專(zhuān)題19最值問(wèn)題中的費(fèi)馬點(diǎn)模型(原卷版+解析)

專(zhuān)題19最值問(wèn)題中的費(fèi)馬點(diǎn)模型【模型展示】特點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)如圖，點(diǎn)M為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線(xiàn)的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小【證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+BM+CM的值最小．此時(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．結(jié)論三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)【模型證明】解決方案如圖,在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB',連接BB’.求證:BB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB'=PA+PB+PC.【證明】在BB'上取點(diǎn)P,使∠BPC=120°,連接AP,在PB'上截取PE=PC,連接CE.∵∠BPC=120°,∴∠EPC=60°,∴△PCE為等邊三角形,∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB'=120°.∵△ACB'為等邊三角形,∴AC=B'C,∠ACB'=60°,∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB'=60°,∴∠PCA=∠ECB',∴△ACP≌△B'CE,∴∠APC=∠B'EC=120°,PA=EB',∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°,∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),∴BB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.如圖,在△ABC中,以它的邊AB,AC為邊,分別在形外作等邊三角形ABD,ACE,連接BE,CD.求證:BE=DC.【證明】由已知可得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.在△BAE和△DAC中,∴△BAE≌△DAC,∴BE=DC.【題型演練】一、單選題1．?dāng)?shù)學(xué)很多的知識(shí)都是以發(fā)明者的名字命名的，如韋達(dá)定理、楊輝三角、費(fèi)馬點(diǎn)等，你知道平面直角坐標(biāo)系是哪一位法國(guó)的數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的，并以他的名字命名的嗎？（）A．迪卡爾 B．歐幾里得 C．歐拉 D．丟番圖2．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=（

）A． B． C．6 D．3．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD＋PE＋PF＝（）A．6 B． C． D．94．已知點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于的中，當(dāng)時(shí)，P就是的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，則（

）A．6 B． C． D．9二、填空題5．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint），已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=_____．6．若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60，PA=3，PC=4，則PB的值為_(kāi)__________．7．法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最小．人們稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為_(kāi)____．8．已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．三、解答題9．如圖（1），P為ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)P（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．（2）如果點(diǎn)P為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：ABP∽BCP；（3）已知銳角ABC，分別以AB、AC為邊向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖（2）①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．10．背景資料:在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖①，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此時(shí)，PA＋PB＋PC的值最?。鉀Q問(wèn)題：（1）如圖②，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB=；基本運(yùn)用：（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：如圖③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，判斷BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系并證明；能力提升：（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點(diǎn)P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．

