陜西省西安市藍田縣2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGE17-陜西省西安市藍田縣2024-2025學年高一數(shù)學下學期期中試題（含解析）留意事項：1．本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘；2．答卷前，務(wù)必將答題卡上密封線內(nèi)的各項目填寫清晰；3．第Ⅰ卷選擇題必需運用2B鉛筆填涂，第Ⅱ卷非選擇題必需運用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫，涂寫要工整、清晰；4．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若角滿意，，則角的終邊落在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】依據(jù)終邊相同的角的概念，推斷即可．【詳解】解：角，，且，所以角的終邊落在其次象限．故選：B．【點睛】本題考查了終邊相同的角的概念與應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．2.下列說法中錯誤的是（）A.零向量與任一向量平行 B.方向相反的兩個非零向量不肯定共線C.零向量的長度為0 D.方向相反的兩個非零向量必不相等【答案】B【解析】【分析】本題利用零向量的定義、向量的共線定義以及向量相等的定義即可求解.【詳解】零向量的定義：零向量與任一向量平行，與隨意向量共線.零向量的方向不確定，但模的大小確定為0,故A與C都是對的；設(shè)方向相反的兩個非零向量為和，滿意，所以方向相反的兩個非零向量肯定共線，故B錯；對于D，因為向量相等的定義是：長度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的兩個非零向量必不相等，故D對.答案選B.【點睛】本題考查向量的相關(guān)定義，屬于簡潔題.3.半徑為2的扇形OAB中，已知弦AB的長為2，則的長為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可求圓心角的大小，依據(jù)弧長公式即可計算得解．【詳解】設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為，∵半徑為2的扇形OAB中，弦AB的長為2，∴，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)求解，即可得出結(jié)果.【詳解】為使函數(shù)有意義，只需，即，所以函數(shù)定義域為：.故選：A.【點睛】本題主要考查求正切型函數(shù)的定義域，熟記正切函數(shù)定義域即可，屬于基礎(chǔ)題型.5.下列各組向量中，可以作為平面對量基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】只有兩向量不共線才可以作為基底，判定各組向量是否共線即可．【詳解】解：A、，共線，不能作為基底；、，，；不共線，可以作為基底；、，，所以；共線，不能作為基底；、，，所以；共線，不能作為基底．故選：．【點睛】考查基底的概念，共線向量基本定量，向量平行時的坐標關(guān)系，向量坐標的數(shù)乘運算，屬于基礎(chǔ)題．6.如圖，點是正方形的中心，為線段的中點，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)條件可得出，，從而可得出結(jié)果.【詳解】依據(jù)條件：，故選：D.【點睛】本題主要考查向量加法和數(shù)乘的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)f（x）=sin（2x+）是（）A.最小正周期為的奇函數(shù) B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù)【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導公式先進行化簡，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性和周期性進行推斷即可．【詳解】f（x）=sin（2x+）=-sin（2x+）=-cos2x，則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，函數(shù)的最小正周期T==π，即f（x）是最小正周期為π的偶函數(shù)，故選B．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的誘導公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．8.已知單位向量，的夾角為，且，若向量，則（）A.9 B.10 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】利用平面對量的數(shù)量積運算求出，再求出【詳解】故選：C【點睛】本題考查了平面對量的數(shù)量積運算，考查了計算實力，屬于一般題目.9.若函數(shù)局部圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由的部分圖象可求得A，T，從而可得，再由，結(jié)合的范圍可求得，從而可得答案．【詳解】，；又由圖象可得：，可得：，，，．，，又，當時，可得：，此時，可得：故選D．【點睛】本題考查由的部分圖象確定函數(shù)解析式，常用五點法求得的值，屬于中檔題．10.在中,則在方向上的投影為（）．A.4 B.3 C.-4 D.【答案】C【解析】【分析】先對等式兩邊平方得出，并計算出，然后利用投影的定義求出在方向上的投影．【詳解】對等式兩邊平方得，，整理得，，則，，設(shè)向量與的夾角為，所以，在方向上的投影為，故選C．【點睛】本題考查平面對量投影的概念，解本題的關(guān)鍵在于將題中有關(guān)向量模的等式平方，這也是向量求模的常用解法，考查計算實力與定義的理解，屬于中等題．11.已知函數(shù)，則下列對該函數(shù)性質(zhì)的描述中不正確的是（）A.的圖像關(guān)于點成中心對稱B.的最小正周期為2C.的單調(diào)增區(qū)間為D.沒有對稱軸【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正切函數(shù)的周期性，單調(diào)性和對稱性分別進行推斷即可．【詳解】對于A：令,令，可得函數(shù)的一個對稱中心為，故正確；對于B：函數(shù)f（x）的最小正周期為T＝，故正確；對于C：令，解不等式可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故錯誤；對于D：正切函數(shù)不是軸對稱圖形，故正確．故選：C．【點睛】本題考查與正切函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)，涉及周期性，單調(diào)性和對稱性，利用整體代換的思想進行推斷是解決本題的關(guān)鍵．12.已知函數(shù)（）的圖象與直線的某兩個交點的橫坐標分別為，若的最小值為，且將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的一個遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】函數(shù)（）的圖象與直線的某兩個交點的橫坐標分別為，若的最小值為，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到的函數(shù)為奇函數(shù)由題意得將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到的函數(shù),因此，即為函數(shù)的一個遞增區(qū)間，選A.