人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓的有關(guān)性質(zhì)（原卷版）

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

【提升訓(xùn)練】

一、單選題

1.筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工

作原理，如圖1,筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心。為圓心的圓，如圖2,己知圓心。在水面上方，且

被水面截得的弦A3長(zhǎng)為6米，。半徑長(zhǎng)為4米.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)。到弦所在直

線(xiàn)的距離是（）

A.1米B.（4-b）米C.2米D.（4+近）米

2.如圖，為圓。的直徑，且A8=8,C為圓上任意一點(diǎn)，連接AC、,以AC為邊作等邊三角形AC。，

以為邊作正方形8。如，連接OE.若AC為。，BC為b,DE為c,則下列關(guān)系式成立的是（）

A.ab+6Q=c2B.a2+b2-2c2C.a2+c2=3b2D.ab+64=c2

3.在《幾何原本》中，記載了一種將長(zhǎng)方形化為等面積正方形的方法：如圖，延長(zhǎng)長(zhǎng)方形ABC。的邊AD

到E,使?！暌訟E為直徑作.。，延長(zhǎng)CD交，。于點(diǎn)以，則。//2=旬./宏，則以￡）//為邊

的正方形。EG"的面積等于長(zhǎng)方形ABCD的面積.若0￡>=3,點(diǎn)E是。R中點(diǎn)，則。。的長(zhǎng)為（）

4.如圖，A3與CD是二。的兩條互相垂直的弦，交點(diǎn)為點(diǎn)P,/ABC=70°,點(diǎn)E在圓上，則NBED的

度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

5.下列命題是真命題的是（）

A.同弧所對(duì)的圓心角相等

B.對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形

C.二次函數(shù)y=奴？+bx（ab豐0）的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)

D.若,則標(biāo)>b2

6.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=6,以點(diǎn)。為圓心，為半徑的圓與

相交于點(diǎn)。，則AD的長(zhǎng)為（）

A.2B.2A/3C.3D.373

7.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC=3,NABC的平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)，CD=1.則。。

的直徑為（）

c

A.有B.26C.1D.2

8.如圖，A、3是:二。上的兩點(diǎn)，ZAOB=60°,。尸_1_48交(O于點(diǎn)尸，則NB4廠(chǎng)等于()

?

A.20°B.22.5°C.15°D.12.5°

9.如圖，點(diǎn)A,B,C,。都在。。上，且CB=CD=2,AB=AD,S四邊形ABCD=()

0

A

A.46B.273C.：紀(jì)D.6

10.如圖，C,D是。上直徑AB兩側(cè)的兩點(diǎn).設(shè)NABC=25°,則N5DC=()

D

A.85°B.75°C."70°D.65°

11.如圖，等腰，AQB中，頂角NAOfi=40。，用尺規(guī)按①到④的步驟操作:

①以。為圓心，OA為半徑畫(huà)圓；

②在。上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A,B重合），連接AP；

③作A3的垂直平分線(xiàn)與。交于M,N；

④作AP的垂直平分線(xiàn)與'：O交于E，F(xiàn).

結(jié)論I：順次連接M，E，N,產(chǎn)四點(diǎn)必能得到矩形；

結(jié)論n：_。上只有唯一的點(diǎn)尸,使得S扇形OFM=S扇形OAB.

對(duì)于結(jié)論I和II,下列判斷正確的是（）

A.I和n都對(duì)B.I和n都不對(duì)

C.I不對(duì)II對(duì)D.I對(duì)II不對(duì)

12.如圖，。是Rt/VLBC的外接圓，。石，43交（。于點(diǎn)E,垂足為點(diǎn)。，AE,CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于

點(diǎn)、F.若0。=3,AB=8,則尸C的長(zhǎng)是（）

A.10B.8C.6D.4

13.如圖，AB為的直徑，以08為斜邊作等腰及△03。，連接AD交C。于點(diǎn)E.若AB=10.則

OE的長(zhǎng)為（）

D\E

B

A.平B.5近「5&.半

2

14.如圖，AB是O。的直徑，是，。的弦，先將BC沿翻折交A6于點(diǎn)D.再將30沿A5翻折

交.BC于點(diǎn)、E.若BE=DE，設(shè)NABC=c，則&所在的范圍是（）

A.21.9°<?<22.3°B.22.3°<cr<22.7°

C.22.7°<￡Z<23.1°D.23.1°<。<23.5°

15.如圖，在C。中，AB是直徑,CD是70上的兩個(gè)點(diǎn)，OC//AD.若NZMC=25。，則NBOC的

C.60°D.65°

16.如圖，A3是。。的直徑，是。。上兩點(diǎn)，若NABC=40。，則N3DC的度數(shù)是（）

c

17.如圖，在」A6C中，點(diǎn)。是邊和AC的垂直平分線(xiàn)0￡）、OE的交點(diǎn)，若ZBOC=100°,則/EOF

的大小為（）

工B

4EAC

A.40°B.45°C.50°D.80°

18.如圖，在矩形ABC。中，對(duì)角線(xiàn)AC,5。相交于點(diǎn)。，/LB=6,NZMC=60°,點(diǎn)歹在線(xiàn)段AO上