11．若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB的值為_(kāi)_______；(2)如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊連結(jié)．求證：過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且．12．若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120°，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)，的值最小．(1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，連接，此時(shí)，這樣就可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出______．(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BP，在射線(xiàn)BP上取點(diǎn)D，E，連接AE，AD．使，，求證：．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，，，，點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．13．【問(wèn)題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來(lái)這點(diǎn)被稱(chēng)之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大??；(2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．14．如圖1，點(diǎn)M為銳角三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接．以為一邊向外作等邊三角形，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）求證：；（2）若的值最小，則稱(chēng)點(diǎn)M為的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為的費(fèi)馬點(diǎn)，求此時(shí)的度數(shù)；（3）受以上啟發(fā)，你能想出作銳角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)的一個(gè)方法嗎？請(qǐng)利用圖2畫(huà)出草圖，并說(shuō)明作法以及理由．15．如圖，在中，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接、、．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值16．閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問(wèn)題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題．1643年，在一封寫(xiě)給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請(qǐng)求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置．托里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問(wèn)題．后來(lái)人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為ABC的費(fèi)馬-托里拆利點(diǎn)，也簡(jiǎn)稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn)．問(wèn)題解決：（1）費(fèi)馬問(wèn)題有多種不同的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值與線(xiàn)段的長(zhǎng)度相等；（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在A(yíng)DE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17．綜合與實(shí)踐材料一：“轉(zhuǎn)化思想”是幾何變換中常用的思想，例如將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，實(shí)現(xiàn)圖形位置的“轉(zhuǎn)化”，把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，使問(wèn)題化難為易．它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)處理孤立的、離散問(wèn)題的思想．材料二：皮埃爾·德·費(fèi)馬（如圖），世紀(jì)法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”．年勒·笛卡兒邀請(qǐng)費(fèi)馬思考關(guān)于三個(gè)頂點(diǎn)距離為定值的問(wèn)題，費(fèi)馬經(jīng)過(guò)思考并由此推出費(fèi)馬點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論．定義：若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)在內(nèi)部，此時(shí)的值最小．（1）如圖2，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)若點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離分別為，求的度數(shù).為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，連接此時(shí)這樣就可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出；（2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)，在射線(xiàn)上取點(diǎn)，連接．使求證：；（3）如圖4，在中，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．18．若點(diǎn)P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．當(dāng)三角形的最大角小于120°時(shí)，可以證明費(fèi)馬點(diǎn)就是“到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)“．即PA+PB+PC最?。?）如圖1，向△ABC外作等邊三角形△ABD，△AEC．連接BE，DC相交于點(diǎn)P，連接AP．①證明：點(diǎn)P就是△ABC費(fèi)馬點(diǎn)；②證明：PA+PB+PC＝BE＝DC；（2）如圖2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是．19．如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱(chēng)點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．試說(shuō)明這種作法的依據(jù)．20．(1)知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱(chēng)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．(2)知識(shí)遷移①我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線(xiàn)段____的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離.②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P(要求尺規(guī)作圖).(3)知識(shí)應(yīng)用①判斷題（正確的打√，錯(cuò)誤的打×）：ⅰ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)有且只有一個(gè)（

）；ⅱ.任意三角形的費(fèi)馬點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部（

）.②已知正方形ABCD，P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且PA+PB+PC的最小值為，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

21．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°．①求證：△ABP∽△BCP；②若PA=3，PC=4，則PB=__________．（2）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖（2）①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．專(zhuān)題19最值問(wèn)題中的費(fèi)馬點(diǎn)模型【模型展示】特點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)如圖，點(diǎn)M為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線(xiàn)的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小【證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+BM+CM的值最?。藭r(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．結(jié)論三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)【模型證明】解決方案如圖,在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB',連接BB’.求證:BB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB'=PA+PB+PC.【證明】在BB'上取點(diǎn)P,使∠BPC=120°,連接AP,在PB'上截取PE=PC,連接CE.∵∠BPC=120°,∴∠EPC=60°,∴△PCE為等邊三角形,∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB'=120°.∵△ACB'為等邊三角形,∴AC=B'C,∠ACB'=60°,∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB'=60°,∴∠PCA=∠ECB',∴△ACP≌△B'CE,∴∠APC=∠B'EC=120°,PA=EB',∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°,∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn),∴BB'過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.如圖,在△ABC中,以它的邊AB,AC為邊,分別在形外作等邊三角形ABD,ACE,連接BE,CD.求證:BE=DC.【證明】由已知可得AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.在△BAE和△DAC中,∴△BAE≌△DAC,∴BE=DC.【題型演練】一、單選題1．?dāng)?shù)學(xué)很多的知識(shí)都是以發(fā)明者的名字命名的，如韋達(dá)定理、楊輝三角、費(fèi)馬點(diǎn)等，你知道平面直角坐標(biāo)系是哪一位法國(guó)的數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的，并以他的名字命名的嗎？（）A．迪卡爾 B．歐幾里得 C．歐拉 D．丟番圖【答案】A【分析】根據(jù)實(shí)際選擇對(duì)應(yīng)科學(xué)家--迪卡爾.【詳解】平面直角坐標(biāo)系是法國(guó)的數(shù)學(xué)家迪卡爾創(chuàng)立的，并以他的名字命名.故選A【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：數(shù)學(xué)常識(shí).解題關(guān)鍵點(diǎn)：了解數(shù)學(xué)家的成就.2．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=（

