專題17全等三角形等腰旋轉(zhuǎn)模型-初中數(shù)學(xué)模型與解題方法專題訓(xùn)練

17全等三角形等腰旋轉(zhuǎn)模型一、單選題1．如圖，正方形ABCD的邊長是2，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別在邊AD、AB上，且OE⊥OF，則四邊形AFOE的面積是（）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴△AOE的面積＝△BOF的面積，∴四邊形AFOE的面積＝正方形ABCD的面積＝×22＝1；故選C．2．如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過點O作射線OG、ON分別交AB、BC于點E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于點P．則下列結(jié)論中：（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；（3）BE+BF＝OA；（4）AE2+CF2＝2OP?OB．正確的結(jié)論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：（1）不正確；圖形中全等的三角形有四對：，，，；理由如下：四邊形是正方形，，，，在和中，，；點為對角線的中點，，在和中，，；，，，，，又，，在和中，，；同理：；（2）正確．理由如下：，四邊形的面積的面積正方形的面積；（3）正確．理由如下：，，；（4）正確．AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝（OF）2＝2OF2，在△OPF與△OFB中，∠OBF＝∠OFP＝45°，∠POF＝∠FOB，∴△OPF∽△OFB，OP：OF＝OF：OB，OF2＝OP?OB，AE2+CF2＝2OP?OB．正確結(jié)論的個數(shù)有3個；故選：C．3．如圖，正方形中，，分別為，上的點，，，交于點，交于點，為的中點，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】解：，，，，，又∵，∴，即，故結(jié)論①正確；四邊形是正方形，，，由題意正方形中，在上面所證，，（AAS），，即結(jié)論②正確；過點作垂直于，交與點，∵，∴，在與中，，故（ASA），∴,，，∴，故結(jié)論③正確；∵，，∴，，，∴，故結(jié)論④正確；綜上所述，①②③④正確．故選：D．二、填空題4．如圖，等邊中，，則以線段為邊構(gòu)成的三角形的各角的度數(shù)分別為．【答案】，，．【詳解】解：將逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∵，是等邊三角形，且旋轉(zhuǎn)角相等，則,∴是等邊三角形.則又∵∴故以線段三邊構(gòu)成的三角形為所以故答案為：.5．如圖，在中，分別以、為邊向外作正方形、，連接、、、，若，則四邊形的面積．【答案】18【詳解】解：連接FD，設(shè)CF與AD交于點M，CF與AB交于點N，如圖：∵四邊形ABFG、BCED是正方形，∴AB＝FB，CB＝DB，∠ABF＝∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，即∠ABD＝∠CBF，在△ABD和△FBC中，，∴△ABD≌△FBC（SAS）；∴AD＝FC，∠BAD＝∠BFC，∴∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠CNA＝180°﹣(∠BFC+∠BNF)＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥CF，∵AD＝6，∴FC＝AD＝6，四邊形ACDF的面積．故答案為：18．6．如圖所示，在中，，于點D，BE平分，且于點E與CD相交于點F，于點H，交BE于點G，下列結(jié)論：①；②；③④；其中正確的是．【答案】①②③④【詳解】∵于點D，于點E，∴∠BDF=∠BDA=,∠BAC+∠ABF=∠DAC+∠ACD=，∴∠ABF=∠ACD，在△ADC和△FDB中，∴△ADC≌△FDB（AAS），∴AD=DF，∠DAC=∠DFB，又∵DF+CF=CD，CD=BD，∴，故①正確；∵AD=DF，于點D，∴∠DAF=∠DFA=，∵BD=DC，于點D，于點H，∴∠HDC=∠HDB=，又∵∠DFA，∴∠DFA=∠HDC，∴，故④正確；∵BE平分，且于點E，∴∠ABE=∠CBE,∠AEB=∠CEB，在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE，∴AE=CE，∴CE=AC，又∵△ADC≌△FDB，∴BF=AC，∴，故③正確；∵，于點D，∴∠DBC=,又∵BE平分，∴∠DBE=，∴∠DFB=，又∵∠HDB=，∴∠DGF=∠DBG+∠BDG=+=，∴∠DFB=∠DGF，∴DG＝DF，故②正確．故答案為：①②③④．三、解答題7．在中，，，點為直線上的一個動點（不與點，重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連．（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，①與的位置關(guān)系是______；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，（1）中的兩個結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請寫出正確的結(jié)論再給出證明．【答案】（1）①垂直；②；（2）位置關(guān)系：垂直，數(shù)量關(guān)系：，證明見解析；【詳解】解：（1）∵，∴∵∴又∵，∴∴，①∴，∴②∴（2）位置關(guān)系：垂直，數(shù)量關(guān)系：，證明如下：∵，∴∴∵∴又∵，∴∴，∴∴又∵∴8．如圖所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，E、F為AB上兩點（E左F右），且∠ECF＝45°，求證：．【答案】見解析【詳解】解：，理由如下：如圖，將△BCF繞點C旋轉(zhuǎn)得△ACF′，使△BCF的BC與AC邊重合，即△ACF′≌△BCF，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAF′＝∠B＝45°，∴∠EAF′＝90°，∵∠ECF＝45°，∴∠ACE＋∠BCF＝45°，∵∠ACF′＝∠BCF，∴∠ECF′＝45°，在△ECF和△ECF′中∴△ECF≌△ECF′（SAS），∴EF＝EF′，在Rt△AEF′中，，∴．9．如圖，等腰三角形中，，．作于點，將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)角后得到線段，連接．（1）求證：；（2）延長線段，交線段于點．求的度數(shù)（用含有的式子表示）．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】證明：線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)角得到線段，，．，．