專題14解直角三角形-5年(2018~2022)中考1年模擬數(shù)學(xué)分項匯編(北京專用)(原卷版+解析)

專題14解直角三角形1．（2021·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，，點在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長．2．（2020·北京·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的長．3．（2020·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦（分別為點A，B的對應(yīng)點），線段長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點中，連接點A與點的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點A的坐標為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．1．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AD=10，tanAEB=，點E為BC上的一點，ED平分AEC，（1）求BE的值；（2）求sinEDC．2．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)分校一模）如圖，點E是中弦AB的中點，過點E作的直徑CD，P是上一點，過點P作的切線，與AB的延長線交于F，與CD的延長線交于點G，連接CP與AB交于點M（1）求證：FM=FP；（2）若點P是FG的中點，，半徑長為3，求EM長3．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，．（1）求作，使得且點在上：要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，求的長度．4．（2022·北京十一學(xué)校一分校一模）如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，AC⊥BD，垂足為F，過點A作AE⊥AC，交CD的延長線于點E．(1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)若AC＝6，cos∠ABD＝，求BD的長．5．（2022·北京朝陽·一模）如圖，在矩形中，，相交于點O，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．6．（2022·北京朝陽·一模）如圖，為的直徑，C為上一點，和過點C的切線互相垂直，垂足為D．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．7．（2022·北京市第一六一中學(xué)分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，過點C作CE∥BD交AD的延長線于點E．(1)求證：∠ACD＝∠ECD；(2)連接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的長．8．（2022·北京市燕山教研中心一模）疫情防控過程中，很多志愿者走進社區(qū)參加活動．如圖所示，小冬老師從A處出發(fā)，要到A地北偏東方向的C處，他先沿正東方向走了到達B處，再沿北偏東方向走，恰能到達目的地C處，求A，C兩地的距離．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）9．（2022·北京市燕山教研中心一模）如圖，在菱形中，對角線與相交于點O，過點D作交的延長線于點E．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的值．10．（2022·北京豐臺·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠DCB＝90°，ADBC，點E在BC上，ABDE，AE平分∠BAD．(1)求證：四邊形ABED為菱形；(2)連接BD，交AE于點O．若AE＝6，sin∠DBE＝，求CD的長．11．（2022·北京大興·一模）如圖，A是上一點，BC是的直徑，BA的延長線與的切線CD相交于點D，E為CD的中點，AE的延長線與BC的延長線交于點P．(1)求證：AP是的切線；(2)若，，求CD的長．12．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，于點，點是延長線上一點，，于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若平分，，，求和的長．13．（2022·北京·清華附中一模）如圖，AB是半圓的直徑，過圓心O作AB的垂線，與弦AC的延長線交于點D，點E在OD上．（1）求證：CE是半圓的切線；（2）若CD=10，，求半圓的半徑．14．（2022·北京·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進21m到達B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）15．（2022·北京·北理工附中模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，E、F、G分別為邊AB、AD、BC的中點，連接EF、FG、EG(1)求證：為直角三角形(2)連接ED，當，時，求ED的長．16．（2022·北京海淀·一模）如圖，是的外接圓，AB是的直徑，點D為的中點，的切線DE交OC延長線于點E．(1)求證：；(2)連接BD交AC于點P，若，，求DE和BP的長．17．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P在線段AD上，由點D向點A運動，當點P與點A重合時，停止運動．以點P為圓心，PD為半徑作⊙P，⊙P與AD交于點M點Q在⊙P上且在矩形ABCD外，∠QPD＝120°．(1)當時PC＝，扇形QPD的面積＝，點C到⊙P的最短距離＝；(2)⊙P與AC相切時求PC的長？(3)如圖⊙P與AC交于點E、F當EF＝6.4時，求PD的長？(4)請從下面兩問中，任選一道進行作答．①當⊙P與△ABC有兩個公共點時，直接寫出PD的取值范圍；②直接寫出點Q的運動路徑長以及BQ的最短距離．專題14解直角三角形1．（2021·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，，點在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長．【答案】（1）見詳解；（2），【解析】（1）證明：∵，∴AD∥CE，∵，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）可得四邊形是平行四邊形，∴，∵，平分，，∴，∴EF=CE=AD，∵，∴，∴，∴．