專題09 幾何最值問題（原卷版）

2/2專題09幾何最值問題目錄熱點(diǎn)題型歸納題型01將軍飲馬模型 1題型02費(fèi)馬點(diǎn)模型 6題型03阿氏圓模型 15題型04隱圓模型 20題型05瓜豆圓模型 28中考練場(chǎng) 33題型01將軍飲馬模型【解題策略】?jī)啥ㄒ粍?dòng)模型一定兩動(dòng)模型（同側(cè)）（異側(cè)）兩線段相減的最大值模型（三點(diǎn)共線）【典例分析】例．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【變式演練】1．（2022·山東棗莊·二模）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)任意一點(diǎn)，，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值是．2．（2023廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形中，，，，，點(diǎn)是四邊形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則面積的最小值為．題型02費(fèi)馬點(diǎn)模型【解題策略】將△APC邊以A為頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到AQE，連接PQ，則△APQ為等邊三角形，PA=PQ。即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值BE?！镜淅治觥坷?023全國·中考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．【變式演練】1．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=．2．（2023廣東·一模）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值。3．（2024湖北中考·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求的最小值．題型03阿氏圓模型【解題策略】問題：在圓上找一點(diǎn)P使得的值最小，解決步驟具體如下：①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB②計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比③在OB上取一點(diǎn)C，使得，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則，④則，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值?！镜淅治觥坷?023·廣西·中考真題）如圖，拋物線與軸交于，，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)直線為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【變式演練】1．（2023·甘肅天水·一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為．2．（2023江蘇·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．題型04隱圓模型【解題策略】定點(diǎn)定長(zhǎng)定弦定角四點(diǎn)共圓最短距離：“一箭穿心”，然后點(diǎn)到圓心的距離-半徑；最長(zhǎng)距離：“一箭穿心”，然后點(diǎn)到圓心的距離+半徑。【典例分析】例．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，E是上的一點(diǎn)，連接，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)到的距離是．

【變式演練】1．（2024浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022·山東泰安·三模）如圖，在Rt△ABC中，，，BC＝2，線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到BD，連AD，E為AD的中點(diǎn)，連接CE，則CE的最大值是．3．（2022·廣東河源·二模）如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為．題型05瓜豆圓模型【解題策略】條件：兩個(gè)定量主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．結(jié)論：（1）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角等于兩圓心與定點(diǎn)連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離之比等于兩圓心到定點(diǎn)的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．【典例分析】例．（2023·江蘇·中考真題）在四邊形中，為內(nèi)部的任一條射線（不等于），點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，連接，則面積的最大值是．

【變式演練】1．（2023江蘇無錫·二模）如圖，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作Rt，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．2．（2023·安徽·一模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．3．（2023·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，A是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C在外，已知是等邊三角形，則的面積的最大值為（）A． B．4 C． D．61．（2023·黑龍江綏化·中考真題）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長(zhǎng)的最小值是．

2．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在菱形中，過點(diǎn)作交對(duì)角線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，，則的最大值為．3．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長(zhǎng)的最小值為．4．（2022·江蘇無錫·中考真題）△ABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，△DCE是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點(diǎn)F．如圖，若點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DBC=20°，則∠BAF＝°；現(xiàn)將△DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF長(zhǎng)度的最小值是．5．（2022·廣西·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為的