）A． B． C．6 D．【答案】B【詳解】解：如圖：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，過(guò)E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°，則EM=DM=1，故cos30°=，解得：PE=PF==，則PM=，故DP=1﹣，則PD+PE+PF=2×+1﹣=．故選B．點(diǎn)睛：此題主要考查了解直角三角形，正確畫(huà)出圖形進(jìn)而求出PE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．3．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為6的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD＋PE＋PF＝（）A．6 B． C． D．9【答案】B【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)勾股定理可得EF，由過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，過(guò)E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°就可以得到滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，易得EM=DM=MF＝，根據(jù)勾股定理列方程求出PM、PE、PF，繼而求出PD的長(zhǎng)即可求解．【詳解】解：如圖：等腰Rt△DEF中，DE=DF=6，∴，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，過(guò)E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°，則∠EPF=∠FPD=∠DPE=120°，點(diǎn)P就是馬費(fèi)點(diǎn)，∴EM=DM=MF＝，設(shè)PM＝x，PE＝PF=2x，在Rt△EMP中，由勾股定理可得：，即，解得：，（負(fù)數(shù)舍去），即PM=，∴PE＝PF＝故DP=DM－PM＝，則PD+PE+PF===．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，正確畫(huà)出做輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形進(jìn)而求出PM的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．4．已知點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于的中，當(dāng)時(shí)，P就是的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)，則（

）A．6 B． C． D．9【答案】B【分析】根據(jù)題意首先畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在內(nèi)部過(guò)、分別作，則，點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)，求出，，的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在內(nèi)部過(guò)、分別作，則，點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)，在等腰中，，，，，∵∠PEM=30°，∠PME=90°，∴EP=2PM，則，解得：，則，故，同法可得，則．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確畫(huà)出圖形進(jìn)而求出的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．二、填空題5．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermatpoint），已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=_____．【答案】．【詳解】如圖：等腰Rt△DEF中，DE=DF=，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，過(guò)E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°，則EM=DM=1，故cos30°=，解得：PE=PF==，則PM=，故DP=1﹣，則PD+PE+PF=2×+1﹣=．故答案為．6．若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60，PA=3，PC=4，則PB的值為_(kāi)__________．【答案】【詳解】如圖，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，再由∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，即可得∠PAB=∠PBC，又因∠APB=∠BPC=120°，即可判定△ABP∽△BCP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即，再由PA=3，PC=4，即可求得PB=.7．法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形頂點(diǎn)的距離之和最?。藗兎Q(chēng)這個(gè)點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為費(fèi)馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費(fèi)馬點(diǎn)P滿(mǎn)足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費(fèi)馬距離為_(kāi)____．【答案】7+2【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°，∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB∴即PB2＝12∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定和性質(zhì)．8．已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．【答案】

