2023-2024學年北京朝陽區(qū)和平街一中高一（上）期中數學試題及答案

2023北京和平街一中高一（上）期中數學班級______姓名______學號______一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.A=0,1，B=xN|x，那么集合AB等于（）1.已知集合?)2?23D.A.B.C.P:xR,x+102.設命題，則P為（）xR,x+10xR,x+10xR,x+10A.B.D.xR,x+10C.A={x|1xB={x|x}AB，則a的取值范圍是（3.設集合，若）A.1a2B.aC.a1D.a?12y=()fxx0時，y=f(x)4.已知是定義在R上的偶函數，當圖象如圖所示，則下列關系正確的是（）()(?)()f1f2f3A.B.C.D.()()(?)f3f1f2()()(?)f1f3f2(?)()()f2f1f3(0,+)上單調遞減的是（）5.下列函數中，是奇函數且在區(qū)間1A.y=?x2B.C.yx?=1D.y=x3y=x2a,b,cRab，則下列不等式一定成立的是（6.已知，且）a|cb|c|）11bA.a2b2B.C.c?ac?bD.a7.設x，則“1x2”是“|x?21”的（RA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件8.從20152020年，某企業(yè)通過持續(xù)的技術革新來降低其能源消耗，到了2020年該企業(yè)單位生產總值能耗降低了20%.如果這五年平均每年降低的百分率為xx滿足的方程是（D.既不充分也不必要條件）A.5x=0.251?x=0.8B.()C.x50.2=?x)D.5=9.函數f(x)=ax2+(a-3)x+1在區(qū)間[-1,+∞)上是遞減的,則實數a的取值范圍是()A.[-3,0)C.[-2,0]B.(-∞,-3]D.[-3,0]()為定義在上的函數，函數(+)是奇函數對于下列四個結論：fxfx110.設R.①f)=0；②f1?x=?f1+x)；)(③函數()的圖象關于原點對稱；fx④函數()的圖象關于點()對稱；1,0fx其中，正確結論的個數為（）A.1B.2C.3D.4二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡上.x+1x?1函數y=12.已知函數的定義域是__________.()是定義在上的奇函數，且當fx時，()=(+)，則(?)=fxx1xf1______.Rx01,x113.函數f(x＝x的最大值為________．?x2+x114.函數f(x)的定義域為D，給出下列兩個條件：x,xDxxf(x)()；時，總有2fx①對于任意，當12112②f(x)在定義域內不是單調函數.請寫出一個同時滿足條件①②的函數f(x)，則f(x)=______________.2?x2x,x，f(x)=15.已知函數給出下列四個結論：?x2?2x,x.a①存在實數，使函數f(x)f(x)為奇函數；a②對任意實數，函數既無最大值也無最小值；a③對任意實數和，函數ky=f(x)+k總存在零點；ma(?m)上單調遞減.其中所有正確結論的④對于任意給定的正實數，總存在實數，使函數f(x)在區(qū)間序號是______________.三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.A=xa?1x2a+16.設集合，不等式x2?2x?80的解集為B.（1）當a=1時，求AB，AB，A；RAB（2）當時，求實數的取值范圍.a417.設函數f(x)=x++3x（1）求函數()的圖像與直線y=2x交點的坐標：fxx+)()的最小值fx（2）當時，求函數（3）用單調性定義證明：函數()在()上單調遞增fx.fxax22ax?3．()=?18.已知函數（1）若a=1，求不等式f(x)0的解集；（2）己知a0，且f(x)+)上恒成立，求的取值范圍；0在a（3）若關于x的方程f(x)=0x+x，求1有兩個不相等的正實數根x，x222的取值范圍．12fxx22m+1(mR).()=+?19.已知函數（1）若m=2，求函數()在區(qū)間fx?2,1上的最大和最小值；（2）解不等式f(x)2x+1.20.設某商品的利潤只由生產成本和銷售收入決定．