考點(diǎn)05 全等三角形（解析版）

考點(diǎn)五全等三角形知識(shí)點(diǎn)整合二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（4）對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．考向一全等三角形1．從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路：（1）已知兩邊（2）已知一邊、一角（3）已知兩角2．若題中沒(méi)有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運(yùn)用作高法、倍長(zhǎng)中線法、截長(zhǎng)補(bǔ)短法、分解圖形法等來(lái)解決運(yùn)動(dòng)、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目．典例引領(lǐng)1．在學(xué)習(xí)了全等三角形的判定后，聰明的小惠猜想了一個(gè)命題：如果兩個(gè)三角形有兩邊和其中一邊上的中線分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．她根據(jù)命題的意義畫出了圖形（如圖），并寫出了部分已知條件，請(qǐng)你把已知條件補(bǔ)充完整，并寫出證明過(guò)程．已知：如圖，和分別是和的中線，，，______．求證：．【答案】，的證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．補(bǔ)充的條件為，由和分別是和的中線，可得，，結(jié)合，可得，證明，得到，即可證明．【詳解】補(bǔ)充的條件為，證明如下：和分別是和的中線，，，，，在和中，，，，在和中，，，故答案為：．2．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖，已知：在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線，直線，垂足分別為點(diǎn)、．證明：．（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖，將中的條件改為：在中，，、、三點(diǎn)都在直線上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖，過(guò)的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：是的中點(diǎn)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）成立，證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到、是解題的關(guān)鍵．（1）由條件可證明，可得，，可得結(jié)論；（2）由條件可知，且，可得，結(jié)合條件可證明，同（1）可得出結(jié)論；（3）過(guò)作于，，交的延長(zhǎng)線于由條件可知，可得，結(jié)合條件可證明，可得出結(jié)論是的中點(diǎn)．【詳解】解：（1）如圖，直線，直線，，，，，.在和中，，，，；（2）成立：．如圖，，，，在和中．．≌，，，；（3）如圖，過(guò)作于，，交的延長(zhǎng)線于，，由（1）和（2）同理可證，，.，在和中，，≌，，是的中點(diǎn)．3．如圖，在中，，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是的平分線上的一點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)求證：(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1【分析】本題主要考查了角平分線的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．（1）先證明，即有，結(jié)合，即可得；（2）由（1），，進(jìn)而可得，根據(jù)，可得，即可得，則可求．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴和是直角三角形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，（2）∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即的長(zhǎng)為1．4．閱讀理解，自主探究：

(1)如圖，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證．(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，其余條件不變，你認(rèn)為上述結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫出此時(shí)、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)（）中結(jié)論不成立，，理由見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握全等三角洲的判定及性質(zhì)是解題的．根據(jù)三垂直得出，然后得出和全等，從而得出，，從而得到結(jié)論；首先證明和全等，從而得出，，得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，∴，∵于，于，∴，，∴．在和中，∴，∴，，∴；（2）解：（）中結(jié)論不成立，，理由如下：∵，∴，∵于，于，∴，，∴．在和中，∴，∴，，∴．5．如圖，與相交于點(diǎn)C，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為______，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為______（用含t的式子表示）．(2)請(qǐng)判斷與的數(shù)量與位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)連接，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求t的值．【答案】(1)，(2)，，理由見(jiàn)解析(3)當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，t的值為1或2【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定以及一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）分兩種情況計(jì)算即可；（2）由證明，得，即可得出結(jié)論；（3）先證，得，再分兩種情況，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，可得，解得即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則；綜上所述，線段AP的長(zhǎng)為或，（2）且，理由如下：在和中，，∴，∴，，∴．（3）由（1）得：，，在和中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所述，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，t的值為1或2．6．如圖所示，直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，且a、b滿足．(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1所示，為的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2所示，在（2）的條件下，若交于點(diǎn)，連接，求證：．【答案】(1)，；(2)(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了算術(shù)平方根和絕對(duì)值的非負(fù)性，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，（1）首先根據(jù)已知條件和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a、b的方程，解方程組即可求出a，b的值，也就能寫出A，B的坐標(biāo)；（2）首先求出，然后證明出，得到，進(jìn)而求解即可；（3）首先得到，然后證明出，得到，然后由得到，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）∵∴，解得，∴，；（2）∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴∴又∵，∴∴∵∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）∵為的中點(diǎn)，∴∵∴∵，∴是等腰直角三角形∴∵∴∴又∵∴∴∵∴∴．7．已知：如圖，，，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先求出，再利用“”證明，即可得證，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：，，即，在和中，，．變式拓展8．如圖，，．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的判定，根據(jù)題意證明，繼而得，證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴∴，∴．9．學(xué)習(xí)與探究：如圖1，是的平分線，點(diǎn)A是上任意一點(diǎn)，用圓規(guī)分別在、上截取，連接、，則，判定方法是_________．請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：（1）如圖2，在中，是直角，，、分別是和的平分線，、相交于點(diǎn)F，求的度數(shù)；（2）在（1）的條件下，請(qǐng)判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，在中，如果不是直角，而（1）中的其他條件不變，試問(wèn)在（2）題中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，也請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】；（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3）成立，證明見(jiàn)解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，作出相應(yīng)的輔助線，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵，本題的綜合性較強(qiáng)，難度較大．根據(jù)可知：可證明兩個(gè)三角形全等；（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求，是的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)計(jì)算求解；（2）根據(jù)圖1的作法，在上截取，則；根據(jù)證明，得，故判斷；（3）只要的度數(shù)不變，結(jié)論仍然成立．證明同（2）．【詳解】解：∵是的平分線，∴，在與中，，∴；（1）如圖2，∵，°，∴，∵、分別是和的平分線，∴，，∴；（2）．理由如下：在上截取，連接，如圖2所示：∵是的平分線，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴，在和中∵，∴，∴，∴．（3）在（2）中的結(jié)論仍然成立．在上截取，連接，如圖所示：同（2）可得：，∴，，又由（1）知，，∴，∴，∴，同（2）可得，∴，∴．10．在中，，分別過(guò)點(diǎn)A、B兩點(diǎn)作過(guò)點(diǎn)C的直線m的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．

(1)如圖1，當(dāng)，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)，點(diǎn)A、B在直線m的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)問(wèn)（1）中有關(guān)于線段、和三條線段的數(shù)量關(guān)系的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)給出正確結(jié)論，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，當(dāng)，，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)時(shí)，一動(dòng)點(diǎn)M以每秒的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿A→C→B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)N以每秒的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C→A路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)才能停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，分別過(guò)點(diǎn)M和點(diǎn)N作于P，于Q．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，與全等？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)或14或16秒【分析】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，判斷出是解本題的關(guān)鍵，還用到了分類討論的思想．（1）根據(jù)于D，于E，得，而，根據(jù)等角的余角相等得，然后根據(jù)“”可判斷，則，，于是；（2）同（1）易證，則，，于是；（3）只需根據(jù)點(diǎn)M和點(diǎn)N的不同位置進(jìn)行分類討論即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵于D，于E，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（2）解：結(jié)論：；理由：∵，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（3）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上，如圖，

∵，∴，解得：，不合題意；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N也在上，如圖，

∵，∴點(diǎn)M與點(diǎn)N重合，∴，解得：；③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上，如圖，

∵，∴，解得：；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N停在點(diǎn)A處，點(diǎn)M在上，如圖，

∵，∴，解得：；綜上所述：當(dāng)或14或16秒時(shí)，與全等．11．在正方形紙片中，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，連接．(1)問(wèn)題探究：如圖1，作，交于點(diǎn)，求證：；(2)問(wèn)題解決：如圖2，將正方形紙片沿過(guò)點(diǎn)、的直線折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握正方形中的十字架模型是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于，利用證明，得；（2）連接，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，由勾股定理得，，解方程可得的值，利用勾股定理求出，再根據(jù)（1）知，，從而解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：證明：過(guò)點(diǎn)作于，四邊形是正方形，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，；（2）（2）連接，，由折疊的性質(zhì)得到：，，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，由勾股定理得，，，解得：，，，由勾股定理得，，是的垂直平分線，由（1）知，，．12．【問(wèn)題解決】已知中，三點(diǎn)都在直線1上，且有．如圖①，當(dāng)時(shí)，線段的數(shù)量關(guān)系為：

【類比探究】（1）如圖②，在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，線段的數(shù)量關(guān)系是'否變化，若不變，請(qǐng)證明：若變化，寫出它們的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】（2）如圖③，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）的數(shù)量關(guān)系不變，理由見(jiàn)解析；（2）【分析】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)（1）的結(jié)論得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）的數(shù)量關(guān)系不變，理由如下：是的一個(gè)外角，，，，在和中，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，由（1）可知，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．13．【初步探索】（1）如圖1，在四邊形中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小芮同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，先證明：，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；【靈活運(yùn)用】（2）如圖2，若在四邊形中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，說(shuō)明理由．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，，，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，滿足，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論．【答案】（1）；（2）（1）中的結(jié)論仍成立，理由見(jiàn)解答過(guò)程；（3）．理由見(jiàn)解答過(guò)程．證明見(jiàn)解析【分析】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時(shí)注意：同角的補(bǔ)角相等