5

【分析】①作出圖形，過(guò)分別作,勾股定理解直角三角形即可②作出圖形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，P為的費(fèi)馬點(diǎn)則四點(diǎn)共線(xiàn)，即，再用勾股定理求得即可【詳解】①如圖,過(guò)作，垂足為,過(guò)分別作,則,P為的費(fèi)馬點(diǎn)5②如圖：.將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60由旋轉(zhuǎn)可得：是等邊三角形，P為的費(fèi)馬點(diǎn)即四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)候，=故答案為：①5，②【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．三、解答題9．如圖（1），P為ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．（1）若點(diǎn)P是等邊三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，點(diǎn)P（填是或不是）該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．（2）如果點(diǎn)P為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．求證：ABP∽BCP；（3）已知銳角ABC，分別以AB、AC為邊向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P點(diǎn)．如圖（2）①求∠CPD的度數(shù)；②求證：P點(diǎn)為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【答案】（1）是；（2）見(jiàn)解析；（3）①60°，②見(jiàn)解析【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明可得同法可得：從而可得結(jié)論；（2）由為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°，證明∠PAB＝∠PBC，∠APB＝∠BPC＝120°，從而可得△ABP∽△BCP；（3）①如圖2所示：由△ABE與△ACD都為等邊三角形，證明△ACE≌△ADB（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②先證明△ADF∽△PCF，可得再證明△AFP∽△DFC．可得∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，再證明∠BPC＝120°，從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1所示：∵AB＝BC，BM是AC的中線(xiàn)，∴MB平分∠ABC．同理：AN平分∠BAC，PC平分∠BCA．∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABP＝30°，∠BAP＝30°．∴∠APB＝120°．同理：∠APC＝120°，∠BPC＝120°．∴P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．故答案為：是．（2）為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC＝60°．∠APB＝∠BPC＝120°，∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝60°，∠PBC+∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC，∴△ABP∽△BCP．（3）如圖2所示：①∵△ABE與△ACD都為等邊三角形，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AE＝AB，AC＝AD，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ACE和△ABD中，∴△ACE≌△ADB（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠6＝∠5＝60°；②證明：△ADF∽△PCF，∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△DFC．∴∠APF＝∠ACD＝60°，∴∠APC＝∠CPD+∠APF＝120°，∴∠BPC＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝120°，∴P點(diǎn)為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，確定圖中隱含的全等三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．背景資料:在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。@個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖①，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此時(shí)，PA＋PB＋PC的值最?。鉀Q問(wèn)題：（1）如圖②，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB=；基本運(yùn)用：（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問(wèn)題：如圖③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，判斷BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系并證明；能力提升：（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點(diǎn)P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．

【答案】（1）150°；

（2）E′F2=CE′2+FC2，理由見(jiàn)解析；（3）．【詳解】試題分析：（1）（2）首先把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE′．連接E′F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，然后再證明△EAF≌△E′AF可得E′F=EF，，再利用勾股定理可得結(jié)論；（3）將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，根據(jù)已知證明C、O、A′、O′四點(diǎn)共線(xiàn)，在Rt△A′BC中，利用勾股定理求得A′C的長(zhǎng)，根據(jù)新定義即可得OA+OB+OC=．試題解析：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，如圖，連結(jié)PP′，∴AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，∴△APP′為等邊三角形，∴∠PP′A=60°，PP′=AP=3，在△PP′C中，∵PP′=3，P′C=4，PC=5，∴PP′2+P′C2=PC2，∴△PP′C為直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C=60°+90°=150°，∴∠APB=150°，故答案為150°；

（2）E′F2=CE′2+FC2，理由如下：如圖2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F=EF，∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°，由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，即EF2=BE2+FC2；