2．（2020·北京·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）2．【解析】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）設(shè)半徑為r，在Rt△OCD中，，∴，∴，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴，∴OE=4，∵，∴，∴．3．（2020·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦（分別為點A，B的對應(yīng)點），線段長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是；在點中，連接點A與點的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點A的坐標為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）平行，P3；（2）；（3）【解析】解：（1）平行；P3；（2）如圖，線段AB在直線上，平移之后與圓相交，得到的弦為CD，CD∥AB，過點O作OE⊥AB于點E，交弦CD于點F，OF⊥CD，令，直線與x軸交點為（-2，0），直線與x軸夾角為60°，∴．由垂徑定理得：，∴；（3）線段AB的位置變換，可以看作是以點A為圓心，半徑為1的圓，只需在⊙O內(nèi)找到與之平行，且長度為1的弦即可；點A到O的距離為．如圖，平移距離的最小值即點A到⊙O的最小值：；平移距離的最大值線段是下圖AB的情況，即當A1,A2關(guān)于OA對稱，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1時.∠B2A2A1=60°，則∠OA2A1=30°,∵OA2=1,∴OM=,A2M=,∴MA=3,AA2=,∴的取值范圍為：．1．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AD=10，tanAEB=，點E為BC上的一點，ED平分AEC，（1）求BE的值；（2）求sinEDC．【答案】（1）；（2）【解析】（1）ED平分AEC，，四邊形是矩形，，，，，，tanAEB=，設(shè),則，，，，，（2）四邊形是矩形，，，，，，．．2．（2022·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)分校一模）如圖，點E是中弦AB的中點，過點E作的直徑CD，P是上一點，過點P作的切線，與AB的延長線交于F，與CD的延長線交于點G，連接CP與AB交于點M（1）求證：FM=FP；（2）若點P是FG的中點，，半徑長為3，求EM長【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）解：連結(jié)OP．∵CD為的直徑，E為弦AB的中點∴∠1=90°∴∠2+∠C=90°.∵PF是的切線，∴∠OPF=90°．∴∠3+∠4=90°.∵OC=OP∴∠C=∠3．∴∠4=∠2∵∠2=∠5∴∠5=∠4∴FM=FP(2)連接DE∵∠1=90°∴∠G+∠F=90°∵∠6+∠G=90°∴∠6=∠F∴在Rt△OPG中，∵OP=3∴OG=5∴PG=4∴PF=PG=4∴GF=8∴∴∴.3．（2022·北京朝陽·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，．（1）求作，使得且點在上：要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若，，求的長度．【答案】（1）作圖見解析；（2）．【解析】解：（1）如圖，即為所求（過點作）（2）如圖，由（1）得，∵，∴，在中，，在中，，，∴．4．（2022·北京十一學(xué)校一分校一模）如圖，在四邊形ABCD中，ABDC，AC⊥BD，垂足為F，過點A作AE⊥AC，交CD的延長線于點E．(1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)若AC＝6，cos∠ABD＝，求BD的長．【答案】(1)見解析；(2)【解析】(1)證明：∵AC⊥BD，AC⊥AE，∴BD∥AE，∵AB∥DC，∴AB∥DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形．(2)解：∵AB∥CE，∴∠ABD=∠CDB=∠E，∴cos∠E=，設(shè)AE=3k，BC=5k，在Rt△EAC中，，∴k=∴AE=，∴BD=．5．（2022·北京朝陽·一模）如圖，在矩形中，，相交于點O，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：，四邊形AEBO是平行四邊形又四邊形ABCD是矩形，，四邊形AEBO是菱形(2)解：如圖：連接EO，交AB于點F四邊形ABCD是矩形，，又是等邊三角形，四邊形AEBO是菱形，四邊形的面積為：6．（2022·北京朝陽·一模）如圖，為的直徑，C為上一點，和過點C的切線互相垂直，垂足為D．(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】(1)證明：如圖1，連接OC，∵CD為切線，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分；(2)解：如圖2，連接BC，∵為的直徑，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．7．（2022·北京市第一六一中學(xué)分校一模）在矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，過點C作CE∥BD交AD的延長線于點E．(1)求證：∠ACD＝∠ECD；(2)連接OE，若AB＝2，tan∠ACD＝2，求OE的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】(1)證明：∵AD∥BC，DE為AD的延長線∴DE∥BC又∵CE∥BD∴四邊形DBCE是平行四邊形∴DE=BC在矩形中，BC=AD，∴DE=AD又∵CD=CD∴∴(2)解：如圖，作OH垂直于AD于H，即有∥CD∵點O為矩形對角線的交點，即點O為AC、BD的中點∴CD=AB=2，OA=OD∴點H為AD中點，即，∴∵∴∴在直角三角形OHE中∴8．（2022·北京市燕山教研中心一模）疫情防控過程中，很多志愿者走進社區(qū)參加活動．如圖所示，小冬老師從A處出發(fā)，要到A地北偏東方向的C處，他先沿正東方向走了到達B處，再沿北偏東方向走，恰能到達目的地C處，求A，C兩地的距離．（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】解：∵∴∴過點C作垂線交延長線于點D，∴．

