且垂直于地面，若未損壞的兩只腳所在平面與地面所成二面角為，求原三角架對(duì)應(yīng)四面體的體積(用表示)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由題意知，原三腳架為側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐，作出圖形，取為的中點(diǎn)，即可得出頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為定值，進(jìn)而證明；（2）根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)題設(shè)條件求得原正四棱錐底面邊長(zhǎng)和高，再根據(jù)三棱錐的體積公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：由題意知，圓三腳架為側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐，如圖，則有，設(shè)平面為的中點(diǎn)，連接，假設(shè)白蟻聚集到腳進(jìn)行啃食，則啃食過(guò)程中頂點(diǎn)向下移動(dòng)，在中，的長(zhǎng)度保持不變，故頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為定值，故三腳架頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一段以為圓心，為半徑的圓?。拘?wèn)2詳解】由題意得，啃食完畢后腳長(zhǎng)變?yōu)?，且垂直于底面，如圖所示，則，且平面，又平面，所以，由，為中點(diǎn)，得，又因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，所以即為未損壞的兩只腳所在平面與底面所成二面角，則，所以，所以，則，，，所以原三角架對(duì)應(yīng)四面體的體積．16.已知橢圓與圓在第一、第二象限分別交于Q、P兩點(diǎn)，且滿足（1）求橢圓γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）A是橢圓上的一點(diǎn)，若存在橢圓的弦BC使得，求證:四邊形OABC的面積為定值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓和圓的對(duì)稱性可得，，再代入橢圓和圓的方程中，解方程組求出和的值即可；（2）設(shè)，，易知四邊形是平行四邊形，設(shè)直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式以及橢圓的方程，推出，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，表示出四邊形的面積，然后化簡(jiǎn)即可得定值．【小問(wèn)1詳解】由對(duì)稱性知，，因?yàn)?，，所以△是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，因?yàn)槲挥诘谝幌笙蓿?，代入橢圓的方程有，代入圓的方程有，聯(lián)立解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，，則直線的斜率為，且，即，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，，設(shè)直線的方程為，,，,，聯(lián)立，得，所以，，所以，因?yàn)?，所以，整理得，即，而點(diǎn)到直線的距離為，所以四邊形的面積，為定值．17.已知正整數(shù)列滿足，且有對(duì)任意正整數(shù)恒成立.（1）求證:對(duì)任意，均為偶數(shù)；（2）記，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）借助題目所給條件可得，結(jié)合數(shù)列前項(xiàng)和與數(shù)列的關(guān)系即可得到，再利用累乘法計(jì)算即可得數(shù)列通項(xiàng)公式，再結(jié)合偶數(shù)性質(zhì)即可得證；（2）得到數(shù)列后結(jié)合放縮法可得，再借助等比數(shù)列求和公式與錯(cuò)位相減法求和即可得證.【小問(wèn)1詳解】，即，則，即有，整理得，則有，，，，即，即，又，則，若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，此時(shí)為偶數(shù)，若為偶數(shù)，則亦為偶數(shù)，故對(duì)任意，均為偶數(shù)；【小問(wèn)2詳解】由，則，故，故，其中，，則，則，則，則，則，即有.18.“三角換元”是代數(shù)中重要且常見(jiàn)的運(yùn)算技巧，有些代數(shù)式看似復(fù)雜，用三角代替后，實(shí)則會(huì)呈現(xiàn)出非常直觀的幾何意義，甚至可以與復(fù)雜的二次曲線產(chǎn)生直觀聯(lián)系.（1）利用恒等式和，求函數(shù)和最小值.（2）在中，角對(duì)應(yīng)的邊為.（i）求證：.（ii）已知實(shí)數(shù)滿足求二元函數(shù)的最大值.【答案】（1）的最小值為；的最小值為.（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）【解析】【分析】（1）分和討論，轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和和之差最值問(wèn)題即可；（2）（i）利用三角形內(nèi)角關(guān)系和三角恒等變換證明即可；（ii）設(shè)，，變形得，則轉(zhuǎn)化為表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差再加上，利用三點(diǎn)共線即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，即的最小值為：，?dāng)時(shí)，，表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和，所以.當(dāng)時(shí)，，表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差，所以，綜上，的最小值為：.【小問(wèn)2詳解】（i）因?yàn)?，所以，證畢.（ii）在（i）中，令，則且，因?yàn)?，設(shè)，，所以可得（），則其表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差再加上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)取得，此時(shí)滿足.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)第二小問(wèn)的關(guān)鍵是利用換元法再進(jìn)行合理變形，將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差再加上，最后轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線問(wèn)題.19.已知函數(shù)，其中為正實(shí)數(shù)．（1）若，討論在的單調(diào)性．（2）若，