在與中，．（2）解：，，又，，10．如圖，在直角中，，點D是上一點，連接，把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接交于點M．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，若，點N為上一點，，求證：；（3）如圖3，若，點D為直線上一動點，直線與直線交于點M，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出此時的度數(shù)．【答案】（1）；（2）見解析；（3）或或【詳解】解：（1）∵，，∴BC=2AB=4，，∵∴，∴BD=AB=1，∴=BCBD=41=3；（2）證明：如圖2，在BD上截取DF=EN，∵把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，∴AD=AE，，，∵，∴，∴，∴AN=AF，，∵，，∴，∵，，∴，∵AN=AF，∴，∴，即F是BC的中點，∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，∵AN=AF，∴；（3）解：由題意可得AD=AE，，∴，分三種情況：①AM=MD時，∵AM=MD，∴，∴，∵，∴；②AM=AD時，∵AM=AD，∴，∵，∴；③AD=MD時，∵AD=MD，∴，∴，∴，∵，∴．∴當(dāng)為等腰三角形時，的度數(shù)為或或．11．（1）如圖1所示，，都是等腰三角形，A、C、D三點在同一直線上，連接BD、AE，并延長AE交BD于點F，試判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若繞頂點C順時針轉(zhuǎn)任意角度后得到圖2，圖1中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．【答案】（1）AE=BD，AE⊥BD，見解析；（2）結(jié)論還成立，見解析【詳解】（1）AE=BD，AE⊥BD．證明：∵，都是等腰三角形，∴AC=BC,CE=CD，在ACE和BCD中∴ACE≌BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90，∴∠CAE+∠AEC＝90，∵∠CAE＝∠DBC，∠AEC＝∠BEF，∴∠DBC+∠BEF＝90，∴∠BFE＝180﹣90＝90，∴AE⊥BD；（2）解：結(jié)論還成立，理由是：∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在ACE和BCD中∴ACE≌BCD（SAS），∴AE=BD，∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90，∴∠CAE+∠AOC＝90，∵∠CAE＝∠DBC，∠AOC＝∠BOE，∴∠DBC+∠BOE＝90，∴∠BFO＝180﹣90＝90，∴AE⊥BD．12．如圖，圖1等腰△BAC與等腰△DEC，共點于C，且∠BCA＝∠ECD，連結(jié)BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求證：BE＝AD；（2）若將等腰△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)至圖2、3、4情況時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？（請你用圖2證明你的猜想）【答案】（1）證明見解析；（2）BE＝AD，理由見解析．【詳解】（1）證明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：圖2、圖3、圖4中，BE＝AD，以圖2為例，理由如下：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．13．如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．（1）如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．①求證：AD＝BE；②求∠AEB的度數(shù)．（2）如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF為△DCE中DE邊上的高，試猜想AE，CF，BE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）①見解析；②80°；（2）AE＝2CF+BE，理由見解析．【詳解】（1）①證明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵點A、D、E在同一直線上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，∴∠BEC＝130°，∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．（2）結(jié)論：AE＝2CF+BE．理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∵CF⊥DE，∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF，∵AD＝BE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．14．在中，，是直線上一點（不與點、重合），以為一邊在的右側(cè)作，，，連接.（1）如圖，當(dāng)在線段上時，求證：.（2）如圖，若點在線段的延長線上，，.則、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的理由.（3）如圖，當(dāng)點在線段上，，，求最大值.【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）2【詳解】解：（1）∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）同（1）的方法得，∴∠ACE=∠ABD，∠BCE=α，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+α，在中，∵AB=AC，∠BAC=β，∴∠ACB=∠ABC=(180°β)=90°β，∴∠ABD=180°∠ABC=90°+β，∴∠ACE=∠ACB+α=90°β+α，∵∠ACE=∠ABD=90°+β，∴90°β+α=90°+β，∴α=β；（3）如圖，過A做于點H，∵，，∴，，同（1）的方法得，，,，即，∴，當(dāng)最小時，最大，當(dāng)時最小，，．15．點C為線段AB上一點，以AC為斜邊作等腰，連接BD．在外側(cè)，以BD為斜邊作等腰，連接EC．（1）如圖1，當(dāng)∠DBA30時：①求證：ACBD；②判斷線段EC與EB的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，當(dāng)0°＜∠DBA＜45°時，EC與EB的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？如果不變，請你證明EC=EB．