生產成本C（單位：萬元）與生產量x（單位：千件）間的函數關系是C＝3+；銷售收入（單位：萬元）與生產量x間的函數關系是18x?8x63x++5,0x6S=.（Ⅰ）把商品的利潤表示為生產量x的函數；（Ⅱ）為使商品的利潤最大化，應如何確定生產量？x,xP()=fx21.設函數其中P，M是非空數集．記f(P）＝{yy＝f(x)，xP}，f(M)＝{|y＝f(x)，?x,xMx∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝﹣∞，﹣1)f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝?，且f()是定義在R上的增函數，求集合P，M；（Ⅲ）判斷命題“若PM≠R，則f(P∪f(M)≠R”的真假，并加以證明．參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.【答案】C【分析】先求出B集合，再根據并集合的運算求出兩個集合的并集.B=xN|x3=2，所以A2，【詳解】故選：C2.【答案】C【分析】特稱命題的否定是全稱命題，先否定量詞，再否定結論.P:xR,x+10xR,x+10，則P為：【詳解】命題故選：C3.【答案】D【分析】根據AB，由集合，B有公共元素求解.AA={x|1xB={x|x}【詳解】集合，AB因為，所以集合A，B有公共元素，所以a?1．故選：D4.【答案】Af(2)=f2()，再結合當【分析】根據函數的奇偶性得到x0時，函數為單調遞減函數，即可求解.y=fx()是定義在R上的偶函數，可得?=()f(2)f2，【詳解】由題意，函數又由當x0時，函數為單調遞減函數，所以f)(2)f3()，所以f)f(?2)f(3).故選：A.5.【答案】C【分析】根據函數的單調性和奇偶性對各個選項逐一分析即可.y=?xy的圖象關于軸對稱，2【詳解】對A，函數y=?x2是偶函數，故A錯誤；故1的定義域為)不關于原點對稱，對B，函數=yx21故=是非奇非偶函數，故B錯誤；yx2=x?1的圖象關于原點對稱，x?1是奇函數，且在(0,+)上單調遞減，故y=x3的圖象關于原點對稱，對C，函數y故y=C正確；對D，函數故y=x3是奇函數，但在(0,+)上單調遞增，故D錯誤.故選：C.6.【答案】D【分析】對A，B，C，利用特殊值即可判斷，對D，利用不等式的性質即可判斷.【詳解】解：對A，令a=1，b=?2，此時滿足ab，但ab2，故A錯；211對B，令a=1，b=?2，此時滿足ab，但，故B錯；ab對C，若c對D，，ab，則a|c|b|c，故C錯；=?a?b，則c?ac?b，故D正確.故選：D.7.【答案】A【分析】先解不等式，再根據兩個解集包含關系得結果.?1x?2x3,又1,2()，所以“1x2”是“?”的1,3x21【詳解】充分不必要條件，選A.【點睛】充分、必要條件的三種判斷方法．pqqppq1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結合，例如“?”為真，pq是的充分條件．則pqqpqppqpqqp2．等價法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．3．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．8.【答案】D【分析】根據題設逐年列出生產總值能耗后可得正確的選擇.(?)，a1xa【詳解】設2015年該企業(yè)單位生產總值能耗為，則2016年該企業(yè)單位生產總值能耗(?)2(?)32017年該企業(yè)單位生產總值能耗a1x，2018年該企業(yè)單位生產總值能耗a1x，(?)4(?)52019年該企業(yè)單位生產總值能耗a1x，2020年該企業(yè)單位生產總值能耗a1x，(?)由題設可得a1x5=(?)=0.8，5a即1x故選：D.9.【答案】D【詳解】當a=0時,f(x)=-3x+1顯然成立,當a≠0時,需解得-3≤a<0,綜上可得-3≤a≤0.【誤區(qū)警示】本題易忽視a=0這一情況而誤選A,失誤的原因是將關于x的函數誤認為是二次函數.10.【答案】C【分析】gx=fx+1令()()，①：根據()=求解出()的值并判斷；②：根據()為奇函數可知g00f1gx(?)=?