初中數(shù)學(xué)《垂線段最短》題型及答案

垂線段最短類型垂線段最短圖示兩條線段和的最小值問(wèn)題直線l外一定點(diǎn)A和直線l上一動(dòng)點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是特點(diǎn)結(jié)論點(diǎn)BOA,OB上的動(dòng)點(diǎn)作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)P'作OA的垂線,分別與OB,OA交于點(diǎn)N,M,此時(shí)PN+MN的值最小過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B,此時(shí)AB的值最小1.找模型(其中一條線段為兩動(dòng)點(diǎn)的連線)2.用模型滿分技法:P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'P'作OAOB,OA交于點(diǎn)N,M,此時(shí)PN+MN的值最小證明:如圖,若M',N'為OA,OB上任意一點(diǎn),連接N'P',M'P',則PN=PN,∴當(dāng)P'M⊥OA時(shí),PN+MN的值最小.思考延伸:1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠的平分線,點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn),若AD=5,AC=4,1則的最小值為()A.3B.4C.562.模型構(gòu)造如圖,在△ABC中,AB=4,∠=45°,∠的平分線交BC于點(diǎn)D,E,F分別是AD,AB上的動(dòng)點(diǎn),則BE+的最小值是.針對(duì)訓(xùn)練1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)(異于A,B兩點(diǎn))點(diǎn)P分別作ACBCMN接MNMN的最小值是.2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD,過(guò)點(diǎn)D作⊥AD交AB于點(diǎn)E,則線段AE的最小值為.3.如圖,正方形的邊長(zhǎng)為10,E為BEBE為邊作等邊△,連2接AF,則AF的最小值為.4.模型遷移如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=3,OB=4,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)M,N分別在線段AB,y軸上,求PN+MN的最小值.5.?拔高⊙O,在⊙O上點(diǎn)A,B,C,D處安裝四個(gè)景觀燈.已經(jīng)修好一條長(zhǎng)為20米的經(jīng)過(guò)圓心O的直路BDAD之間再修一條小路EF分別在邊CD,AD上,為了美觀使得CE=DF,B是的中點(diǎn),經(jīng)測(cè)量AB=12米,并以A,B,C,E,F為頂點(diǎn)整修一塊周長(zhǎng)最小的五邊形綠化地.試問(wèn)，是否存在符合要求的周長(zhǎng)最小的五邊形ABCEF?AB-.課后練習(xí)1.(2021?棗莊)ACBD相交于點(diǎn)OAC=63BD=6P是ACE是ABPD+PE的最小值為()3A.33B.63C.3622.中，AC=8∠=30°P是對(duì)角線ACBP．(1)線段BP的最小值為(2)若以APBP為鄰邊作?APBQ接PQPQ的最小值為；．3.△ABC中，AC=BC=6S△ABC=12D為ABMN分別是和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．4.Rt△ABC中，∠C=90°∠B=30°BC=6AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)DE為邊AB上長(zhǎng)度的最小值為．Rt△ABC中，ACBCtanB=∴AC=，33×6=23．∵∠C=90°∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，41∴∠CAD=×60°=30°．2在Rt△中，tan∠CAD=，AC33∴=×23=2．∵AD平分∠CABDC⊥AC，∴點(diǎn)D到AB邊的距離等于線段的長(zhǎng)，即線段長(zhǎng)度的最小值為2．5.(3分)中，AB=4BC=6E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，⊥BC于點(diǎn)FEG⊥于點(diǎn)G接FG+FG的最小值為．6.Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=6BC=8AD是∠PQ分別是AD和ACPC+PQ的最小值．C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)MAD于點(diǎn)PP作PQ⊥AC于點(diǎn)QAD是∠的平分線．得出PQ=PM時(shí)PC+PQCMAB，1212再運(yùn)用S△ABC=AB?CM=AC?BC出CMPC+PQ的最小值．347.(2023?