從點(diǎn)A至點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，連接。歹，以。尸為邊作等邊三角形OEE，點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于兩側(cè)，下列結(jié)

論：①ZBDE=/EFC；②ED=EC；③ZADF=NECF；④點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路程是26，其中正確結(jié)論

的序號(hào)為（）

AB

A.①④B.①②③C.②③④D.①②③④

19.如圖，AB為（。的直徑，點(diǎn)C為43上一點(diǎn)，點(diǎn)。在。上，AD=AC,,連接。C并延長(zhǎng)交于點(diǎn)

E,連接OE,若/54。=30。，則/COE的度數(shù)為（）

D

A.30°B.35°C.40°D.45°

20.已知A5是半徑為1的一。的一條弦，且A3=a<l,以A3為一邊在（。內(nèi)作等邊三角形ABC,D

為上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB=AB=a,。。的延長(zhǎng)線(xiàn)交（。于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為（）

A.----aB.1C.-----aD.a

22

21.如圖，點(diǎn)A、B、C、。均在。上，AB=AC,BD是。的直徑，連接CD,若NA=36°,則NACD

的度數(shù)是（）

A.18°B.30°C.36°D.40°

22.如圖，。的直徑CD為26,弦A5的長(zhǎng)為24,且ABLCD,垂足為M，則CM的長(zhǎng)為（）

A.25B.8C.5D.13

23.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O,AB=CD,A為BO中點(diǎn)，NBDC=54。,則NAD5等于（）

A

A.42°B.46°C.50°D.5,4。

24.如圖，AB是。。的直徑，EF,石B是。。的弦，點(diǎn)E是FEB的中點(diǎn)，EF與AB交于點(diǎn)C,連接OF,

若NAOF=40。，則/F的度數(shù)是（）

E

A.20°B.35°C.40°D.55°

25.如圖，已知，ABC,。為AC上一點(diǎn)，以08為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,且與BC、0C交于點(diǎn)E、D,

設(shè)NC=e,44=4，貝U（）

A.若i+尸=80。，則弧的度數(shù)為10。

B.若。+尸=80°,則弧。石的度數(shù)為20°

C.若aW=80°,則弧OE的度數(shù)為30。

D.若。%=80°,則弧的度數(shù)為40。

26.4ABC內(nèi)接于圓，延長(zhǎng)到，點(diǎn)E在BC上，連接AE，EC,如圖所示.圖中等于NACD與的C

之差的角是（）

A.ZACBB.ZBAEC.ZEACD.ZAEC

27.如圖，四邊形ABC。是菱形，。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、D,與8C相交于點(diǎn)E,連接AC、AE.若/。=80。,

則/以。的度數(shù)為（）

C.30°D.35°

28.如圖，AB為。的直徑，8是；。的弦，ZCAB=60°,則/ADC的度數(shù)為（）

D

A.20°B.30°C.40°D.60°

29.如圖，點(diǎn)A,B,C在。上,ZAOB=100°,NOBC=20。，則/。4c的度數(shù)為（）

25°C.30°D.40°

30.如圖，在。。中，AB是直徑，是弦，AB1CD,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AC=ODB.BC=BD

C.ZAOD=ZCBDD.ZABC=ZODB

二、填空題

31.如圖，：。的直徑CD為6cm,OA,08都是。的半徑，NAOD=2NAOB=60°,點(diǎn)P在直徑

CD上移動(dòng)，則AP+BP的最小值為.

32.如圖，在（0中，NCSO=55°,NC4O=15。，則NAO3的度數(shù)是,

33.如圖，已知AB是。。的直徑，且45=66，弦CDJ_AB,點(diǎn)E是弧上的點(diǎn)，連接AE、DE,

若NA+ND=30°,則CD的長(zhǎng)為.