在中，∴∴又在中，．∴∴A，C兩地的距離是．9．（2022·北京市燕山教研中心一模）如圖，在菱形中，對角線與相交于點O，過點D作交的延長線于點E．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵四邊形是菱形∴，．∵∴∴∴∴四邊形是平行四邊形．(2)解：∵四邊形是平行四邊形∴∵∴∵∴∴∵，，∴∴∴10．（2022·北京豐臺·一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠DCB＝90°，ADBC，點E在BC上，ABDE，AE平分∠BAD．(1)求證：四邊形ABED為菱形；(2)連接BD，交AE于點O．若AE＝6，sin∠DBE＝，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：∵ADBC，ABDE，∴四邊形ABED為平行四邊形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∵ADBC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴?ABED是菱形；(2)解：如圖，連接BD，∵四邊形ABED是菱形，∴AE⊥BD，AO=OE==3，OB=OD，∴sin∠DBE==，∴BE=5，∴，∴BD=2OB=8，∵∠DCB＝90°，∴，∴∴．11．（2022·北京大興·一模）如圖，A是上一點，BC是的直徑，BA的延長線與的切線CD相交于點D，E為CD的中點，AE的延長線與BC的延長線交于點P．(1)求證：AP是的切線；(2)若，，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：連接，；如圖所示：是的直徑，，，是的中點，，，，，是的切線，，，，，是上一點，是的切線；(2)解：由（1）知．在中，，，即，；，，，是等邊三角形，，在中，，，，，又在中，，，．12．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，在四邊形中，，于點，點是延長線上一點，，于點．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若平分，，，求和的長．【答案】(1)證明見解析(2)的長為，的長為【解析】(1)證明：∵，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形．(2)解：∵四邊形是菱形，∴，平分，，∵平分，，∴，和都是直角三角形，∵，，∴在中，，，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴．∴的長為，的長為．13．（2022·北京·清華附中一模）如圖，AB是半圓的直徑，過圓心O作AB的垂線，與弦AC的延長線交于點D，點E在OD上．（1）求證：CE是半圓的切線；（2）若CD=10，，求半圓的半徑．【答案】（1）見解析；(2)【解析】詳解：（1）證明：如圖，連接CO.∵AB是半圓的直徑，∴∠ACB=90°.∴∠DCB=180°-∠ACB=90°.∴∠DCE+∠BCE=90°.∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.∵，∴∠OCB=∠DCE.∴∠OCE=∠DCB=90°.∴OC⊥CE.∵OC是半徑，∴CE是半圓的切線.（2）解：設(shè)AC=2x，∵在Rt△ACB中，,∴BC=3x.∴.∵OD⊥AB,∴∠AOD=∠ACB=90°.∵∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB.∴.∵，AD=2x+10,∴.解得x=8.∴.則半圓的半徑為.14．（2022·北京·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進21m到達B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】51【解析】解：，，，，，，，在中，，，，答：炎帝塑像DE的高度約為51m．15．（2022·北京·北理工附中模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，E、F、G分別為邊AB、AD、BC的中點，連接EF、FG、EG(1)求證：為直角三角形(2)連接ED，當，時，求ED的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)解：如圖，分別連接AC、BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E、F、G分別為邊AB、AD、BC的中點，∴EG∥AC，EF∥BD，∵AC⊥BD，∴EG⊥EF，∴∠GEF=90°，∴△EGF為直角三角形；(2)解：如圖，設(shè)EG與BD的交點為H，AC與BD的交點為O，則點O也在EF上，連接ED和EO，由題意可得：點E、F、G、O分別是AB、AD、BC、BD的中點∴EF∥BD，GO∥CD，EG∥AC且，∴∠EFG=∠BOG，∠BOG=∠BDC，又∵∠BDC=∠ADB，∴∠ADB=∠EFG，∵AC⊥BD，∴∠AOD=90°，在Rt△AOD中，，∵，∴設(shè)，，由勾股定理得：,即：，解得：，∴，，∴，易證四邊形EBGO是菱形，∴∴，在Rt△EHD中，由勾股定理得：，即：．16．（2022·北京海淀·一模）如圖，是的外接圓，AB是的直徑，點D為的中點，的切線DE交OC延長線于點E．(1)求證：；(2)連接BD交AC于點P，若，，求DE和BP的長．【答案】(1)見解析(2)，【解析】(1)連接OD，∵點D是的中點，∴OD⊥AC，∵DE是⊙O切線，∴DE⊥OD，∴DE∥AC(2)設(shè)OD與AC交點為F，連接AD，則∠CAD=∠CBD，∵DE∥AC，∴∠E=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠E，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠EDO=90°，∴△ABC∽△EOD，∴，∵，AC=8，∴AB=10，∴，OD=5，∴∴，∵，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵，∴，∴，∴，∴17．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P在線段AD上，由點D向點A運動，當點P與點A重合時，停止運動．以點P為圓心，PD為半徑作⊙P，⊙P與AD交于點M點Q在⊙P上且在矩形ABCD外，∠QPD＝120°．(1)當時PC＝，扇形QPD的面積＝，點C到⊙P的最短距離＝；(2)⊙P與AC相切時求PC的長？(3)如圖⊙P與AC交于點E、F當EF＝6.4時，求PD的長？(4)請從下面兩問中，任選一道進行作答．①當⊙P與△ABC有兩個公共點時，直接寫出PD的取值范圍；②直接寫出點Q的運動路徑長以及BQ的最短距離．【答案】(1)，，；(2)；(3)4；(4)