江門三模)如圖，△ABC中，∠ACB=90°AB+BC=8tanA=OD分別是邊AB、ACOC+的最小值為()5245265961259625A.B.C.C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'CC'AB于EC'作C'D⊥AC于DAB于OOC=C'O時(shí)OC+C'D8.(2021春?龍崗區(qū)月考)P是∠AOC的角平分線上一點(diǎn)，PD⊥OADPD=5，點(diǎn)M是射線OCPM的最小值為．PM⊥OC時(shí)，PM案．9.(2024春?北京期中)的周長(zhǎng)為24∠ABD=30°P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，Q是BCPC+PQ的最小值是()A.6B.33C.3563Q和點(diǎn)CP在直線BDCQA和點(diǎn)C關(guān)于BD即為所求．10.(2021春?金寨縣期末)2的正方形M為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC于點(diǎn)EMF⊥于點(diǎn)F接的最小值為()A.1B.22C.32MCMECF=MCMC⊥BD時(shí)，MC6△BCMMC即可得出結(jié)果．11.在銳角△ABC中，BC=4∠ABC=30°BD平分∠ABCMN分別是BDBCMNCMCM+MN的最小值是多少？C作CE⊥AB于點(diǎn)EBD于點(diǎn)M′點(diǎn)M′作M′N′⊥BCCE即為CM+MNBC=4∠ABC=30°CE的長(zhǎng)．12.△ABC中，AC=BC=6S△ABC=12D為ABMN分別是和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．∵AP⊥l于點(diǎn)P，∴AP是點(diǎn)A到直線l的最短距離．13.中，AC=6BD=8AC與BD交于點(diǎn)OE是ABMN分別在ACBCEM+MN的最小值為．123214.y=-x2+x+2的圖象與x軸交于AB(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))y軸交于點(diǎn)CM為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為xAMMNAM+MN的最小值．715.△ABC中，AB=6P是BCAP的最小值是。解析提示：16.ABC中，BC=42∠ABC=45°BD平分∠ABCMN分別是BDBC上的CM+MN的最小值是。解析提示：17.如圖，△ABC中，∠ACB=90°AC=3BC=4AB=5P為直線ABPCPC的最小值是。18.A的坐標(biāo)為(-10)B(aa)ABB的坐標(biāo)為。19.的邊長(zhǎng)為9183PE分別為線段BDBCPE+PC的最小8值為20.△ABC的邊長(zhǎng)為4AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是ACAE=1EM+CM的最小值為。21.如圖，△ABC中，AB=AC=13BC=10AD是BC邊上的中線且AD=12F是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是ACCF+的最小值為。22.的邊長(zhǎng)是2∠C的平分線交DC于點(diǎn)EPQ分別是AD和AE上的動(dòng)DQ+PQ的最小值為。23.ΔABC中，∠B=90°AB=12BC=5D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，⊥AB于點(diǎn)EDF⊥BC于點(diǎn)F的最小值為()960133013A.4.8B.C.1324.ΔABC中，∠A=90°∠B=60°AB=2D是BC2AD+DC的最小值()A.23+6B.6C.3+3425.ABC中，AB=4△ABC的面積為10BD平分∠ABCMN分別是BD、BCCM+MN的最小值為()A.4B.5C.4.5626.如圖，△ABC中，∠=75°∠ACB=60°AC=4△ABC的面積為分別為BCABACFD△的周長(zhǎng)最小值為DEF．10垂線段最短類型垂線段最短圖示兩條線段和的最小值問(wèn)題直線l外一定點(diǎn)A和直線l上一動(dòng)點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部一點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是特點(diǎn)結(jié)論點(diǎn)BOA,OB上的動(dòng)點(diǎn)作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)P'作OA的垂線,分別與OB,OA交于點(diǎn)N,M,此時(shí)PN+MN的值最小過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l于點(diǎn)B,此時(shí)AB的值最小1.找模型(其中一條線段為兩動(dòng)點(diǎn)的連線)2.用模型滿分技法:P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P'P'作OAOB,OA交于點(diǎn)N,M,此時(shí)PN+MN的值最小證明:如圖,若M',N'為OA,OB上任意一點(diǎn),連接N'P',M'P',則PN=PN,∴當(dāng)P'M⊥OA時(shí),PN+MN的值最小.