2024屆河南省新鄉(xiāng)市高三第三次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.下列集合中有無數(shù)個元素的是（）

A.|xeN|—GN|B.|xeZ|—GN|C.|xeN|—ezjD.|xeQ|—GN|

【答案】D

【解析】

【分析】求出各個選項的元素個數(shù)即可得出答案.

【詳解】對于A,因為geN,xeN,則x=l,2,4,eN||eN|={1,2,4},故A錯誤；

4

對于B,因為一eN,xeZ,貝ijx=l,2,4,

X

所以卜€(wěn)2|：€,={1,2,4},故B錯誤；

對于C,xeN,|eZ,所以|xeN|：ez}={l,2,4},故C錯誤；

對于D,{xeQlgeN1有無數(shù)個元素.故D正確.

故選：D.

2.已知2=（1-3。（4+。（4611）為純虛數(shù)，則。=（）

A3B.—3C.—D.—

33

【答案】B

【解析】

【分析】利用復數(shù)乘法求出z,再利用純虛數(shù)的意義求解即得.

a+3=0

【詳解】依題意，z=(a+3)+(l-3a)i,由z是純虛數(shù)，得〈

[1-3awO

所以a=—3.

故選：B

3.已知向量日=(4,3),忖=4,若方與B的夾角為(，則￡/=()

A.10B.10^C.5D.5G

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的坐標求出同="2+32=5,即可利用向量數(shù)量積公式求出結(jié)果.

【詳解】???1=(4,3),.,.同="2+3?=5,

則=|?|-|z>|cosa,=5x4xcosy=10,

故選：A.

4.已知直線4:2x+7盯一1=0,l2:(m+l)x+3y+l=0,貝！|“機=2"是“"http://2''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】C

【解析】

【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行判斷即得.

【詳解】當機=2時，直線乙：2x+2y—l=0,/2:3x+3y+l=0,貝i]“/(，

2m—1

當時，----=一豐---，解得7〃=2,

m+131

所以“加=2”是“/J4”充要條件.

故選：C

5.已知球。的半徑為5,點A到球心。的距離為3,則過點A的平面a被球。所截的截面面積的最小值

是()

A.9兀B.1271C.16兀D.20K

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面小圓性質(zhì)求出截面小圓半徑即得.

【詳解】由點A到球心。的距離為3,得球心。到過點A的平面a距離的最大值為3,

因此過點A的平面a被球。所截的截面小圓半徑最小值為J52-3z=4,

所以過點A的平面a被球。所截的截面面積的最小值是4?兀=16兀.

故選：C

6.如圖所示的“分數(shù)楊輝三角形”被我們稱為萊布尼茨三角形，是將楊輝三角形中的C：換成廠義方得到

的，根據(jù)萊布尼茨三角形，下列結(jié)論正確的是（）

1

T

11

22

111

363

1X±1

412124^

1j_J_j_1

52030205

1111,1_1

----1----r=--------

y(n-l)C；i+1

111111

--------1--------T二--------r----

(〃+l)C：("+1)C”nCn+l5+DC；(”+i)c/"c"

【答案】D

【解析】

【分析】觀察萊布尼茨三角形，得出規(guī)律即可判斷得解.

【詳解】觀察萊布尼茨三角形，知每一個數(shù)等于下一層與它緊挨的兩個數(shù)之和,

111

因此(〃+l)C；+(〃+l)C；M,即D正確，ABC錯誤.

nCn-l

故選：D

JT兀

7.傾斜角為。的直線/經(jīng)過拋物線C：丁二露刀的焦點R且與C相交于A,3兩點.若,則

-64

|4目怛耳的取值范圍為（）

【解析】

Inx

【分析】根據(jù)給定數(shù)據(jù)，構(gòu)造函數(shù)/(》)=——，利用導數(shù)探討單調(diào)性并比較大小即得.

X

-

YI_I-J1丫

【詳解】令函數(shù)/(x)=——,x>e,求導得r(x)=：y—<0,即函數(shù)/(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減，

XX

I￡

ln22

工ln2ln4,ln34-21n2T?ee

而a=.=丁,b=-^-,c=--j—=X3<—<4,因止匕/(3)>/(彳)>/(4),

/45ee，2

~2

所以<z<c<b.

故選：B

【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間

的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知由5個數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,方差為2,現(xiàn)再加入一個數(shù)據(jù)1,組成一組新數(shù)據(jù)，則

()

A.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3B.這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6

C.這組新數(shù)據(jù)的方差為丑D.這組新數(shù)據(jù)的方差為§

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出新數(shù)據(jù)組的平均數(shù)，再利用分層抽樣的方差公式求出方差即得.