（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC==，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線(xiàn)，在Rt△A′BC中，A′C===，∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，是一道綜合性題目，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.11．若P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P為銳角△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則PB的值為_(kāi)_______；(2)如圖，在銳角△ABC外側(cè)作等邊連結(jié)．求證：過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得△ABP∽△BCP，所以，即PB=2；（2）在上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°，連接AP，再在上截取PE=PC，連接CE．由此可以證明△PCE為正三角形，再利用正三角形的性質(zhì)得到PC=CE，∠PCE=60°，，而為正三角形，由此也可以得到，，現(xiàn)在根據(jù)已知的條件可以證明，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可證明題目的結(jié)論．（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴，∴，∴，∴PB=；（2）證明：在BB'上取點(diǎn)P，使∠BPC=120°．連接AP，再在PB'上截取PE=PC，連接CE．∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，∴△PCE為正三角形，∴PC=CE，∠PCE=60°，．∵為正三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，∴P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．∴過(guò)△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，且．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180°等知識(shí)；此類(lèi)已知三角形邊之間的關(guān)系求角的度數(shù)的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)得出有關(guān)角的度數(shù)，進(jìn)而求出所求角的度數(shù)．12．若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120°，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如圖1，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)，的值最?。?1)如圖2，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，連接，此時(shí)，這樣就可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出______．(2)如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BP，在射線(xiàn)BP上取點(diǎn)D，E，連接AE，AD．使，，求證：．(3)如圖4，在直角三角形ABC中，，，，點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP，BP，CP，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)150°(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由全等三角形的性質(zhì)得到AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，證明△APP′為等邊三角形，△PP′C為直角三角形，最后由∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C解答；（2）由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)得到，，再證明(ASA)，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)解得，最后根據(jù)線(xiàn)段的和差解答；（3）將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，由勾股定理解得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可證明△BPP′是等邊三角形，再證明C、P、A′、P′四點(diǎn)共線(xiàn)，最后由勾股定理解答．（1）解：∵，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4，∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AP′＝AP＝PP′=3，CP′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90°＝150°；故答案為：150°；（2）證明：∵點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴APD為等邊三角形∴，，∴，∴，在△APC和△ADE中，∴(ASA)；∴，∵，∴BE＝PA＋PB＋PC；（3）解：如圖，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴，把△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△A′P′B，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△A′P′B，∴A′B＝AB＝2，BP＝BP′，A′P′＝AP，∴△BPP′是等邊三角形，∴BP＝PP′，∠BPP′＝∠BP′P＝60°，∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°，∴∠CPB＋∠BPP′＝∠BP′A′＋∠BP′P＝120°＋60°＝180°，∴C、P、A′、P′四點(diǎn)共線(xiàn)，在Rt△A′BC中，，∴PA＋PB＋PC＝A′P′＋PP′＋PC＝A′C＝．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、費(fèi)馬點(diǎn)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)，正確做出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．13．【問(wèn)題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來(lái)這點(diǎn)被稱(chēng)之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大?。?2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．【答案】(1)①3；②150°；(2)【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出的值；②先證△ABP≌，利用全等的性子求出對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，通過(guò)勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小；（2）將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，先求出，然后證明為等邊三角形，當(dāng)B、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，和最小，用勾股定理求出的值即可．