思考延伸:1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠的平分線,點(diǎn)E是AB上任意一點(diǎn),若AD=5,AC=4,1則的最小值為()A.3B.4C.56思路點(diǎn)撥:.ARt△中,∵AD=5,AC=4,∴=AD2-AC2=52-42=3,當(dāng)⊥AB時(shí),的值最小(垂線段最短),∵AD是∠的平分線,∠C=90°,∴=(角平分線性質(zhì))∴的最小值為3.2.模型構(gòu)造如圖,在△ABC中,AB=4,∠=45°,∠的平分線交BC于點(diǎn)D,E,F分別是AD,AB上的動(dòng)點(diǎn),則BE+的最小值是.最短求解即可。針對(duì)訓(xùn)練1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=2,點(diǎn)P是AB邊上的一點(diǎn)(異于A,B兩點(diǎn))點(diǎn)P分別作ACBCMN接MNMN的最小值是.3105,連接PC.在△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=6,BC=2,∴AB=AC2+BC2=62+22=210.2∵PM?AC,PN⊥BC,∴∠PMC=∠PNC=∠ACB=90°,∴四邊形PMCN是矩形(三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)，∴MN=PC(矩形的對(duì)角線相等),AC?BC6×22103105當(dāng)PC⊥AB時(shí),PC的值最小(垂線段最短)PC===AB(直角三角形等面積轉(zhuǎn)化)，3105∴MN的最小值為.2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,點(diǎn)D是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD,過(guò)點(diǎn)D作⊥AD交AB于點(diǎn)E,則線段AE的最小值為.83AE的中點(diǎn)FFD,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G.設(shè)AE=x,則AF=DF=12x4x2x212AE=,∵AC=2,∠B=30°,∠ACB=90°,∴AB=4,BF=AB-AF=4-,∴GF=BF=2-xx28383,GF≤DF,∴2-≤,解得x≥,∴線段AE的最小值為-.43.如圖,正方形的邊長(zhǎng)為10,E為BEBE為邊作等邊△,連接AF,則AF的最小值為.5B△ABF逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△GBE,連接AG,∴∠ABG=60°,AB=BG,AF=GE(旋轉(zhuǎn)性質(zhì))∴△ABGG與直線AD的位置保持不變,當(dāng)EG312⊥時(shí),GE的長(zhǎng)最短(垂線段最短),∵AB=AG=10∴最短長(zhǎng)度為GE=AG=5,故AF的最小值為5.4.模型遷移如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=3,OB=4,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0),點(diǎn)M,N分別在線段AB,y軸上,求PN+MN的最小值.:∵OA=3,OB=4,∴AB=5,如解圖,過(guò)點(diǎn)P作PM'⊥AB于點(diǎn)M',交y軸于點(diǎn)N'.∵PN+MN≥PN+NM,,即PN+MN≥PM',根據(jù)垂線段最短可知，PN+MN的最小值為線段PM'的長(zhǎng),∵∠=∠',∠AOB=∠AM'P=90°,∴△ABO∽△APM',ABAP5OBMP∴∴=相似三角形的判定與性質(zhì))，4PM=,7285∴PM=,85∴PN+MN的最小值為25.?拔高⊙O,在⊙O上點(diǎn)A,B,C,D處安裝四個(gè)景觀燈.已經(jīng)修好一條長(zhǎng)為20米的經(jīng)過(guò)圓心O的直路BDAD之間再修一條小路EF分別在邊CD,AD上,為了美觀使得CE=DF,B是的中點(diǎn),經(jīng)測(cè)量AB=12米,并以A,B,C,E,F為頂點(diǎn)整修一塊周長(zhǎng)最小的五邊形綠化地.試問(wèn)，是否存在符合要求的周長(zhǎng)最小的五邊形ABCEF?AB-.4:存在,如解圖,∵B是AC的中點(diǎn),且BD是⊙O的直徑,∴BC=AB=12米,∠=∠=90°,∠=∠(圓周角定理),由勾股定理得,AD==16米,∵CE=DF,∴AF+CE=16米,∴L五邊形=AB+BC+CE++AF=12+12+16+=40+,∴當(dāng)取最小值時(shí),L'五邊形就有最小值.延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使DG=CE,連接GF并延長(zhǎng),過(guò)E作EH⊥GF于點(diǎn)H.∵CE=DF,DG=CE,∴DF=DG,∴∠GFD=∠DGF,又∵∠=∠,∠ADC=∠GFD+∠DGF,∴∠=∠EGH,又∵CE=DF,∴EG==16米.BCBD35在Rt△BDC中,sin∠==,HE35∴在Rt△EGH中,sin∠EGH==,EG48∴EH=,5485∵≥EH=,當(dāng)點(diǎn)FH48∴==9.6米.5∴L有用形ABCEF=40+=49.6米,∴存在符合要求的周長(zhǎng)最小的五邊形49.6米.