2025屆河南名校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆河南名校聯(lián)盟數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，為數(shù)列的前項和，則（）A． B． C． D．2．已知直線是曲線的切線，則（）A．或1 B．或2 C．或 D．或13．已知橢圓的中心為原點，為的左焦點，為上一點，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．4．設(shè)，且，則（）A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長倍？”意思是：“今有蒲草第天長高尺，蕪草第天長高尺以后，蒲草每天長高前一天的一半，蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是（）（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．6．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．7．已知無窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，記，，…，N.若，則（）A． B． C． D．9．一個四面體所有棱長都是4，四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖像大致為（）.A． B．C． D．11．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點（3,4），則該雙曲線的準線方程為_____．14．已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點，且的最小值為，則該雙曲線的離心率是__________.15．已知為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上移動時，的內(nèi)心的軌跡方程為__________．16．在平面直角坐標系中，點的坐標為，點是直線：上位于第一象限內(nèi)的一點．已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為，則點的坐標__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護意識，高二年級準備成立一個環(huán)境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人，按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人，組成環(huán)境保護興趣小組，再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.（1）設(shè)事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須文、理科生都有”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．（12分）如圖，在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為平行四邊形，側(cè)面為正方形，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.19．（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：函數(shù)有且僅有一個零點．20．（12分）如圖，已知三棱柱中，與是全等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．21．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€（縱坐標不變），設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)，若，則求出，再利用等差數(shù)列前項和公式得【詳解】解：因為，由等差數(shù)列性質(zhì)，若，則得，．為數(shù)列的前項和，則．故選：．【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項和.(1)如果為等差數(shù)列，若，則．(2)要注意等差數(shù)列前項和公式的靈活應(yīng)用，如.2、D【解析】

求得直線的斜率，利用曲線的導(dǎo)數(shù)，求得切點坐標，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對于，令，解得，故切點為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【點睛】本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】由題意可得c=，設(shè)右焦點為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點睛：橢圓的定義：到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡，當和大于兩定點間的距離時，軌跡是橢圓，當和等于兩定點間的距離時，軌跡是線段（兩定點間的連線段），當和小于兩定點間的距離時，軌跡不存在．4、C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解，屬于簡單題目.5、C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度，進而可得：，解出即可得出．【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．6、C【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而可得出結(jié)果.【詳解】對于A選項，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對于B選項，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對于C選項，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對于D選項，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項，再求出，利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳驗闊o窮等比數(shù)列的公比為2，則無窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A?！军c睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。8、D【解析】

通過計算，可得，最后計算可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以所以猜想可知：由所以所以故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔題.9、A【解析】

將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關(guān)系，求解即可．【詳解】解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，∵四面體所有棱長都是4，∴正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以，故選：A．【點睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關(guān)鍵在于，巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．10、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項D；根據(jù)特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B；【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項D排除;對于選項C：因為,故選項C排除;對于選項B:當,且無限接近于0時,接近于,，此時.故選項B排除;故選項:A【點睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負等有關(guān)性質(zhì)進行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.11、A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點，進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為，當時，，，當時，，則當時，，單減，當時，，單增；當時，，，當，,當時，單減，當時，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當與（）相切時，得，解得；當與（）相切時，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題12、B【解析】

求出圓心，代入漸近線方程，找到的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線，故選：B【點睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

代入求解得,再求準線方程即可.【詳解】解：雙曲線經(jīng)過點,,解得,即．又,故該雙曲線的準線方程為：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了雙曲線的準線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)雙曲線方程，設(shè)及，將代入雙曲線方程并化簡可得，由題意的最小值為，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算化簡，即可求得的值，進而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點，，則，即，∵，，，當時，等號成立，∴，∴，∴.故答案為：.【點睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用，由平面向量數(shù)量積的最值求離心率，屬于中檔題.15、【解析】

考查更為一般的問題：設(shè)P為橢圓C:上的動點，為橢圓的兩個焦點，為△PF1F2的內(nèi)心，求點I的軌跡方程．解法一：如圖，設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點為H，半徑為r，且F1H=y，F(xiàn)2H=z，PF1=x+y，PF2=x+z，，則.直線IF1與IF2的斜率之積：，而根據(jù)海倫公式，有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義，可得I點的軌跡是以F1F2為長軸，離心率e滿足的橢圓，其標準方程為.解法二：令，則．三角形PF1F2的面積：，其中r為內(nèi)切圓的半徑，解得.另一方面，由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得：從而有．消去θ得到點I的軌跡方程為：.本題中：，代入上式可得軌跡方程為：.16、【解析】

依題意畫圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點間的距離公式即可求出,進而得出點坐標.【詳解】解:依題意畫圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因為為圓的直徑,則所對的圓周角,則,則為點到直線：的距離.所以,則.又因為點在直線：上,設(shè),則.解得,則.故答案為:【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）按分層抽樣得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超幾何分布求解即可【詳解】（1）因為學(xué)生總數(shù)為1000人，該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人，則抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以.（2）的可能取值為0,1,2,3，，，，，的分布列為0123.【點睛】本題考查分層抽樣，考查超幾何分布及期望，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）連接，交與，連接，由，得出結(jié)論；（2）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用夾角公式求出即可.【詳解】（1）連接，交與，連接，在中，，又平面，平面，所以平面；（2）由平面平面，，為平面與平面的交線，故平面，故，又，所以平面，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，由，得，平面的法向量為，由，故二面角的大小為.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、見解析【解析】

（1）當時，函數(shù)，其定義域為，則，設(shè)，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，即；當時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，為，無極大值．（2）由題可得函數(shù)的定義域為，，設(shè)，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，，所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點，所以函數(shù)有且僅有一個零點；當時，，，所以函數(shù)有且僅有一個零點，所以函數(shù)有且僅有一個零點；當時，，，因為，所以，，又，所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點，所以函數(shù)有且僅有一個零點．綜上，函數(shù)有且僅有一個零點．20、（1）證明見解析；（2）．【解析】

（1）取BC的中點O，則，由是等邊三角形，得，從而得到平面，由此能證明（2）以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結(jié)果.【詳解】（1）取BC的中點O，連接，，由于與是等邊三角形，所以有，，且，所以平面，平面，所以．（2）設(shè)，是全等的等邊三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為．【