（1）①如圖，將繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則，，∴為等邊三角形，；②∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，又∵是等邊三角形，∴∠PAC+=60°，∴∠BAP=，在△ABP與中，，∴△ABP≌（SAS），∴∴，，，又∵旋轉(zhuǎn)，∴；（2）如圖，將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，則，在中，，，，又∵，，，過(guò)作⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，則，，（30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），，，為等邊三角形，當(dāng)B、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，和最小，在中，，，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．14．如圖1，點(diǎn)M為銳角三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連接．以為一邊向外作等邊三角形，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）求證：；（2）若的值最小，則稱(chēng)點(diǎn)M為的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為的費(fèi)馬點(diǎn)，求此時(shí)的度數(shù)；（3）受以上啟發(fā)，你能想出作銳角三角形的費(fèi)馬點(diǎn)的一個(gè)方法嗎？請(qǐng)利用圖2畫(huà)出草圖，并說(shuō)明作法以及理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）：；；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB（2）連接MN，由（1）的結(jié)論證明ΔBMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、ΔCMA的度數(shù)；（3）根據(jù)（2）中費(fèi)馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線(xiàn)段EC上，同理也在線(xiàn)段BF上，因此線(xiàn)段EC和BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【詳解】解：（1）證明：∵為等邊三角形，∴．而，∴．在與中，∴．（2）連接．由（1）知，．∵，∴為等邊三角形．∴．∴．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的值最?。藭r(shí)，：；．（3）如圖2，分別以的，為一邊向外作等邊和等邊，連接，相交于M，則點(diǎn)M即為的費(fèi)馬點(diǎn)，由（2）知，的費(fèi)馬點(diǎn)在線(xiàn)段上，同理也在線(xiàn)段上．因此線(xiàn)段與的交點(diǎn)即為的費(fèi)馬點(diǎn)．（方法不唯一，正確即可）【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì),掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，在內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接、、．（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：（1）的最小值；（2）的最小值（3）的最小值；（4）的最小值（5）的最小值；（6）的最小值（7）的最小值；（8）的最小值【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）26；（7）；（8）【分析】（1）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，可以推出為等邊三角形，得到，則，即可得到A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為，然后證明，由此利用勾股定理求解即可；（2）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，從而得到，則當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，最小值為，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（3）將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則可證明，則，故當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，最小值為，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，利用勾股定理求出，，由此即可得到答案；（4）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接，先證明，則可以得到，故當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，然后證明，即可利用勾股定理求解；（5）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，然后證明，由此求解即可；（6）由可由（5）得：的最小值為26；（7）由可由（4）得的最小值為；（8）將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線(xiàn)時(shí)的值最?。谥?，，，過(guò)點(diǎn)作交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，然后求出，的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：（1）如圖3-2，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴為等邊三角形，∴，∴，∴A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為同理可證為等邊三角形，∴，，∴，∴；∴的最小值為；（2）如圖3-4，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴∴，，∴，∴的最小值為；（3）如圖3-6，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，，∴，過(guò)點(diǎn)C作于E，∴，，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、P、、四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，最小值為∵∠ACB=30°，∴∴，過(guò)點(diǎn)A再作的垂線(xiàn)，垂足為E，∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，∴∴，∴∴，∴的最小值為；（4）如圖3-8，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心放大2倍，得到，連接由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，∴，，，是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，∵，∴，∴的最小值為；（5）如圖3-10，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小2倍，得到，同（4）原理可證得當(dāng)，，，共線(xiàn)時(shí)最小，最小為，∵，在中，，，最小為；（6）∵∴由（5）得：的最小值為26；（7）∵∴由（4）得的最小值為；（8）如圖3-12，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，再將以點(diǎn)C為位似中心縮小倍，得到，同理可以證得當(dāng)A、P、、，共線(xiàn)時(shí)的值最?。谥?，，，過(guò)點(diǎn)作交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于E，∴，∴，∴，∴，，∴，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠作出輔助線(xiàn)，找到P點(diǎn)在什么位置時(shí)，線(xiàn)段的和最?。?6．閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問(wèn)題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題．1643年，在一封寫(xiě)給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請(qǐng)求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置．