()，化簡此式并進行判斷；根據=(+)與=()的圖象關系確定出()關于點gxgxyfx1yfxfx對稱的情況，由此判斷出③④是否正確.gx=fx+)，【詳解】令()(①因為()為R上的奇函數，所以gx()=(+)=，所以()=，故正確；f1g0f0100②因為()為R上的奇函數，所以gx(?)=?()，所以(gxf?x+1=?fx+)，即)(gx(?)=?(+)，故正確；f1xf1xy=fx+1()的圖象由y=()fx的圖象向左平移一個單位得到的，因為y=fx+1()的圖象關于原點對稱，所以y=()的圖象關于點0)對稱，故③錯誤④正確，fx又所以正確的有：①②④，故選：C.【點睛】結論點睛：通過奇偶性判斷函數對稱性的常見情況：（1）若f(x+a)為偶函數，則函數=()x=a的圖象關于直線對稱；yyfx（2）若f(x+a)為奇函數，則函數=()的圖象關于點(a,0)成中心對稱.fx二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡上.【答案】x|x?且1xx【分析】求使函數有意義的的范圍即為定義域，逐項求解即可.x+10，解得x?1且x1，【詳解】解：由題意得x?10且故函數的定義域為{∣x?1x.故答案為：x|x1且x12.【答案】2?f1=?f1【分析】根據題意，結合()()，代入即可求解.【詳解】由函數()是定義在R上的奇函數，且當x0時，()=(+)，fxx1xfxf?1=?f1=?1+=?2.則()()故答案為：2.?13.【答案】2【分析】求出函數在每一段的最大值，再進行比較，即可得答案；1【詳解】當x1時，函數f(x)=為減函數，x所以f(x)在x=1處取得最大值為f=1；當x1時，易知函數f(x)=?x2+2在x=0處取得最大值為f(0)2.=故函數f(x)的最大值為2.故答案為：2.【點睛】本題考查分段函數的最值，考查運算求解能力，屬于基礎題.1()=14.【答案】fx【分析】x根據題意寫出一個同時滿足①②的函數f(x)即可.1()=，在(,0)上單調遞減，()上單調遞減，fx【詳解】解：易知：xx,xDxx時，總有()()；fxfx12故對于任意，當12121()=fx()(+)上不單調,0且在其定義域.x1()=fx故答案為：.x15.【答案】①②④【分析】分別作出a=0，a0和0的函數f(x)的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為a=0，a0和0時函數f(x)的圖象，2?x2x,x0對于①：當a=0時，f(x)=，?x2?2x,x0f(x)圖象如圖1關于原點對稱，所以存在a0=使得函數f(x)為奇函數，故①正確；y→?x→時，y→+x→對于②：由三個圖知當最小值；故②正確；時，，當，所以函數f(x)既無最大值也無y=?k對于③：如圖2和圖3中存在實數k使得函數y=f(x)圖象與沒有交點，此時函數y=f(x)k+沒a有零點，所以對任意實數和，函數ky=f(x)+k總存在零點不成立；故③不正確m=+(?m)對于④：如圖2，對于任意給定的正實數，取am1即可使函數f(x)在區(qū)間上單調遞減，故④正確；故答案為：①②④【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是分段函數圖象，涉及二次函數的圖象，要討論a=0，a0和0即明確分段區(qū)間，作出函數圖象，數形結合可研究分段函數的性質.三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.，x0或xABx|0x4=AB=x|?2x，16.1）1（2）a4或?1a2,B）根據條件，先求出集合A=和A兩種情況討論，即可得出結果.，再借助數軸即可求出結果；AB（2）根據，分【小問1=?Bx|2x4，即?2x?80，得到2x4由x2，，當a=1時，A=x0x5AB=x|0x4，=?ABx|2x5x0或x.由圖知，，【小問2ABA=a?12a+3，得到a4，滿足題意，因為，當，即a?1?212A，即a?4，由AB，得到?1a，得到，2a+341綜上，實數a的取值范圍為a4或?1a.2()(??2)(2)7(3)證明見解析.17.