2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：課時(shí)作業(yè)四 基本不等式

四基本不等式

（時(shí)間：45分鐘分值:85分）

【基礎(chǔ)落實(shí)練】

1.（5分）（2024?臨夏模擬）若x>0,則函數(shù)產(chǎn)x+白）

A.有最大值-4B.有最小值4

C.有最大值-2D.有最小值-2

【解析】選B.因?yàn)椋?gt;0,所以尸x+?2。4,當(dāng)且僅當(dāng)尸|,即尸2時(shí)取等號(hào)，

xXX

所以當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)y=x+|有最小值4.

2.（5分）已知。>0,且6>0,若2a+b=4,則ab的最大值為（）

11

A-B.4C,-D.2

4L

［解析］選D.4=2q+bN2A

即2出/碗，兩邊平方得生2aA

所以。店2,當(dāng)且僅當(dāng)a=T,b=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以ab的最大值為2.

3.（5分）要制作一個(gè)容積為4m3,高為1m的無蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面

造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是

（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

【解析】選C.由題意知，體積%=4m3,高/z=lm,所以底面積S=4n?,設(shè)底面矩形

AQ

的一條邊長(zhǎng)是Xm,則另一條邊長(zhǎng)是:m,又設(shè)總造價(jià)是歹元，則產(chǎn)20x4+10x（2%+9

）>80+20戶60,當(dāng)且僅當(dāng)2尸即x=2時(shí)取等號(hào).

1

4.（5分）設(shè)％>0,則3-3月的最大值是（）

A.3B.3-2V2C.-lD.3-2V3

【解析】選D.因?yàn)閤>0,所以聶+白2層當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)g時(shí)，等號(hào)成立，

XA/XD

所以-（3%+2-2收，

則3-3%--<3-2^/3.

5.（5分）（多選題X2024?連云港模擬）下列命題中的真命題有（）

1

A.當(dāng)%>1時(shí)用一X-滴A.勺最小值是3

B.j皆的最小值是2

C.當(dāng)0<x<10時(shí),"（10-%）的最大值是5

D.若正數(shù)為實(shí)數(shù),x+2y=3盯，則2.x+y的最大值為3

【解析】選AC.對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)椋?gt;1,則x-l>0,

11/1

所以x+n^（+D+rr+G2（%-1）x77+1=3,

1

當(dāng)且僅當(dāng)x-l=，即x=2時(shí)，等號(hào)成立,故選項(xiàng)A正確；

X-A-

22

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?/p>

業(yè)+4”+4，‘%+4

等號(hào)成立的條件是％2=一3,顯然不成立，所以等號(hào)不成立,不能使用基本不等式，即最

小值不為2,令T7+心則尸+：在［2,+8）上單調(diào)遞增，所以右2時(shí)取得最小

值|,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?<%<10,則10-x>0,

所以小（10一%）昌+（；久）=5,

當(dāng)且僅當(dāng)x=10-x,即尸5時(shí)，等號(hào)成立,故選項(xiàng)C正確；

12fl2\2x

對(duì)于選項(xiàng)D,由x+2y^3xy得豕k1,故2x+y=（2%+y）xl=（2%+y）x七+司3+

2v14\2x2y,5_9_

荻才^2后xhrr3o，

當(dāng)且僅當(dāng)||埸時(shí)取等號(hào),故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

6.（5分X多選題）已知a,b為正實(shí)數(shù)，且仍+24+6=16,則（）

A.ab的最大值為8

B.2.a+b的最小值為8

C.a+b的最小值為6A/2-3

的最小值為夕

【解析】選ABC.因?yàn)?6=ab+2a+bNab+2也豆，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)取等號(hào),

解不等式得0<V^S2也，即"二8,故ab的最大值為8，A正確；

由16=ab+2a+6得b=.+i=+丁2,

ll~,16-2a18I18-

所以2q+b=2a+~77T^2(a+l)+^-4>2^a+1>壬-4=8,

1o

當(dāng)且僅當(dāng)2(a+l)*p即。=2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值8,B正確；

a+b^a^--p2=a+1+工-3次避-3,當(dāng)且僅當(dāng)。+1號(hào),即。=3"-1時(shí)取等號(hào),C正

確；

三二=2Ih,尸f，當(dāng)且僅當(dāng)。+1=計(jì)2時(shí)取等號(hào),此時(shí);

a+1b+2弋。+1/)+27ab+2a+b+23a+1

+由取得最小值W，D錯(cuò)誤.

1

7.(5分X2023?濱州聯(lián)考)若函數(shù)加)=%一(%>2)在x=a處取最小值，則

a=

1IJ-1

【解析】當(dāng)x>2時(shí),x-2>0Mr)=(%-2)H—r+2>2(x-2)?力+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=-

X-zA/x-乙%-Z

即x=3時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)小)取得最小值時(shí)x=3,即a=3.

1—1J

37

8.(5分)若正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b+2=ab,則a+b-2的最小值為__________;—科「■的

CL-A.D-1.

最小值是__________.