【詳解】依題意，這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為三里=6,方差為

6

|x[2+(7-6)2]+jx[0+(l-6)2]=^.

663

故選：BC

10.已知m，n,/為空間中三條不同的直線，a，B，7為空間中三個不同的平面，則下列說法中正確的

是（）

A.若ac/3=m,mLy,則a_L7,〃_L/

B.若則m與〃為異面直線

C.若ac。=I,/3cy=m,yca=n,且加=P,貝！

D,若“z_L/?3///,則////

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用面面垂直的判定判斷A；確定線線位置關(guān)系判斷B；利用平面基本事實判斷C；利用線面垂

直的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)判斷D.

【詳解】對于A,顯然機ua,wu〃，又則a_L7,〃_L/,A正確；

對于B,由〃得加與〃可能相交、可能平行、也可能為異面直線，B錯誤；

對于C,由acp=l,/3cy=m,l^m=P,知點P在平面名〃,/內(nèi)，

即為平面的公共點，而7I。=〃，因此尸C正確；

對于D,由加得a//，，而。//九因此，///,D正確.

故選：ACD

11.已知定義在R上的函數(shù)“可滿足〃2x+6)=/(—2力，且/(x—l)+/(x+l)=/(—2),若

/(|)=1，則()

A./(2024)=1B.”力的圖象關(guān)于直線為=—3對稱

20251

C.外可是周期函數(shù)D.W--)=2025

k=\2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等式，結(jié)合賦值法推導出函數(shù)〃無)及對稱軸，再逐項分析計算得解.

詳解】由/(%—1)+/(%+1)=/(-2),得/(%+l)+/(x+3)=/(—2),

則/Xx—l)=/(x+3),即/(幻=/(%+4),因此是周期為4的周期函數(shù)，C正確；

令x=—1,得/(一2)+/(0)=/(-2),則40)=0,因此/(2024)=/(0)=0,A錯誤;

由/(2x+6)=/(—2%),得/(%+6)=/(—%),則](-%)="(x-12)+6]=/(X-6),

因此/(X)的圖象關(guān)于直線x=—3對稱，B正確；

由/(%+6)=f(-x),得/(%)的圖象關(guān)于直線x=3對稱，

因此直線x=—3+4〃及x=3+4”(“eZ)均為了(尤)圖象的對稱軸，

從而八―2)=〃0)=0"(3=宿)=1,令川=｝得〃|一1)+收+1)=°，

w/(1)=-/(()=-b則

二一1,

故￡(一球W-1)=-/(1)+2/(|)-3/(|)+4/(1)——2025/(等)

=(1—2—3+4)+…+(2021-2022-2023+2024)+2025=2025,D正確.

故答案為：BCD

【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=/(x)的定義域為。，VxeD,

①存在常數(shù)。，b使得/(?+/(2a—x)=2bo/(a+%)+/(4—%)=2人，則函數(shù)>=/(尤)圖象關(guān)于點

(。,6)對稱.

②存在常數(shù)a使得f(x)=f(2a一幻of(a+%)=/(?-%),則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=a對稱.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.雙曲線石：^^-----------=1的實軸長為4,貝.

a~+a+22a+3

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，確定雙曲線的焦點位置，再列式計算即得.

【詳解】顯然片+“+2>0恒成立，則雙曲線E的焦點在x軸上，

。2+。+2=2一

于是<，所以a=l.

2。+3〉0

故答案為：1

13.已知函數(shù)/(%)=sinax-J5cosox(口>0),若存在玉￡[0,兀],使得/(%)=—2,則。的最小值為

【答案】—##1—

66

【解析】

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)〃%)，求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

jI'jIjIjI

【詳解】函數(shù)/(x)=2sin(°x—,),由％6[0,兀],得。%

7137111

由存在石￡[0,兀]，使得/(%)=-2,得兀啰--->—->解得力之二，

326

所以G的最小值為一.

6

故答案為：一

6

14.如圖，在扇形Q43中，半徑。4=4,ZAOB=90°,C在半徑OB上，。在半徑。4上，E是扇形

弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形5CDE的周長的取值范圍是.

OcB

【答案】（8,12]

【解析】

【分析】設(shè)0。=%,利用平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出nBCDE周長的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的

值域即可.

【詳解】設(shè)OC=x,則BC=4—x,由口BCDE,得DE=5C=4—%,顯然0<x<4,

連接0E,由OE〃臺C,ZAOB=90°,得NODE=90°,

2

0。2=0后2-DE?=4?—（4-4=8x-d,BE=CD=yJoif+OC=2>/2x

因此口BCDE的周長/=23C+2CD=8—2x+4岳=—（岳—2）2+12

顯然0<J^<2j^，當=2，即X=2時，/max=12,而x=0時，1=8,

所以口6CDE的周長的取值范圍是（8,12].

