數(shù)學(xué)名校-江蘇省鹽城市射陽(yáng)中學(xué) 高三上學(xué)期階段檢測(cè)1（9月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)數(shù)學(xué)學(xué)科階段檢測(cè)1時(shí)間：120分鐘分值：150分一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)及交集的概念直接運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：C2.已知是第二象限的角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則，所以.故選：A3.已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得，再由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，圖象經(jīng)過(guò)第一象限，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，合題意；顯然此時(shí)，則函數(shù)為單調(diào)遞增，又恒過(guò)點(diǎn)，因此函數(shù)的圖象不過(guò)第四象限.故選：D4.下列函數(shù)中在上單調(diào)遞增，周期為且為奇函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】對(duì)于AB：整理可得，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對(duì)于C：根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對(duì)于D：整理可得，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，易知其為奇函?shù)，其最小正周期，若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，所以上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知：在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；故選：A.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意在上恒成立，求的取值范圍即可.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以，的取值范圍為.故選：B.6.“”是“函數(shù)的值域?yàn)椤钡模ǎ〢.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】假設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，借助?duì)數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍，結(jié)合充分條件與必要條件的性質(zhì)即可得解.【詳解】若的值域?yàn)?，則對(duì)有，解得或，“”是“或”的既不充分也不必要條件.故選：D.7.設(shè)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出常數(shù)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，得該函數(shù)定義域內(nèi)實(shí)數(shù)，恒有，即恒成立，因此，則，解得，，不等式，即，整理得，解得，所以的取值范圍是.故選：A8.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)平移可得，進(jìn)而根據(jù)即可代入化簡(jiǎn)得求解.【詳解】解：，要的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，所以，故，又，故，故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則（）A.的最小值為 B.的最小值為C.的最大值為1 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】運(yùn)用基本不等式逐一運(yùn)算判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因正實(shí)數(shù)m，n滿足m＋n＝1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以≤，即最大值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取最大值，C不正確；對(duì)于D，由，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為，D正確．故選：AD10.若函數(shù)，則（）A.可能只有1個(gè)極值點(diǎn)B.當(dāng)有極值點(diǎn)時(shí)，C.存在，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心D.當(dāng)不等式的解集為時(shí)，的極小值為【答案】BCD【解析】【分析】A項(xiàng)，根據(jù)判別式分類討論可得；B項(xiàng)，有極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合A項(xiàng)可得；C項(xiàng)，取，驗(yàn)證可得；D項(xiàng)，由不等式解集結(jié)合圖象可知，1和2是方程的兩根且，解出系數(shù)，代入函數(shù)求解極值即可判斷.【詳解】，則，令，.A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；故在處取極大值，在處取極小值，即存在兩個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述，不可能只1個(gè)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)有極值點(diǎn)時(shí),有解，則，即.由A項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；故，故B正確；C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，則曲線關(guān)于對(duì)稱，即存在，使得點(diǎn)為曲線y=fx的對(duì)稱中心，故C正確；D項(xiàng)，不等式的解集為，由A項(xiàng)可知僅當(dāng)時(shí)，滿足題意.則且，且在處取極大值.即，則有，故，，又，解得，故，則，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；故在處有極大值，且極大值為；在處有極小值，且極小值為；故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決關(guān)鍵在于D項(xiàng)中條件“不等式的解集為”的轉(zhuǎn)化，一是解集區(qū)間的端點(diǎn)是方程的根，二是在處取極值，從而.11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.在上單調(diào)遞減C.點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心D.方程有5個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意可得是函數(shù)的一個(gè)周期，由對(duì)稱性作出函數(shù)部分圖象和的草圖，數(shù)形結(jié)合判斷各個(gè)選項(xiàng)得解.【詳解】為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱.則且，，即，所以，是函數(shù)的一個(gè)周期.當(dāng)時(shí)，，則可作出函數(shù)部分圖象和的草圖如下.由圖可知A，D正確，B，C不正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.化簡(jiǎn)：______.【答案】【解析】【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式直接化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故答案為：.13.若函數(shù)，則不等式的解集為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為減函數(shù)，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用單調(diào)性和奇偶性將不等式化為，即可求得不等式的解集.