【答案】（1）①證明見解析；②，證明見解析；（2）EC與EB的數(shù)量關(guān)系保持不變，證明見解析．【詳解】（1）①如圖1，過點D作于點F，是等腰三角形，是斜邊AC上的中線，，又在中，，，，即；

②，證明如下：和都是等腰直角三角形，，，由①知，，，，，，是等邊三角形，；（2）EC與EB的數(shù)量關(guān)系保持不變，證明如下：如圖2，過點D作BD的垂線，交BE延長線于點G，連接CG，，是等腰直角三角形，，，即，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，且，（等腰三角形的三線合一），在和中，，，，，，是直角三角形，又，點E是BG的中點，即EC是斜邊BG上的中線，．

16．（2017觀成周考）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上的一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．（1）如圖，當(dāng)點D在線段BC上移動，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）當(dāng)點D在直線BC上移動，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．【答案】（1）α＋β=180°，理由見解析；（2）當(dāng)點D在線段BC上移動或點D在BC延長線上移動時，α＋β=180°；當(dāng)點D在CB延長線上移動時，α=β，理由見解析．【詳解】解：（1）α＋β=180°，理由如下∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°（2）①當(dāng)點D在線段BC上移動時，由（1）知α＋β=180°；②當(dāng)點D在BC延長線上移動時，如下圖所示∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°③當(dāng)點D在CB延長線上移動時，如下圖所示，連接BE∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE∴∠DAB=∠EAC在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠ABD=∠ACE∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC=∠BCE∴α=β．綜上：當(dāng)點D在線段BC上移動或點D在BC延長線上移動時，α＋β=180°；當(dāng)點D在CB延長線上移動時，α=β．17．已知如圖，射線在的內(nèi)部，．點分別在射線上，且．連結(jié)．（1）如圖1，若，延長到點，使，連接．求證：①≌．②．（2）如圖2，若，其它條件不變，問題（1）中的線段之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？請說明理由．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）不發(fā)生變化，仍然有，理由見解析．【詳解】解：（1）證明：①如圖1，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS）；②由①知：△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝∠CAM=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=120°－60°=60°，∴∠EAF=∠GAF，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，∵GF＝DG+DF，BE＝DG，∴BE+DF＝EF；（2）不發(fā)生變化，結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：如圖3，延長FD到點G，使DG＝BE，連結(jié)AG．∵，，∴∠ABE=∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．18．如圖1，△ABC中，AB＝AC，過B點作射線BE，過C點作射線CF，使∠ABE＝∠ACF，且射線BE，CF交于點D，過A點作AM⊥BD于M．（1）探究∠BDC和∠CAB的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）求證：BM＝DM+DC；（3）如圖2，將射線BE，CF分別繞點B和點C順時針旋轉(zhuǎn)至如圖位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射線BE交射線CF的反向延長線于點D，過A點作AM⊥BD于M．請問（2）中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請證明．如果不成立，線段BM，DM，DC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】（1）∠BDC＝∠CAB，見解析；（2）見解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，見解析【詳解】（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：∵，，∠ABE＝∠ACF，∴＝＝∴；（2）證明：作AN⊥CF于N，連接AD，如圖1所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，在Rt△AMD和Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴BM＝DM+DC；（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：作AN⊥CF于N，連接AD，如圖2所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴，AM＝AN，在Rt△AMD與Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴．19．如圖（a），（b），（c）所示，點E、D分別是正、正四邊形ABCM，正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且，DB交AE于點P．