托里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問(wèn)題．后來(lái)人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C距離之和最小的點(diǎn)稱(chēng)為ABC的費(fèi)馬-托里拆利點(diǎn)，也簡(jiǎn)稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn)．問(wèn)題解決：（1）費(fèi)馬問(wèn)題有多種不同的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值與線(xiàn)段的長(zhǎng)度相等；（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在A(yíng)DE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短；AE；（2）2；（3）存在，2-2【分析】（1）連接AE，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短即可求解；（2）在Rt△ABC中先求出AC，將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CDE，連接PD、AE，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線(xiàn)段AE的長(zhǎng)度相等，根據(jù)勾股定理即可求解；（3）在△ADE內(nèi)部取一點(diǎn)P，連接PA、PD、PE，把△PAD饒點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FGD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線(xiàn)段GE的長(zhǎng)度相等，再根據(jù)圓的特點(diǎn)、菱形與勾股定理即可求出GE，故可求解．【詳解】（1）連接AE，如圖，由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，PA+PB+PC的最小值為線(xiàn)段AE的長(zhǎng)故答案為：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；AE；（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2∴BC=2AB=4由勾股定理可得AC=如圖2，將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CDE，連接PD、AE，可得△CPD為等邊三角形，∠BCE=60°∴PD=PC由旋轉(zhuǎn)可得DE=PB，CE=BC=4∴PA+PB+PC=PA+DE+PD由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線(xiàn)段AE的長(zhǎng)度相等∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90°∴在Rt△ACE中，AE=即PA+PB+PC的最小值為2；（3）存在在A(yíng)DE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，如圖3，在△ADE內(nèi)部取一點(diǎn)P，連接PA、PD、PE，把△PAD饒點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FGD，連接PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均為等邊三角形∴PD=PF由旋轉(zhuǎn)可得PA=GF∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線(xiàn)段GE的長(zhǎng)度相等∵∠BEC=90°∴點(diǎn)E在以BC為直徑的O上，如圖3則OB=OC==2如圖3，連接OG交O于點(diǎn)H，連接CG交AD于點(diǎn)K，連接AC，則當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，GE取最小值，即PA+PD+PE的最小值為線(xiàn)段GH的長(zhǎng)∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC=60°∴AB=BC=CD=AD=4∴△ABC、△ACD均為等邊三角形∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60°∴四邊形ACDG是菱形，∠ACG=∠ACD=30°∴CG、AD互相垂直平分∴DK=AD=2∴根據(jù)勾股定理得CK=∴CG=2CK=∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90°∴在Rt△OCG中，OG=∵OH=OC=2∴GH=OG-OH=2-2即PA+PD+PE的最小值為2-2．【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形與圓綜合的最短距離，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓周角定理及兩點(diǎn)之間的距離特點(diǎn)．17．綜合與實(shí)踐材料一：“轉(zhuǎn)化思想”是幾何變換中常用的思想，例如將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，實(shí)現(xiàn)圖形位置的“轉(zhuǎn)化”，把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，使問(wèn)題化難為易．它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)處理孤立的、離散問(wèn)題的思想．材料二：皮埃爾·德·費(fèi)馬（如圖），世紀(jì)法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”．年勒·笛卡兒邀請(qǐng)費(fèi)馬思考關(guān)于三個(gè)頂點(diǎn)距離為定值的問(wèn)題，費(fèi)馬經(jīng)過(guò)思考并由此推出費(fèi)馬點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論．定義：若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)在內(nèi)部，此時(shí)的值最?。?）如圖2，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)若點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離分別為，求的度數(shù).為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，連接此時(shí)這樣就可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將三條線(xiàn)段，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出；（2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)，在射線(xiàn)上取點(diǎn)，連接．使求證：；（3）如圖4，在中，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）根據(jù)題意，先證明△APD是等邊三角形，再證明，得到，然后即可得到結(jié)論成立．（3）將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BPP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BP=PP′，等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BPP′=∠BP′P=60°，然后求出C、P、A′、P′四點(diǎn)共線(xiàn)，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到PA+PB+PC=A′C．