故答案為：（8,12]

OcB

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/（力二xlnx.

(1)求/(X)的極值；

(2)若過點(。力)可以作兩條直線與曲線y=/(x)相切，證明：b<dna.

【答案】(1)極小值為無極大值；

ee

(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)/(九)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出極值.

(2)設(shè)出切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，把點(。,。)的坐標代入，構(gòu)造函數(shù)

g(x)^alnx-x+a,分類探討單調(diào)性、確定方程Z?=alnx—x+a正根個數(shù)即得.

【小問1詳解】

因為/(x)=xlnx,所以/"'(尤)=lnx+l,令/'(x)=。，得關(guān)=!，

e

當xe時，f'(x)<0,/(x)在上單調(diào)遞減，

當xe時，/'(x)>0,/(x)在|［，+8］上單調(diào)遞增，

所以當x=!時，/(x)取得極小值，且極小值為/'=一J_,無極大值.

ee

【小問2詳解】

設(shè)切點為(%,/In%),則切線的方程為y-xolnxo=(l+lnx0)(j;-x0),

則人一不!!!/=(l+ln%0)(Q-%o),整理得b=aln/-a,

由過點(db)可以作兩條直線與曲線y=/(x)相切，

可得方程Z?=Qlnx-x+Q有兩個不相等的正根.

a—x

g(x)=alnx-x+a,貝|g'(%)=----,

x

當aWO時，g'(x)<O,g(光)在(0,+8)上單調(diào)遞減，則方程〃=alnx—x+a最多只有一個正根，不符合

題意，

當a>0時，若xe(0,a),則g'(x)〉O,g(x)在(O,a)上單調(diào)遞增，

若xe(a,+oo),則8'(龍)<0送(九)在(。,+8)上單調(diào)遞減，貝ijg。"”=g(a)=alna,

故要使得方程Z?=alnx—x+a有兩個不相等的正根，則人<alna.

16.如圖，在四面體4BCD中，45=4。=4。=5。=5。,3。，5￡）,￡,廠分別為48AC的中點.

（1）證明：平面ACD,平面BC。；

（2）求平面應(yīng)）戶與平面CDE夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

【解析】

【分析】（1）取CD的中點。，借助勾股定理逆定理證得06,Q4,再利用線面垂直、面面垂直的判斷

推理即得.

（2）以。為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面應(yīng)）尸與平面C0E的法向量，再利用面面角的向

量求法求解即得.

【小問1詳解】

CD

取CD的中點。，連接。4,0B,因為6。=5￡）,所以O(shè)B_LCD,且03=——,

2

CD

又AC=4￡>=6。=5￡）,所以必，CD,AACD0△BCD,則NG4D=NC5￡>=90。，有OA=，

2

因為AB=3C=交CD，所以O(shè)4+QT=Ag2,則O5LQ4,

2

又OAnCD=O，OACDu平面ACD,所以03,平面ACD,

又O6u平面BCD,所以平面ACO，平面BCD.

【小問2詳解】

由（1）知，8,03,04兩兩垂直，

以。為坐標原點，直線8,03,04分別為羽yz軸，建立空間直角坐標系，如圖，

設(shè)CD=4,則A(0,0,2),B(0,2,0),C(-2,0,0),￡>(2,0,0),

因為E,產(chǎn)分別為AB,AC的中點，所以E（0,1,1）,尸（—1,0,1）,

則BD=(2,-2,0),BF=(-1,-2,1),C￡>=(4,0,0),CE=(2,1,1)，

m-BD=2x-2y,=0一

設(shè)平面產(chǎn)的法向量為沆=（&X，zJ,貝卜—.，令石=1，得加=(1,1,3),

m-BF=-2M+=0

n-CD=4X2=0_

設(shè)平面CDS的法向量為五二（42，為，22），貝人一.，令%=1，得幾=(。/,—1)，

n-CE=2X2+為+Z2=0

inn1-3

cos(m,n)=

|m||n|TiTxVz11

所以平面BDF與平面CDE夾角的余弦值為叵.

11

17.甲、乙兩個不透明的袋中各裝有6個大小質(zhì)地完全相同的球，其中甲袋中有3個紅球、3個黃球，乙

袋中有1個紅球、5個黃球.

（1）若從兩袋中各隨機地取出1個球，求這2個球顏色相同的概率；

（2）若先從甲袋中隨機地取出2個球放入乙袋中，再從乙袋中隨機地取出2個球，記從乙袋中取出的紅

球個數(shù)為X，求X的分布列與期望.

【答案】（1）!