（1）在圖（a）中，求的度數(shù)．（2）在圖（b）中，的度數(shù)為________，圖（c）中，的度數(shù)為________．（3）根據(jù)前面探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形情況．若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2），；（3）見解析【詳解】（1）∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC，∠ABE=∠C=，在和中，∴，∴．∵，∴．∵，∴．（2）如圖（b）:∵△ABCM是正四邊形，∴AB＝BC，∠ABE=∠C=，在和中，∴，∴．∵，∴．∵，∴．如圖（c）:∵△ABCMN是正五邊形，∴AB＝BC，∠ABE=∠C=，在和中，∴，∴．∵，∴．∵，∴．（3）問題：如圖（d）所示，點E，D分別是正n邊形中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點，且，DB交AE于P點．則等于這個正n邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，即．20．和都是等腰直角三角形，與相交于點交于點交于點.試確定線段的關(guān)系.并說明理由.【答案】且【詳解】解：和是直角三角形則即在與中

在中又則中，即，，綜上所述，且.21．觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點C，點A、B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．（1）求證：△AEC≌△CDB；（2）類比探究：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，將斜邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AB′，連接B′C，求△AB′C的面積；（3）拓展提升：如圖3，∠E=60°，EC=EB=4cm，點O在BC上，且OC=3cm，動點P從點E沿射線EC以2cm/s速度運動，連結(jié)OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF．要使點F恰好落在射線EB上，求點P運動的時間．【答案】（1）證明見詳解；（2）18；（3）2.5【詳解】(1)∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠DCB=90°，∵BD⊥l，AE⊥l，∴∠AEC=∠BDC=90°，∴∠EAC＋∠ACE=90°，∴∠EAC=∠DCB，又∵AC=BC，∴△AEC≌△CDB(AAS)；(2)如圖2，作B'D⊥AC于D，