34.如圖，AB是；。的弦，C是A3的中點(diǎn)，0C交AB于點(diǎn)D若AB=8cm,CD=2cm,貝U。的半

35.圖1是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設(shè)備，根據(jù)它的原理設(shè)計(jì)了圖2的機(jī)械設(shè)備，磨盤(pán)半徑。暇=20cm,把手

MQ=15cm,點(diǎn)o,M,。成一直線(xiàn)，用長(zhǎng)為135cm的連桿將點(diǎn)。與動(dòng)力裝置P相連（NPQM大小可

變），點(diǎn)P在軌道A5上滑動(dòng)并帶動(dòng)磨盤(pán)繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，OA±AB,OA=8Qcm.

圖1圖2

（1）點(diǎn)P與點(diǎn)。之間距離的取值范圍是

（2）若磨盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)500周，則點(diǎn)尸在軌道AB上滑動(dòng)的路徑長(zhǎng)為m.

三、解答題

36.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于0,延長(zhǎng)A5、。。相交于點(diǎn)E,且N3CD=2NADC.

（1）如圖1,求證：CE=CB；

（2）如圖2,點(diǎn)B為弧AD上一點(diǎn)，連接OR、AF.BD，若NCDB=ZADF,求證：AF//DE-,

（3）如圖3,在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)。作垂足為K,若NAED=120。，F(xiàn)K=1,DE=11,

求AE的長(zhǎng).

37.如圖，已知A8是。的直徑，垂足為點(diǎn)E,如果BE=OE,AB=10cm,求△AC。的周長(zhǎng).

38.如圖，已知在。。中，AB=BC=CD-0C與相交于點(diǎn)E.求證:

(1)AD//BC

(2)四邊形BCDE為菱形.

39.已知：在圓。內(nèi)，弦AD與弦交于點(diǎn)G,AD=CB,M,N分別是CB和AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN,OG.

(1)求證：0G1MN；

(2)聯(lián)結(jié)AC,AM,CN,當(dāng)。V//OG時(shí)，求證：四邊形AOVM為矩形.

40.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)G是8C邊上的任意一點(diǎn)，DEJLAG于點(diǎn)E,點(diǎn)、B'與

點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AG對(duì)稱(chēng)，BB'交AG于點(diǎn)F.連接EB,DB'.

(1)求證：AE=BF-,

(2)若四邊形是平行四邊形，求四邊形與正方形ABCD的面積之比;

(3)直接寫(xiě)出的最小值.

41.如圖①，在。。中，弦C。垂直直徑AB于點(diǎn)E.己知AC=4,BD=2下.

(1)求直徑A8的長(zhǎng).

(2)小慧說(shuō)“若將題目條件中的，直徑A夕改為，弦其余條件均不變(如圖②)，。。的直徑仍不變”,

你覺(jué)得小慧的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖①圖②

42.如圖，48為圓。的直徑，C為圓。上一點(diǎn)，。為弧BC的中點(diǎn)，過(guò)D作。FLAB于點(diǎn)E,交圓。于點(diǎn)

F,交弦BC于點(diǎn)G,連接CD、BF

(1)求證：ABFG”ADCG；

(2)若AC=10,BE=8,求8尸的長(zhǎng)

43.如圖，圓。中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點(diǎn)、E.

(1)〃是CD的中點(diǎn)，OM=3,CD=12,求圓。的半徑長(zhǎng);

(2)點(diǎn)/在C。上，且CE=EF,求證：AF±BD.

44.如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C,。在，。上，且AD=￡)B，連接8,交AB于點(diǎn)E，連接0C,

DB，BC.

（1）若NAOC=120。，求NBEC的度數(shù)；

（2）用尺規(guī)作圖作出NA3C的角平分線(xiàn)交CD于點(diǎn)R（保留作圖痕跡），并求證：BD=FD.

45.如圖，A3為：。的直徑，C是：）。上的一點(diǎn)，連接AC,BC.。是的中點(diǎn)，過(guò)。作

于點(diǎn)E,交.BC于點(diǎn)、F.

（1）求證：BC=2DE；

（2）若AC=6,AB=10,求OE的長(zhǎng).

46.如圖，AB是:.。的直徑，弦CD，A3于點(diǎn)E,連結(jié)3。，CO的延長(zhǎng)線(xiàn)交（。于點(diǎn)RAF,C￡）的延

長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G.

G

AB

C

(1)求證：NG=NCDB.

(2)若tan/G=?,DG=4,求。的半徑.

2

47.已知：如圖，AB是的直徑，CD=BD，過(guò)點(diǎn)。作DE//AB,交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形AODE是菱形.