（2）分布列見解析，E（X）=g

【解析】

【分析】（1）記這2個球顏色相同為事件A,根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得；

（2）依題意X的可能取值為0、1、2,利用全概率公式求出P（X=0）,P（X=1）,P（X=2）,即

可得到分布列與數(shù)學期望.

【小問1詳解】

記這2個球顏色相同為事件A,

【小問2詳解】

依題意X的可能取值為0、1、2,

C~^19

貝|P（X=0）=

或C；或C；或C廠35'

z~^lz-^lCQ

ee

p/y_l\_3vJJ^3v7.JJ

「2「2「2o

p/Y—一、3、,、3|、3J、,、2—0

所以X的分布列為:

X012

19293

p

357070

IQ2931

所以石（X）=0x=+lx二+2x3;一

v73570702

22

18.已知橢圓C：:+4=l（a〉6〉0）左、右頂點分別是A，4,橢圓。的焦距是2,P（異于

ab

3

4,4）是橢圓。上的動點，直線A尸與4尸的斜率之積為-]?

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）月,鳥分別是橢圓C的左、右焦點，Q是心內(nèi)切圓的圓心，試問平面上是否存在定點

M,N,使得|QW|+|QN|為定值?若存在，求出該定值；若不存在，請說明理由.

22

【答案】（1）—+^=1;

43

（2）存在，2.

【解析】

r2Q

【分析】（l）設(shè)出點P（玉,％）,必wO,利用斜率坐標公式列式可得彳=彳，借助距離為2求解即得.

（2）設(shè)。（％,%），借助三角形面積可得3%=%,利用點到直線距離探討與與X]的關(guān)系，結(jié)合橢圓。的

方程推理即得.

【小問1詳解】

設(shè)P（石，X），XWO,則￥+3=1,即2=（"一引",

ab-71〃2

212o

顯然點A（—a，0），A（a，0），依題意，———==--

x{+axx-ax{-aa4

b23l

解得'=由橢圓。的焦距是2,得標一尸=1，則。=2/=若，

a~4

所以橢圓C標準方程為土+乙=1.

43

【小問2詳解】

設(shè)。（1，%），因為％第=；（「用+|帆|+寓閭）=甲訃聞，則3%=%,

由（1）知耳（—1,0）,則直線P耳的方程為丁=上7（》+1），即（%+i）y+x=0,

,I%%一（石+l）%+x|II

從而點Q到直線PFi的距離d=----1,、2，—=,。1，

《（x+iy+厲

即網(wǎng)4+1）-（再+1）|=Ja+l+y；，即9（%+1）2—6（%+1）（%+1）=叫

22（2、2

因為上+&=1,所以寸=31-3,所以3（/+1）2-25+1）（占+1）=1—勻，

43v4J4

所以12%：+（16-8%］）%0+才一8%=0,即（2/_%）（6%0+8）=0,

因為一1</<L—2<玉<2,6%0一%+8>0,所以2%=玉，

因為手+￥=1，所以。：）+（3g）=1，即焉+辛=1,點。在以（—彳,0）為焦點，長軸

長為2的橢圓上，

故存在定點M（，,0）,N（-',0），使得|QW|+|QN|=2.

【點睛】思路點睛：涉及動直線與圓錐曲線相交滿足某個條件問題，可設(shè)出直線方程，再與圓錐曲線方

程聯(lián)立，利用韋達定理并結(jié)合已知推理求解.

19.函數(shù)/(x)=[x]稱為取整函數(shù)，也稱為高斯函數(shù)，其中國表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：

[x],x<[x]+—

[3,2]=3,[0.6]=0,[-1.6]=-2.對于任意的實數(shù)x,定義(x)=2]數(shù)列｛4｝滿足

[x]+1,X>[x]+—

、2

an=(冊).

(1)求[3，)2024的值；

(2)設(shè)2=〃+%，從全體正整數(shù)中除去所有么，剩下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列

R｝-

①求｛1｝的通項公式；

1111119

②證明：對任意的九eN+，都有一+—+—+---+—<77.

。2。3g72

【答案】(1)《3=4，。2024=45;

(2)①C"=/；②證明見解析.

【解析】

【分析】(1)由：<舊<4,y<V2024<45,利用給定的定義即可求出。13，。2024.

⑵①按左2<〃<(4+1)2,F+左+1<“<(左+1)2分段討論d的取值，即可求出黨;②利用①的結(jié)論,

結(jié)合單調(diào)性并借助裂項相消法求和即可推理得證.

【小問1詳解】

由工<屈<4,得[萬]=3,則而>[而]+工，

22

所以q=(屈)=[屈]+1=4；

由F<0024<45,得[V^J=44,則120