【解題指南】將條件轉(zhuǎn)化為(a-l)(b-1)=3后,由基本不等式求解.

A2_

【解析】由。+6+2=也得a—b-1>0,所以6>1,同理可得a>l,所以b-l>0,a-l>0.

因?yàn)閍+b+2=ab,所以(a-l)(b-1)=3,

所以a+b-2=(a-l)+(b-1)N2A當(dāng)且僅當(dāng)4-1=6-1,即4=6=1+

平時(shí)取等號(hào).

又6-1-1，所以。1)白=2",當(dāng)且僅當(dāng)6-1*,

即b=j+l時(shí)等號(hào)成立.

答案:2依2"

【加練備選】

1Y__.

已知x+尸1，歹>0,%>0,貝U五+五1的最小值為.

【解析】將X+產(chǎn)1代入5+喜中，得力+"+:+冬，設(shè)竟》。，

‘人yIJLyvIJ]I，yV

X

72

12r+3t+31(1+2t)+2t+1+41八-、4_

則原式W-1+2t~~2(1+2t)~4'l+2t4^r+，)+]+2t+l]

Sx2j(l+2t)T^+%|,當(dāng)且僅當(dāng)W，即產(chǎn)|產(chǎn)|時(shí)，取

口^>4

9.(5分)若正數(shù)滿足x+4y-砂=0,則x+y的最小值為.

【解析】因?yàn)閤>0,y>0,x+4y-xy=0,

所以％+4尸》兩邊同除以孫彳導(dǎo):占1,

xy

所以x+y^x+y)(1+3=5+|+?N5+2《f=9,

'x4y

當(dāng)且僅當(dāng),片"，即tZ?時(shí)，等號(hào)成立,

x+4y-xy=0I>

所以x+y的最小值為9.

答案：9

10.（10分）已知x>0,y>0,且2x+8產(chǎn)砂，求：

（1）町的最小值；

【解析】（1）因?yàn)楦?2%+8疙212%?8y,

即?N8，可，即xy>64,

當(dāng)且僅當(dāng)2x=8y,即x=16,y=4時(shí)，等號(hào)成立，

所以xy的最小值為64.

（2）%+7的最小值.

【解析】⑵由2%+8產(chǎn)私得|+|=1,

Ky

82

則x+產(chǎn)（肅人y）”）

=10心白>10+2/18,

yx~7yx

當(dāng)且僅當(dāng)衿，即％=12,歹=6時(shí)等號(hào)成立，

yx

所以％+y的最小值為18.

11.（10分）（2024?南京模擬）已知正數(shù)x,y滿足x+2尸1.

（1）當(dāng)x,y取何值時(shí)，町有最大值？

【解析】⑴因?yàn)檎龜?shù)可滿足x+2尸1,

由基本不等式得x+2y=G2媳可，解得xy<-,

11

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)2乂即尸時(shí)，等號(hào)成立，

故町的最大值為:

（2）若1%？93“恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】（2）要想》廿恒成立，只需Q+力戶。，

正數(shù)x,y滿足x+2產(chǎn)1,

所以%}Q+f（%+2了）=1+4+§+"5+2"^=9,

當(dāng)且僅當(dāng)然，即時(shí)，等號(hào)成立，

故欲3。,解得a<2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-00,2].

【能力提升練】

12.（5分）（多選題）（2024?潮州模擬）設(shè)正實(shí)數(shù)叼滿足x+2y=3,則下列說法正確的

是（）

A.汨的最小值為4

xy

Q

B.xy的最大值為目

C./+內(nèi)的最小值為2

Q

D.N+4儼的最小值為2

【解析】選ABD.對(duì)于人,如蕓+一49+222g|+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)尸1時(shí)取等

xyA,yJiy、/九y

號(hào)，故A正確;

對(duì)于B,孫十27去(霍丫當(dāng)言當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)2乂即％=|產(chǎn)|時(shí)取等號(hào)，故B正

乙乙\乙J乙1"CJ乙1

確;

又寸于C,(m+y/2y^x+2y+2y/2xy<3+

26[=3+3=6,則獲依當(dāng)且僅當(dāng)尸2乂即尸|產(chǎn)|時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò)誤；

QQQQ

對(duì)于D其2+4產(chǎn)(%+27)2-4町N9-4x^^,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)才皇寸取等號(hào)，故D正確.

]_e久

13.(5分)(2024?濱州模擬)已知函數(shù)/(%)=---^若m>0,n>0,H/(2m)+/(n-l)=f(0),

1+e

則的最小值為______.

mn

X?

e-1

【解析】因?yàn)榘?)?三的定義域?yàn)镽,關(guān)于(0,0)對(duì)稱，且大-動(dòng)-W

1+e1+ei+e

x

e

三人乃，即函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，

1+e

l_°

又因?yàn)?--e;0,所以償-1)文0)=0,

1+e

即2加+(7i-1)=0,所以2m+n=l,

則上+4工+-)(2m+)—+—+4>2

n卜4=8,

mn\mnjv，mn

’n4m

當(dāng)且僅當(dāng)，