∵斜邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AB'，∴AB’=AB，∠B’AB=90°，即∠B′AC＋∠BAC=90°，而∠B＋∠CAB=90°，∴∠B=∠B'AC，∴△B’AD≌△ABD(AAS)，∴B′D=AC=6，∴△AB′C的面積=6×6÷2=18；(3)如圖3，由旋轉(zhuǎn)知，OP=OF，∵△BCE是等邊三角形，∴∠CBE=∠BCE=60°∴∠OCP=∠FBO=120°，∠CPO＋∠COP=60°，∵∠POF=120°，∴∠COP＋∠BOF=60°，∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP∴△BOF≌△PCO，∴CP=OB，∵EC=BC=4cm，OC=3cm，∴OB=BCOC=1，∴CP=1，∴EP=CE＋CP=5，∴點P運動的時間t=5÷2=2.5秒．22．已知△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點O為斜邊AB的中點，現(xiàn)將一個三角板EGF的直角頂點G放在點O處，把三角板EGF繞點O旋轉(zhuǎn).（1）如圖，EG交CA于K，F(xiàn)G交CB于H，求證：①OK=OH，②AK+BH=AC；（2）若EG交CA的延長線于K，F(xiàn)G交BC的延長線于H，（1）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形，若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析；（2）圖見解析，（1）中的結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立，理由見解析.【詳解】(1)①連接CG，∵G為AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，∴CG⊥AB，CG=BG，∠KCG=∠B=45°，∴∠CGB=90°，即∠CGH+∠HGB=90°，∵∠CGK+∠CGH=∠KGH=90°，∴∠CGK=∠BGH，∴△CGK≌△BGH，∴GK=GH，即OK=OH；②∵△CGK≌△BGH，∴CK=BH，∵AC=AK+CK，∴AK+BH=AC；(2)如圖，(1)中的結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立，理由如下：①連接CG，∵G為AB中點，AC=BC，∠ACB=90°，∴CG⊥AB，CG=BG，∠KCG=∠B=45°，∴∠CGB=90°，∵∠KGH=90°，∴∠CGB+∠CGH=∠KGH+∠CGH，即∠CGK=∠BGH，∴△CGK≌△BGH，∴GK=GH，即OK=OH；②∵△CGK≌△BGH，∴CK=BH，∵AC=CKAK，∴BHAK=AC，∴(1)中的結(jié)論①成立，結(jié)論②不成立.23．如圖所示，等腰直角三角形、，，，，和交于點，問線段和之間有什么關(guān)系，并證明.【答案】且，理由見解析【詳解】且，證明：∵∠DAE=∠CAB=90°，DA=EA，CA=BA，∴∠DAC=∠EAB，∴△DAC≌△EAB，∴DC=EB，∵∠FDE+∠FDA+∠AED=90°，∴∠FDE+∠FED=90°，即∴線段DC和EB之間的關(guān)系為：且24．如圖，在四邊形中，，對角線平分，求證：.【答案】詳見解析【詳解】如圖，過點D作，交BA的延長線于E，交BC的延長線于F，則，對角線BD平分，，又，，，為等腰直角三角形，，，，，，，.25．已知：如圖所示，中，是的中點，分別是上的動點，且．試問：四邊形的面積是否為定值？若為定值，請求出此值；若不為定值，請說明理由．【答案】四邊形DECF的面積為定值2，理由詳見解析.【詳解】解：四邊形DECF的面積為定值2．理由：連結(jié)CD，∵是的中點，∴CD=BD=2，，CD⊥BD，又∵∴，四邊形DECF的面積.26．給出定義，若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．（1）在你學(xué)過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；（2）如圖，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求證：△BCE是等邊三角形；②求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①證明見解析②證明見解析【詳解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，∵∠CBE=60°，∴△BCE是等邊三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE為等邊三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．27．情境·觀察：將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△,如圖1所示，將△的頂點與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D，A（），B在同一條直線上，如圖2所示，觀察圖2可知：旋轉(zhuǎn)角=°，與BC相等的線段是.問題·探究：如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

關(guān)系·拓展：如圖4，已知正方形ABCD，P為邊BC上任意一點，連結(jié)AP，把AP繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點A對應(yīng)點為點，連接,求的度數(shù).【答案】（1）

90°，AD；（2）EP=FQ，證明見解析；（3）45°.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)填空；（2）由全等三角形△APE≌△BGA的對應(yīng)邊相等知，EP=AG；同理由全等三角形△FQA≌△AGC的對應(yīng)邊相等知FQ=AG，所以易證EP=FQ；（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易求∠A1CE=45°.試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴如圖1，在Rt△ADC與Rt△ABC中，，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），即如圖2，Rt△ABC≌Rt△C'DA′，∴BC=AD，∠BAC=∠DC′A′．又∵∠DC′A′+∠DA′C′=90°，∴∠DA′C′+∠CAB=90°，∴∠CAC′=90°．問題·探究：解：EP=FQ∵∠AGB=∠EPA=∠EAB=90°∴∠EAP+∠PEA=90°∠EAP+∠BAG=90°∴∠BAG=∠PEA∵∠EPA=∠AGB∠PEA=∠BAGAE=AB∴△EPA≌△AGB∴EP=AG同理：QF=AG∴EP=FQ聯(lián)系·拓展：解：∠A1CE=45°過A1作A1Q⊥BE于點Q由上可知：△ABP≌△A1QP∴BP=A1Q，AB=PQ∵AB=BC∴BC=PQ∴BP=CQ∴A1Q=CQ∴∠A1CE=45°28．已知點C為線段上一點，分別以為邊在線段AB同側(cè)作和，且．，，直線與交于點F．

(1)如圖1，可得___________；若