【點睛】函數(shù)的性質(zhì)(1).(2)周期(3)由求對稱軸(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知角的終邊經(jīng)過點，且，則等于__________．【答案】－4【解析】由題意，，解得，故答案為.14.設(shè)，是不共線的兩個平面對量，已知，．若，，三點共線，則實數(shù)的值為______．【答案】【解析】【分析】由平面對量共線定理可得，進而可得結(jié)果.【詳解】\三點共線，則所以故答案為：【點睛】本題考查了平面對量共線定理，考查了計算實力和邏輯推理實力，屬于一般題目.15.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為______．【答案】【解析】【分析】由誘導公式可得，再由，可得，進而可得結(jié)果.【詳解】,故答案為：【點睛】本題考查了三角函數(shù)值比較大小，考查了誘導公式，三角函數(shù)等相關(guān)學問，考查了計算實力，屬于基礎(chǔ)題目.16.若兩個非零向量，滿意，則向量與的夾角是______．【答案】【解析】【分析】依題意可得，再求出，，最終依據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】解：因為兩個非零向量，滿意，所以，即，所以，，設(shè)向量與的夾角為，則因為，所以故答案為：【點睛】本題考查平面對量數(shù)量積的計算，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.化簡計算：（1）；（2）設(shè)，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用誘導公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡得解；（2）依據(jù)誘導公式化簡，將代入可得結(jié)果.【詳解】（1）原式；（2），所以.【點睛】本題主要考查了誘導公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔題.18.某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖像時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：00200（Ⅰ）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，函數(shù)的解析式為______（干脆寫出結(jié)果即可）；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）最大值為1，最小值為.【解析】【分析】（Ⅰ）由函數(shù)最值求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式；（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的定義域，求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【詳解】（Ⅰ）表格如下00200依據(jù)表格可得，再依據(jù)五點法作圖可得，故解析式為：.（Ⅱ）因，所以，得，所以,當即時，在區(qū)間上的最小值為，當即時，在區(qū)間上的最大值為.【點睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，以及由定義域求值域，屬于基礎(chǔ)題．19.已知平面內(nèi)三個向量：.(Ⅰ)若,求實數(shù)的值；(Ⅱ)設(shè),且滿意,求.【答案】(Ⅰ)0或；(Ⅱ)或.【解析】【分析】(Ⅰ)利用平面對量坐標運算法則先求出，再由,求實數(shù)的值；(Ⅱ)利用平面對量坐標運算法則先求出,再由，能求出.【詳解】(Ⅰ)因為=(3,2),=(-2,1),=(2,1),所以=(2k+3,k+2),k=(-2k-3,k-2),因為若()//(k-),所以(2k+3)(k-2)-(-2k-3)(k+2)=0,即(2k+3)k=0,解得k=0或k=-,所以實數(shù)k的值為k=0或k=-；(Ⅱ)依題意得=(1,3),-=(x-2,y-1),因為()⊥(-),所以(x-2)+3(y-1)=0,因為|-|=,所以(x-2)2+(y-1)2=10,所以聯(lián)立方程得,解得或,所以=(-1,2),或=(5,0).【點睛】本題主要考查平面對量坐標形式的線性運算以及向量平行、向量垂直的坐標表示，屬于中檔題.利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.20.已知函數(shù)的圖像過點，且相鄰兩條對稱軸之間的距離為．（1）求的對稱中心；（2）若方程在區(qū)間上有兩個不同的實根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)的周期求出，依據(jù)三角函數(shù)所過點可得的值，令可得對稱中心；（2）將題意等價轉(zhuǎn)化為方程在有兩個交點，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）∵相鄰兩條對稱軸之間的距離為，∴，∴，，即，又∵函數(shù)的圖像過點，∴，∵，∴，得，令，解得，∴的對稱中心為.（2）當時，，方程方程在區(qū)間上有兩個不同實根等價于方程在有兩個交點，畫出函數(shù)在圖象，如下圖所示，當或時，在上有兩個不同的實根，所以實數(shù)的取值范圍是或.

【點睛】本題主要考查函數(shù)解析式的求法，由周期求出，由五點法作圖求出的值，方程根的存在性以及個數(shù)的推斷，屬于中檔題.21.（Ⅰ）如圖1，，，是平面內(nèi)的三個點，且與不重合，是平面內(nèi)隨意一點，若點在直線上，試證明：存在實數(shù)，使得：；（Ⅱ）如圖2，設(shè)為的重心，過點且與、（或其延長線）分別交于，點，若，，試證明：為定值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由于，，三點共線，所以存在實數(shù)使得：，變形，可得結(jié)論；（Ⅱ）連結(jié)，利用為的重心，結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論即可得到結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）證明：由于，，三點共線，所以存在實數(shù)使得：，即化簡為結(jié)論得證．（Ⅱ）解：連結(jié)，因為為的重心，所以：又因為，所以由（Ⅰ）知：所以為定值．【點睛】本題考查向量學問的運用，考查向量的共線，考查學生分析解決問題的實力，屬于中檔題．22.如圖，半徑為4m的水輪圍著圓心逆時針做勻速圓周運動，每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，水輪圓心距離水面2m，假如當水輪上點從離開水面的時刻起先計算時間．（1）求點距離水面的高度(m)與時間滿意的函數(shù)關(guān)系；（2）求點第一次到達最高點須要的時間．【答案】(1)；（2）5（s）【解析】【分析】（1）設(shè)點P到水面的距離y(m