【詳解】設(shè)，,則，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由，可得，即，即，即，所以，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.14.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列四個(gè)結(jié)論：①關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；②關(guān)于直線對(duì)稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞減；④在區(qū)間上的值域?yàn)?正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)______.【答案】②③【解析】【分析】先由圖象求出，接著將點(diǎn)代入函數(shù)結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)和求得，再由和求出，進(jìn)而求得函數(shù)解析式，對(duì)于①，計(jì)算即可判斷；對(duì)于②，計(jì)算即可判斷；對(duì)于③，先求出的單調(diào)遞減區(qū)間即可判斷；對(duì)于④，由得即可得，從而即可求出在區(qū)間上的值域.【詳解】由圖得，，故有，將點(diǎn)代入函數(shù)得，即，所以或，又，所以，故，又，所以，所以，又由圖像可知，又，所以，所以，所以，對(duì)于①，因?yàn)?，所以不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故①錯(cuò)；對(duì)于②，因?yàn)?，故②正確；對(duì)于③，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③正確；對(duì)于④，時(shí)，，所以，所以，所以在區(qū)間上值域?yàn)椋盛苠e(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于由圖象求出函數(shù)的解析式，而求是本題難點(diǎn)，故求函數(shù)的解析式的關(guān)鍵在于求出，通過(guò)圖像特征得出和即可求解.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．15.（1）設(shè)，為銳角，且，，求的值；（2）化簡(jiǎn)求值：．【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，然后算出的值，結(jié)合范圍即可得到答案；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、輔助角公式和二倍角公式，求得所給式子的值.【詳解】解：（1）∵為銳角，，且，∴；∵為銳角，，且，∴，∴，∵，∴；（2）16.杭州亞運(yùn)會(huì)以“綠色，智能，節(jié)儉，文明”為辦賽理念，展示杭州生態(tài)之美，文化之韻，充分發(fā)揮國(guó)際重大賽事對(duì)城市發(fā)展的牽引作用，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，籌備期間，某公司帶來(lái)了一種智能設(shè)備供采購(gòu)商洽談采購(gòu)，并決定大量投放當(dāng)?shù)厥袌?chǎng)已知該種設(shè)備年固定研發(fā)成本為萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)需要另投入元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬(wàn)臺(tái)且全部售完，每萬(wàn)臺(tái)的銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）與年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）滿足如下關(guān)系式：.（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)臺(tái)）的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得的年利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得年利潤(rùn)最大為萬(wàn)元【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)的解析式計(jì)算可得；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式分別求出、上的最值，進(jìn)而確定年利潤(rùn)最大時(shí)對(duì)應(yīng)生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)及最大利潤(rùn)值.【小問(wèn)1詳解】依題意可得，又，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)臺(tái)時(shí)，該公司獲得年利潤(rùn)最大為萬(wàn)元.17.已知函數(shù)，，下列命題中：（1）求的最小正周期；（2）函數(shù)最大值；（3）求的單調(diào)增區(qū)間.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先利用倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)即可由周期公式得解.（2）由函數(shù)解析式以及正弦函數(shù)性質(zhì)即可得最大值.（3）由正弦函數(shù)增區(qū)間令，解該不等式即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題，所以函數(shù)的最小正周期為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以函?shù)最大值為.【小問(wèn)3詳解】令得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.18.已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.（1）比較和的大小；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有最小值，且最小值為，求的最大值.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)詳解；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義列方程即可求解；（2）求導(dǎo)，分和討論導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可得解；（3）利用（2）中結(jié)論表示出最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.【小問(wèn)1詳解】，由題知，整理得.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，所以，記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x>1時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即的最大值為.19.泰勒公式是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)定理，它可以將一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處展開(kāi)成無(wú)限項(xiàng)的多項(xiàng)式．當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，它的公式表達(dá)式如下：．注：表示函數(shù)在原點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，表示在原點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，以此類推，和表示在原點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)．（1）求的泰勒公式（寫(xiě)到含的項(xiàng)為止即可），并估算的值（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并證明；（3）設(shè)，證明：．【答案】（1），；（2），證明見(jiàn)詳解；（3）證明見(jiàn)解析