課后練習(xí)1.(2021?棗莊)ACBD相交于點(diǎn)OAC=63BD=6P是ACE是ABPD+PE的最小值為()5A.33B.63C.362A，在△DPE中，DP+PE>，∴當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，PD+PE的最小值為的長(zhǎng)，∵四邊形是菱形，∴AO=CO=33BO=DO=3AC⊥BDAB=AD，AOBO∴tan∠ABO==3，∴∠ABO=60°，∴△ABD是等邊三角形，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴⊥AB，BD∵sin∠ABD=，632∴=，∴=33，故選：A．2.中，AC=8∠=30°P是對(duì)角線ACBP．(1)線段BP的最小值為；(2)若以APBP為鄰邊作?APBQ接PQPQ的最小值為．(1)當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP取最小值，∵AC=8∠=30°，∴AB=AC?cos30°=43，∴BP=AB?sin30°=23；故答案為：23；(2)∵四邊形APBQ是平行四邊形，612∵AO=AB=23PQ=2OP，∴要求PQOPOP⊥AC時(shí)，OP取最小值，∴OP=AO?sin30°=3，∴PQ的最小值為23．3.△ABC中，AC=BC=6S△ABC=12D為ABMN分別是和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．∵CA=CBD是AB的中點(diǎn)，∴是∠ACB的平分線，∴點(diǎn)N關(guān)于的對(duì)稱N′在AC上，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H．∵AC=6S=12，12∴×6?BH=12，解得BH=4，∵BM+MN=BM+MN′≥BH=4，∴BM+MN的最小值為4．故答案為：4．方法二：∵CA=CBD是AB的中點(diǎn)，∴是AB的垂直平分線，∴BM=AM，BM+MN=AM+MN，當(dāng)AN⊥BC時(shí)最小，∴BM+MN的最小值為4．4.Rt△ABC中，∠C=90°∠B=30°BC=6AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)DE為邊AB上長(zhǎng)度的最小值為．Rt△ABC中，ACBCtanB=∴AC=，33×6=23．7∵∠C=90°∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD平分∠CAB，1∴∠CAD=×60°=30°．2在Rt△中，tan∠CAD=，AC33∴=×23=2．∵AD平分∠CABDC⊥AC，∴點(diǎn)D到AB邊的距離等于線段的長(zhǎng)，即線段長(zhǎng)度的最小值為2．5.(3分)中，AB=4BC=6E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，⊥BC于點(diǎn)FEG⊥于點(diǎn)G接FG+FG的最小值為．AD上取一點(diǎn)PPD=PBBPPCEC點(diǎn)C作CJ⊥BP于點(diǎn)JE作EK⊥BP于點(diǎn)K．∵四邊形是矩形，∴AD=BC=6AD∥BC∠A=90°，設(shè)PD=PB=xx2=(6-x)2+42，133∴x=，1212∵S=?PB?CJ=×6×4，7213∴CJ=，∵AD∥CB，∴∠=∠，∵PD=PB，∴∠=∠PBD，∴∠PBD=∠PBC，∵EK⊥BCEK⊥BP，∴=EK，∵EG⊥CD，∴∠=∠FCG=∠CGF=90°，∴四邊形是矩形，∴FG=EC，87213∴+FG=EK+CE≥CJ=，72∴+FG的最小值為．136.Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=6BC=8AD是∠PQ分別是AD和ACPC+PQ的最小值．C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)MAD于點(diǎn)PP作PQ⊥AC于點(diǎn)QAD是∠的平分線．得出PQ=PM時(shí)PC+PQCMAB，1212再運(yùn)用S△ABC=AB?CM=AC?BC出CMPC+PQ的最小值．C作CM⊥AB交AB于點(diǎn)MAD于點(diǎn)PP作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，∵AD是∠的平分線．∴PQ=PM時(shí)PC+PQCM的長(zhǎng)度，∵AC=6BC=8∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=62+82=10．12126×8∵S∴CM==AB?CM=AC?BC，AC?BC245==，AB10245即PC+PQ的最小值為．PC+PQ有最小值時(shí)點(diǎn)P和Q的位置．347.(2023?