【答案】(1)4,8或【分析】4x++3=2x（1）由解出方程可得答案.x44（2）利用均值不等式x++32x+3可得答案.xx(3)由定義法證明函數單調性的步驟即可證明.4x++3=2x?3x?4=0，解得x=4或x=?1）由，即x2x所以函數()的圖像與直線y=2x交點的坐標為(4,8)或(??)fx，244f(x)=x++32x+3=7（2）當x0時，xx4x=,x=2時，取得等號.當且僅當即xx+)()的最小值為fx7.所以當(3)任取時，函數x,x2x21，且1244()?()=++?++fxfxx3x3則212122(?)41x244=(?)+xx?=(?)+xx212121xx12xx?42xx124xx1=(?)?xx=(?)21121xx12x,x2xxxx4x?x0，則，1221由，且1212xx?4xx?40，則(2x)?012所以121xx12fx?fx0f(2)()所以()()f1，即21所以函數()在()上單調遞增fx【點睛】思路點睛：本題考查利用函數的奇偶性求參數，證明函數的單調性和利用單調性解不等式.證明函數的單調性的基本步驟為：xx.12(1)在給定的區(qū)間內任取變量x,x，且設12()?()變形，注意變形要徹底，變形的手段通常有通分、因式分解、配方、有理化等f1fx(2)作差.2()()的大小.2fx，fx(3)判斷符號，得出(4)得出結論.1{xx1或x18.1）+)（2）（3）(4)）由題意得x2?2x?30，求解即可得出答案；?=??（2）函數f(x)ax22ax3a(x2=??a3(a0)，可得二次函數f(x)圖象的開口向上，且對稱軸為x=1，題意轉化為f(x)min≥0，利用二次函數的圖象與性質，即可得出答案；（3）利用一元二次方程的根的判別式和韋達定理，即可得出答案．【小問1當a=1時，f(x)=x?2x?3，2f(x)0，即x2x3，1或?2x?30，解得x?∴不等式的解集為{xx1或x；【小問2f(x)=ax2?2ax?3=a(x?2?a?3(a0)，x+)則二次函數f(x)圖象的開口向上，且對稱軸為x=1，∴f(x)在+)上單調遞增，f(x)=f=a?3，；f(x)0在+)f(x)min≥0，上恒成立，轉化為∴a?30，解得a1，故實數a的取值范圍為+【小問3)f(x)=0關于x的方程有兩個不相等的正實數根x,x，12∵f(x)=ax?2ax?3，120，xx0，12+2Δ=4a+12a02∴a0且x+x=20a?3，解得，123=?xx012a612+22=(x+x)2?2xx=4+，1212a6g(a)=4+a?3令（a(?,?在上單調遞減，6(?0)g(a)(2,4)，，ax21+x22(2,4)的取值范圍為．故19.1）最大值為0，最小值為4?（2）答案見解析）當m=2時，可得f(x)=x+2x?3，結合二次函數的圖象與性質，即可求解；2（2）把不等式轉化為【小問1x+(2)02x?m，結合一元二次不等式的解法，即可求解.2解：當m=2時，可得f(x)=x+2x?3，2則函數()表示開口向上的拋物線，且對稱軸為y=fxx=?1，y=fx()在??1[上單調遞減，在上單調遞增，所以函數所以，當x=?1時，函數()取得最小值，最小值為fx(?)=?，f14f?2=f1=0又因為()()，所以函數的最大值為0，y=f(x)的最大值為0，最小值為4綜上可得，函數.【小問2解：由不等式f(x)2x+1，即x22m+12x1，+?+即不等式x+(m?2)x?2m=(x+mx?0)，2當m=?2時，不等式即為(x?0，此時不等式的解集為空集；2當?m2時，即m2時，不等式的解集為?mx2；當?m2時，即m?2時，不等式的解集為2x?m，綜上可得：當m=?2時，不等式的解集為空集；2時，不等式的解集為(?,2)m?2時，不等式的解集為(?m)當m；當.182x++0x6y=x?20.Ⅰ）8Ⅱ）確定為5千件時，利潤最大．11?x,x6【分析】(I)用銷售收入減去生產成本即得利潤；(II)分段求出利潤函數的最大值可得生產產量．18x?814?(3+xx63x++5?(3+x),0x6yy=S?C=【詳解】(I)設利潤是(萬元)，則，182x++2,0x6y=x?∴8；11?x,x618x?898?x時，y=2x+(II)0x6+2=??x)+，即x=5時，y]+18，98?x由“對勾函數”知，當8?x==6，當x6時，∴x=5時，y=11?x是減函數，x=6y時，=5，y=6，∴生產量為5千件時，利潤最大．【點睛】本題考查分段函數模型的應用，解題關