【詳解】解：∵△ACP′≌△ABP，∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′=60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，易證△PP′C為直角三角形，且∠PP′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故答案為：；證明:點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，又為等邊三角形在和中，，；解：如圖，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC=，∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，∴△A′P′B如圖所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△A′P′B，∴A′B=AB=2，BP=BP′，A′P′=AP，∴△BPP′是等邊三角形，∴BP=PP′，∠BPP′=∠BP′P=60°，∵∠APC=∠CPB=∠BPA=120°，∴∠COP+∠BPP′=∠BP′A′+∠BP′P=120°+60°=180°，∴C、P、A′、P′四點(diǎn)共線(xiàn)，在Rt△A′BC中，A′C=，∴PA+PB+PC=A′P′+PP′+PC=A′C=．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．18．若點(diǎn)P為△ABC所在平面上一點(diǎn)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．當(dāng)三角形的最大角小于120°時(shí)，可以證明費(fèi)馬點(diǎn)就是“到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)“．即PA+PB+PC最?。?）如圖1，向△ABC外作等邊三角形△ABD，△AEC．連接BE，DC相交于點(diǎn)P，連接AP．①證明：點(diǎn)P就是△ABC費(fèi)馬點(diǎn)；②證明：PA+PB+PC＝BE＝DC；（2）如圖2，在△MNG中，MN＝4，∠M＝75°，MG＝3．點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是．【答案】（1）①證詳見(jiàn)解析；②詳見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）①如圖1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N設(shè)AB交CD于O．證明△ADC≌△ABE（SAS）即可解決問(wèn)題．②在線(xiàn)段PDA上取一點(diǎn)T，使得PA＝PT，連接AT．證明△DAT≌△BAP（SAS），推出PD＝PA+PB即可解決問(wèn)題．（2）以MG為邊作等邊三角形△MGD，以O(shè)M為邊作等邊△OME．連接ND，可證△GMO≌△DME，可得GO＝DE，則MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即當(dāng)D、E、O、N四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，MO+NO+GO值最小，最小值為ND的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理先求得MF、DF，然后求ND的長(zhǎng)度，即可求MO+NO+GO的最小值．【詳解】（1）①如圖1﹣1中，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N設(shè)AB交CD于O．∵△ADB，△ACE都是等邊三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°，∴∠DAB＝∠BAE，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE，S△DAC＝S△ABE，∠ADC＝∠ABE，∵AM⊥CD，AN⊥BE，∴?CD?AM＝?BE?AN，∴AM＝AN，∴∠APM＝∠APN，∵∠AOD＝∠POB，∴∠OPB＝∠DAO＝60°，∴∠APN＝∠APM＝60°，∴∠APC＝∠BPC＝∠APC＝120°，∴點(diǎn)P是就是△ABC費(fèi)馬點(diǎn)．②在線(xiàn)段PDA上取一點(diǎn)T，使得PA＝PT，連接AT．∵∠APT＝60°，PT＝PA，∴△APT是等邊三角形，∴∠PAT＝60°，AT＝AP，∵∠DAB＝∠TAP＝60°，∴∠DAT＝∠BAP，∵AD＝AB，∴△DAT≌△BAP（SAS），∴PB＝DT，∴PD＝DT+PT＝PA+PB，∴PA+PB+PC＝PD+PC＝CD＝BE．（2）如圖2：以MG為邊作等邊三角形△MGD，以O(shè)M為邊作等邊△OME．連接ND，作DF⊥NM，交NM的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．∵△MGD和△OME是等邊三角形∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，∴∠GMO＝∠DME在△GMO和△DME中，，∴△GMO≌△DME（SAS），∴OG＝DE∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO∴當(dāng)D、E、O、M四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，NO+GO+MO值最小，∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，∴∠NMD＝135°，∴∠DMF＝45°，∵M(jìn)G＝3∴MF＝DF＝，∴NF＝MN+MF＝4＝，∴ND＝＝＝，∴MO+NO+GO最小值為，故答案為，【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問(wèn)題，構(gòu)造等邊三角形是解答本題的關(guān)鍵．19．如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱(chēng)點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．試說(shuō)明這種作法的依據(jù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠BMC=120°；∠AMB=120°；∠AMC=120°；（3）線(xiàn)段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【分析】(1)結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)SAS可證△AMB≌△ENB；(2)連接MN，由(1)的結(jié)論證明△BMN為等邊三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+BM+CM的值最小，從而可求此時(shí)∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；(3)根據(jù)(2)中費(fèi)馬點(diǎn)的定義，又△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線(xiàn)段EC上，同理也在線(xiàn)段BF上，因此線(xiàn)段EC和BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).【詳解】（1）證明：∵△ABE為等邊三角形，∴AB=BE，∠ABE=60°．而∠MBN=60°，∴∠ABM=∠EBN．在△AMB與△ENB中，∵∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）連接MN．由（1）知，AM=EN．∵∠MBN=60°，BM=BN，∴△BMN為等邊三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AM+BM+CM的值最?。藭r(shí)，∠BMC=180°﹣∠NMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°；∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°．（3）由（2）知，△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線(xiàn)段EC上，同理也在線(xiàn)段BF上．因此線(xiàn)段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．故答案為（1）見(jiàn)解析；（2）∠BMC=120°；∠AMB=120°；∠AMC=120°；（3）線(xiàn)段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的決定與性質(zhì).20．(1)知識(shí)儲(chǔ)備①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn)