考點16 特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精講）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之核心考點精講精練（原卷版）

考點16.特殊三角形（等腰三角形與直角三角形）（精講）【命題趨勢】特殊的三角形重在掌握基本知識的基礎(chǔ)上靈活運用，也是考查重點，年年都會考查，分值為10分左右，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查等腰（等邊）三角形性質(zhì)與判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性質(zhì)、尺規(guī)作圖等知識點結(jié)合考查，這部分知識需要學(xué)生扎實地掌握基礎(chǔ)，并且會靈活運用。在解答題中會出現(xiàn)等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)和判定，這部分知識主要考查基礎(chǔ)?！局R清單】1：等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定（☆☆☆）1）等腰三角形的定義：有兩邊相等的三角形角等腰三角形。2）等腰三角形的性質(zhì)：（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）。（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡稱“三線合一”）。3）等腰三角形的判定：若某三角形有兩個角相等，那這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）。4）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，它是特殊的等腰三角形。5）等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形的三條邊相等；（2）三個內(nèi)角都相等，且每個內(nèi)角都是60°；（3）等邊三角形（邊長為a）的面積：。6）等邊三角形的判定：（1）三邊相等或三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形；（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。2：垂直平分線的性質(zhì)與判定（☆☆）1）垂直平分線的定理：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）。2）垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。3）垂直平分線的判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。3：勾股定理與逆定理及其應(yīng)用（☆☆）1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．2）勾股定理的逆定理：若三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．4：直角三角形的性質(zhì)及計算（☆☆☆）1）直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．2）直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形兩個銳角互余；（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3）直角三角形的判定：1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；（3）有一個角是直角的三角形叫做直角三角形；（4）滿足勾股定理逆定理的三角是直角三角形。4）直角三角形的面積公式：(其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長)?！疽族e點歸納】1.等腰三角形的邊有腰、底之分，角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰，角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論。2.如果已知的兩邊沒有明確邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解時必須進(jìn)行分類討論，以免漏解。【核心考點】核心考點1.等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定例1：（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）若等腰三角形有一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．變式1.（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點D在上，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，連接，則的度數(shù)是度．

變式2.（2023·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點D在邊上，連接，若為直角三角形，則的度數(shù)是．例2：（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以A為圓心，長為半徑作弧，交于C，D兩點，分別以點C和點D為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點P，作直線，交于點E，若，，則．

變式1.（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）圖1為紅斑鐘螺，殼型為圓錐形．多分布在菲律賓、以及我國臺灣墾丁等區(qū)域．現(xiàn)有一個“鐘螺”小擺件，可近似看成圓錐形，圖2為其主視圖，其中，擺件的高度為．現(xiàn)要在上選取一個位置P安裝掛鉤，在該點與C之間布設(shè)導(dǎo)線，線路上安裝微型小彩燈，若掛鉤以及導(dǎo)線連接處等長度損耗忽略不計，則最短線路，即的最小值為（

）

A． B． C． D．變式2.（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．例3：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，分別以A、B為圓心，大于的長度為半徑作弧，交點分別為M、N，連接交于點D，下列說法一定正確的是（）

A．是直角三角形 B．是等腰三角形C．是等腰三角形 D．是等腰三角形變式1.（2023·廣東湛江·三模）如圖，在中，，，，和的平分線相交于點，過點作的平行線交于點，交于點．則的周長為(

)A．9 B．11 C．12 D．13變式2．（2021·江蘇揚州市·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5例4：（2023·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的中線，以為圓心，的長為半徑畫弧，交的延長線于，連接．求證：．

變式1.（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等邊的邊上的高，以點為圓心，長為半徑作弧交的延長線于點，則（

）

A． B． C． D．變式2．（2022·安徽·中考真題）已知點O是邊長為6的等邊△ABC的中心，點P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面積分別記為，，，．若，則線段OP長的最小值是（

）A． B． C． D．例5：（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，等邊三角形的邊長為，動點P從點A出發(fā)以的速度沿向點B勻速運動，過點P作，交邊于點Q，以為邊作等邊三角形，使點A，D在異側(cè)，當(dāng)點D落在邊上時，點P需移動s．

變式1．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）已知點P為等邊三角形的重心，D為一邊上的中點，如果這個等邊三角形的邊長為2，那么．變式2.（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）如圖，為等邊三角形，在邊上分別任取一點，使得，連接相交于點，現(xiàn)有如下兩個結(jié)論：①；②若，則；下列判斷正確的是（）

A．①對，②對 B．①對，②錯 C．①錯，②對 D．①錯，②錯例6：（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，點在內(nèi)部，逆時針旋轉(zhuǎn)得到，請?zhí)砑右粋€條件：．使得是等邊三角形．變式1．（2022·浙江嘉興·中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在橫線上____填上一個適當(dāng)?shù)臈l件．變式2．（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，點E是AC的中點，且（1）尺規(guī)作圖：作的平分線AF，交CD于點F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．例7：（2024·福建福州·?？家荒＃┤鐖D，是等邊三角形內(nèi)的一點，且．(1)尺規(guī)作圖：作出將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到（不要求寫作法，但需保留作圖痕跡）；(2)求的度數(shù)．

變式1．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點的對應(yīng)點首次落在斜邊上，則點的運動路徑的長為.

變式2．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN=AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H．(1)求證：MP=NP；(2)若AB＝a，求線段PH的長（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．核心考點2.垂直平分線的性質(zhì)與判定例8：（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考二模）如圖，在中，．(1)請用尺規(guī)作圖法，在邊上求作一點E，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．變式1．（2023·河北·模擬預(yù)測）在中，是鈍角，則該三角形三邊垂直平分線的交點可能在下圖中的（

）

A．M點 B．N點 C．O點 D．P點變式2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）閱讀以下尺規(guī)作圖的步驟：（1）作射線，在射線上截取；（2）分別以點、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點、；（3）作直線交于點；（4）在直線上截取；（5）連接，。則可以說明的依據(jù)是（

）

A．線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等B．角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等C．等腰三角形的“三線合一”D．平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直例9：（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于兩點，作直線，交邊于點，連接，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．變式1．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線段的垂直平分線交于點，交于點，則．

變式2．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于、兩點，連接，交于點，以點為圓心，的長為半徑作的弧恰好經(jīng)過點，以點為圓心，的長為半徑作弧交于點，連接，若，則（）

A． B． C． D．例10：（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，．若，則的長是．

變式1．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別以點A和點C為圓心，大于的長為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），兩弧相交于M，N兩點，直線分別與邊相交于點D，E，連接．若，則的長為（

）

A．9 B．8 C．7 D．6變式2．（2023·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是的垂直平分線.若，，則的周長是.

核心考點3.勾股定理與逆定理及其應(yīng)用例11：（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．變式1.（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數(shù)，則（用含的式子表示）．變式2．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為．（杯壁厚度不計）

變式3.（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，小紅家購置了一臺圓形自動掃地機(jī)，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫隙）．在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機(jī)能自動從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺掃地機(jī)能從角落自由進(jìn)出，則圖中的x至少為（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：）．

例12：（2022·湖南永州·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則______．變式1.（2023·廣東東莞·校聯(lián)考二模）如圖，正方形的邊長為4，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）

A． B． C． D．變式2．（2023·浙江溫州·校考二模）在《寺廟難題》書中，有這樣一道題：五個正方形ABCD，CEFG，F(xiàn)HMN，GNPQ，DGST如圖所示排列，其中點A、B、E、H、M共線，可得結(jié)論：正方形CEFG與的面積相等．若正方形CEFG與的面積之和為120，則正方形DGST與正方形GNPQ面積之和為（

）A．270 B．300 C．320 D．350例13：（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）在△ABC中，，，，則______________．變式1.（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點在邊上，且平分的周長，則的長是（

）

A． B． C． D．變式2．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，．連接，在和上分別截取，使．分別以點E和點F為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點G．作射線交于點H，則線段的長是．

變式3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點在邊上．將沿折疊，使點落在點處，連接，則的最小值為．

例14：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系；(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．變式1.（2023·浙江紹興·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知的三邊長分別為，，，過的某個頂點將該三角形剪成兩個小三角形，再將這兩個小三角形拼成，若與不全等，則這條剪痕的長可能為（

）A． B． C． D．核心考點4.直角三角形的性質(zhì)及計算例15：（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuān），一宣有半謂之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），問題：圖（1）為中國古代一種強弩圖，圖（2）為這種強弩圖的部分組件的示意圖，若矩，欘，則度．

變式1.（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角的大面小，需將轉(zhuǎn)化為與它相等的