江門三模)如圖，△ABC中，∠ACB=90°AB+BC=8tanA=OD分別是邊AB、ACOC+的最小值為()9245265961259625A.B.C.C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'CC'AB于EC'作C'D⊥AC于DAB于OOC=C'O時(shí)OC+C'DC關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'接CC'AB于EC'作C'D⊥AC于DAB于OOC=C'OOC+C'D的長(zhǎng)；34△ABC中，∠ACB=90°tanA=，BCAC34∴tanA==，BC35∴=，AB∵AB+BC=8，∴BC=3AB=5AC=4，1212∵S=BC?AC=AB?CE，∴3×4=5CE，125∴CE=，245∴CC'=2CE=，∵∠C'EO=∠=90°∠C'OE=∠AOD，∴∠A'=∠C，∵∠CDC'=∠ACB=90°，∴△CDC'∽△ACB，C'DACCC'ABC'D45∴==59625∴C'D=，9625即OC+的最小值為是；故選：D．-8.(2021春?龍崗區(qū)月考)P是∠AOC的角平分線上一點(diǎn)，PD⊥OADPD=5，點(diǎn)M是射線OCPM的最小值為5．10PM⊥OC時(shí)，PM案．PM⊥OC時(shí)，PM最小，當(dāng)PM⊥OC時(shí)，又∵OP平分∠AOCPD⊥OAPD=3，∴PM=PD=5，故PM的最小值為5，故答案為：5．題的關(guān)鍵．9.(2024春?北京期中)的周長(zhǎng)為24∠ABD=30°P是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，Q是BCPC+PQ的最小值是()A.6B.33C.3563Q和點(diǎn)CP在直線BDCQA和點(diǎn)C關(guān)于BD即為所求．A和點(diǎn)C關(guān)于BD即為所求．連接AC，∵∠ABD=30°是菱形，∴∠ABC=60°AB=BC，∴△ABC是等邊三角形，∵點(diǎn)Q為BC的中點(diǎn)，11∴⊥BC，∵菱形的周長(zhǎng)為24，∴AB=BC=6，在Rt△ABQ中，∠ABC=60°，∴∠=30°，1212∴BQ=AB=×6=3，∴=3BQ=33．故選：B．-最短路線問(wèn)題及菱形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．10.(2021春?金寨縣期末)2的正方形M為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC于點(diǎn)EMF⊥于點(diǎn)F接的最小值為()A.1B.22C.32MCMECF=MCMC⊥BD時(shí)，MC△BCMMC即可得出結(jié)果．MC∵四邊形是正方形，∴∠C=90°∠=45°，∵M(jìn)E⊥BC于EMF⊥于F∴四邊形MECF為矩形，∴=MC，當(dāng)MC⊥BD時(shí)，MC取得最小值，此時(shí)△BCM是等腰直角三角形，2∴MC=BC=2，2∴的最小值為2；故選：D．12【總結(jié)提升】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及最小值問(wèn)11.在銳角△ABC中，BC=4∠ABC=30°BD平分∠ABCMN分別是BDBCMNCMCM+MN的最小值是多少？C作CE⊥AB于點(diǎn)EBD于點(diǎn)M′點(diǎn)M′作M′N′⊥BCCE即為CM+MNBC=4∠ABC=30°CE的長(zhǎng)．C作CE⊥AB于點(diǎn)EBD于點(diǎn)M′M′作M′N′⊥BC，∵BD平分∠ABC，∴M′E=M′N′，∴M′N′+CM′=EM′+CM′=CE，則CE即為CM+MN的最小值，∵BC=4∠ABC=30°，12∴CE=BC?sin30°=4×=2．∴CM+MN的最小值是2．-角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．12.△ABC中，AC=BC=6S△ABC=12D為ABMN分別是和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．13∵AP⊥l于點(diǎn)P，∴AP是點(diǎn)A到直線l的最短距離．13.中，AC=6BD=8AC與BD交于點(diǎn)OE是ABMN分別在ACBCEM+MN的最小值為．(1)23(2)314.中，AB=4BC=6E是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，⊥BC于點(diǎn)FEG⊥于點(diǎn)GFG+FG的最小值為??．125123214.y=-x2+x+2的圖象與x軸交于AB(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))y軸交于點(diǎn)CM為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為xAMMNAM+MN的最小值．15.△ABC中，AB=6P是BCAP的最小值是。解析提示：A點(diǎn)作AH⊥BC于H1412∵△ABC為等邊三角形，∴BH=CH=BC=3，∴AH=62-32=33，當(dāng)P點(diǎn)與H點(diǎn)重合時(shí)，AP的值最小，∴AP的最小值是33．16.ABC中，BC=42∠ABC=45°BD平分∠ABCMN分別是BDBC上的CM+MN的最小值是。解析提示：C作CE⊥AB于點(diǎn)EBD于點(diǎn)M′M′作M′N′⊥BC于N′CE即為CM+MN的最小值，∵BC=42∠ABC=45°BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，22∴CE=BC?cos45°=42×故CM+MN的最小值為4．=4．17.