(2)連結(jié)血，若C。半徑為5,BD=6,求CE的長(zhǎng).

48.如圖，放△48。中，NABO=90。，AB=4,80=2.以AB為邊作正方形A8CD.點(diǎn)M是邊BC上一動(dòng)

點(diǎn)，連接AM,過(guò)。作AM的垂線(xiàn)，垂足為N,連接CN.則線(xiàn)段CN的最小值是_.

49.如圖，AB,AC是一。的弦，過(guò)點(diǎn)C作CELA3于點(diǎn)交C。于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)8作BELAC于點(diǎn)F,

交CE于點(diǎn)G,連結(jié)8￡.

(1)求證：BE=BG

(2)過(guò)點(diǎn)8作出，718交《。于點(diǎn)”，若BE的長(zhǎng)等于半徑，BH=4,AC=27,求CE的長(zhǎng).

50.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于C。，歹是CD上一點(diǎn)，且DP=3C，連接CV并延長(zhǎng)E交A。的延長(zhǎng)

于點(diǎn)E,連接AC.

(1)若NABC=105°,ZBAC=25°,求NE的度數(shù)；

(2)若。的半徑為4,且N5=2NADC,求AC的長(zhǎng).

51.已知A3是?。的直徑，CD是。的弦，連接60.

c

圖1圖2

(1)如圖1,連接OC,AD.若NADC=56°,求NCD3及NCO3的大?。?/p>

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作DB的垂線(xiàn)，交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接0。.若ZABD=2NCDB,ZODC=20°,

求/DCE的大小.

52.如圖，。。是AABC的外接圓，且A5=AC,四邊形A3CD是平行四邊形，邊CD與0。交于點(diǎn)E,

連接AE.

（1）求證：AE=AD-,

(2)若NB=72°,求證：點(diǎn)E是AC的中點(diǎn).

53.如圖，在中，NACB=90°,AB=IO,AC=6,點(diǎn)。為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為

直徑的：。交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CFV/A5,交(。于點(diǎn)尸，連接CE、EF.

(1)當(dāng)NCEE=45。時(shí)，求CD的長(zhǎng)；

(2)求證：ZBAC=/CEF；

(3)是否存在點(diǎn)。，使得一CFE是以C尸為底的等腰三角形，若存在，求出此時(shí)CD的長(zhǎng)；若不存在，試

說(shuō)明理由.

54.如圖，在△ABZ)中，AE、3E分別平分NS4D和NABD.延長(zhǎng)AE交NABD的外接圓于點(diǎn)C,連

接CB,CD,ED.

(1)若NCfiD=40。，求NS4D的度數(shù).

(2)求證：CB=CD=CE.

55.已知：。。的兩條弦AB,C。相交于點(diǎn)M,且AB=CD

(1)如圖1,連接AD求證：AM=DM.

(2)如圖2,若A8_LC￡),在弧2。上取一點(diǎn)E,使弧2石=弧2。，AE交CD于點(diǎn)、F,連接4。、DE.

①判斷NE與NQFE是否相等，并說(shuō)明理由.

②若DE=7,AM+MF^n,求△尸的面積.

56.如圖，在RdABC中，ZBAC=90°,以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓，交8c于點(diǎn)。，交AB于點(diǎn)、E,

連接DE.

(1)若/A8C=20。，求/。EA的度數(shù)；

(2)若AC=3,AB=4,求CZ)的長(zhǎng).

57.小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖，點(diǎn)。是弧上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段3C=8cm，點(diǎn)A是線(xiàn)段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作CF/AB。，交ZM的

延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)尸.當(dāng),DCE為等腰三角形時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度.

D

F

小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問(wèn)題很難通過(guò)常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問(wèn)題，請(qǐng)

將下面的探究過(guò)程補(bǔ)充完整：

(1)根據(jù)點(diǎn)。在弧上的不同位置，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線(xiàn)段32CD,ED的長(zhǎng)度，得到下表的幾組

對(duì)應(yīng)值.

BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0

CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.10

FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0

操作中發(fā)現(xiàn)：

①當(dāng)點(diǎn)。為弧6C的中點(diǎn)時(shí)，BD=5.0cm.則上中。的值是:

②線(xiàn)段C尸的長(zhǎng)度無(wú)需測(cè)量即可得到.請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

(2)將線(xiàn)段的長(zhǎng)度作為自變量尤,CD和ED的長(zhǎng)度都是％的函數(shù)，分別記為汽。和為°，并在平面直

角坐標(biāo)系中畫(huà)出了函數(shù)VFD的圖象，如圖所示.請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y。