如圖，△ABC中，∠ACB=90°AC=3BC=4AB=5P為直線ABPCPC的最小值是。Rt△ABC中，∠ACB=90°AC=3BC=4AB=5，∵當(dāng)PC⊥AB時(shí)，PC的值最小，1212此時(shí)：△ABC的面積=?AB?PC=?AC?BC，∴5PC=3×4，∴PC=2.4，18.A的坐標(biāo)為(-10)B(aa)ABB的坐標(biāo)為。15A作AD⊥OB于點(diǎn)DD作OE⊥x軸于點(diǎn)E，∵垂線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)線段AB最短．∵直線OB的解析式為y=x，∴△是等腰直角三角形，1∴OE=OA=1，21212∴D(--)．1212故答案為：(--)．19.的邊長(zhǎng)為9183PE分別為線段BDBCPE+PC的最小值為APA作AH⊥BC于H．∵四邊形是菱形，∴AC關(guān)于BD對(duì)稱，∴=PC∴PE+PC=AP+PE，16∵AP+PE≥AH∴PE+PC≥AH，∵S=BC?AH，183∴AH==23，9∴PE+PC≥23，∴PE+PC的最小值為2323．20.△ABC的邊長(zhǎng)為4AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是ACAE=1EM+CM的最小值為。BEAD交于點(diǎn)M．則BE就是EM+CM的最小值，過(guò)B作BN⊥AC于N，∵△ABC是等邊三角形，1∴AN=AC，2∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為4，∴AC=4∵AE=1，32∴NE=1BN=AB=23，∴BE=BN2+NE2=23+12=13，∴EM+CM的最小值為13，故答案為：13．21.如圖，△ABC中，AB=AC=13BC=10AD是BC邊上的中線且AD=12F是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是ACCF+的最小值為。17E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M接CM交AD于FC作CN⊥AB于N，∵AB=AC=13BC=10AD是BC邊上的中線，∴BD=DC=5AD⊥BCAD平分∠，∴M在AB上，在Rt△ABD中，AD=12，1212∴S∴CN==×BC×AD=×AB×CN，BC×AD10×1212013==，AB13∵E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)M，∴=FM，∴CF+=CF+FM=CM，根據(jù)垂線段最短得出：CM≥CN，12013即CF+≥，12013即CF+的最小值是，120故答案為：．1322.的邊長(zhǎng)是2∠C的平分線交DC于點(diǎn)EPQ分別是AD和AE上的動(dòng)DQ+PQ的最小值為。D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)D′過(guò)D′作D′P′⊥AD于P′，∵′⊥AE∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF∠=∠CAE，∴△F≌△D′AF，∴D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，AD′=AD=2，∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，∵四邊形是正方形，∴∠′=45°，18∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2AD′2=4，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′22P′D′2=4，∴P′D′=2DQ+PQ的最小值為2．故答案為：2．23.ΔABC中，∠B=90°AB=12BC=5D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，⊥AB于點(diǎn)EDF⊥BC于點(diǎn)F的最小值為()60133013A.4.8B.C.13BEDFB=BD的最小值即為BDBD的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．BD．∵在△ABC中，AB=12BC=5∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2AC=122+52=13．又∵⊥AB于點(diǎn)EDF⊥BC于點(diǎn)F，∴四邊形EDFB是矩形，∴=BD．19∵BD的最小值即為Rt△ABC斜邊上的高，1212AB?BCAC12×5136013∴AB?BC=AC?BDBD===，6013∴的最小值為，故選B．線段的最小值轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線段．24.ΔABC中，∠A=90°∠B=60°AB=2D是BC2AD+DC的最小值()A.23+6B.6C.3+34B作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'AA',A'D,過(guò)D作⊥AC于E2=CDAD=A'D得出AD+=A'D+A'D,E在同一直線上時(shí)，AD+的最小值等于A'E的長(zhǎng)是3求出2AD十的最小值